AMFI KUPA és ami mögötte van…

Az előadások a következő témára: "AMFI KUPA és ami mögötte van…"— Előadás másolata:

1 AMFI KUPA és ami mögötte van…
RLV 2010. JÚLIUS KECSKEMÉT Besnyőné Titter Beáta

2

3

4 VERSENY ELŐTT

5

6

7

8

9

10

11 VERSENY KÖZBEN

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21 VERSENY UTÁN

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36 EREDMÉNYHIRDETÉS

37

38

39

40

41

42 SZERVEZŐK

43

44

45

46

47

48

49 FELADATOK

50 1. a) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik nem osztója az 1 * 2 * 3 * 4* ... * 13 * 14 szorzatnak? b) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik nem osztója az 1 * 2 * 3 * 4 * ... * 83 * 84 szorzatnak? Megoldás: a) 17 b) 89

51 Mennyi lesz a maradék, ha az
A = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 *  számot elosztjuk 84-gyel? Megoldás: 84│14 ! , 1999 pedig 84-gyel osztva 67 maradékot ad. 84 =2*2*3*7 Tehát 67 a maradék.

52 Megoldás: Ha 6 a maradék, akkor az osztó csak 7, 8 vagy 9 lehet.
3. Melyik az a legkisebb, illetve a legnagyobb kétjegyű szám, amelyet ha elosztunk egy egyjegyű számmal, maradékul 6-ot kapunk? Megoldás: Ha 6 a maradék, akkor az osztó csak 7, 8 vagy 9 lehet. Osztó legkisebb legnagyobb 7 13 97 8 14 94 9 15 96 Tehát a legkisebb a 13, legnagyobb a 97. Megjegyzés: ha háromjegyűek között keressük, akkor 8-cal való osztáskor kapjuk a legkisebbet és a legnagyobbat. Vajon a legkisebb és a legnagyobb azonos jegyűek között mindig ugyanannál az osztónál fordul-e elő?

53 4. Egy családban mindhárom gyerek november 15-én
4. Egy családban mindhárom gyerek november 15-én született, ketten közülük ikrek. A mai napon életkoruk szorzata 36. A legkisebb gyereknek a szülei még ezen az emlékezetes napon sem engedték meg, hogy kutyáját egyedül sétáltassa. Miért? Megoldás: 36= a*a*b a*a = 1, 4, 9, 36 lehet, a*a 1 4 9 36 b a 2 3 6 de b<a, ezért a legkisebb gyerek csak egyéves lehet.

54 5. Egy négyzet alakú tortát akarunk fölszeletelni az
5. Egy négyzet alakú tortát akarunk fölszeletelni az oldalakkal párhuzamos vágásokkal. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha a vágások számának és a kapott szeletek számának is prímszámnak kell lennie? Megoldás: Csak egy irányban lehet vágni. Ha „a” vágást csinálunk, akkor a+1 szelet lesz, tehát a és a+1 is prím, ezért a=2

55 6. Van-e olyan egyenlő szárú háromszög, amelynél
6. Van-e olyan egyenlő szárú háromszög, amelynél mindhárom oldal hossza centiméterben mérve prímszám, és a háromszög kerülete 1992 cm? Megoldás: Ha három prímszám összege páros, akkor az egyik a 2. A másik kettő összege 1990 = 2 * 995. Általános háromszög esetén a háromszög-egyenlőtlen-ség miatt a másik két oldal különbsége kisebb, mint 2. De két páratlan prím különbsége legalább 2. Tehát nincs ilyen háromszög.

56 7. Felvettük a füzetünkbe a 2, 4, 6 és 7 cm. hosszúságú szakaszokat
7. Felvettük a füzetünkbe a 2, 4, 6 és 7 cm hosszúságú szakaszokat. Ezekből bármelyiket akár többször is felhasználva háromszögeket szerkesztünk. Hány különböző háromszöget lehet ily módon készíteni? Megoldás: Egyenlő oldalú: 4 db Egyenlő szárú: 9 db (7, 6, 4 lehet a szár a többivel) Általános 2 db (2, 6, 7 vagy 4, 6, 7) Tehát 15 db ilyen háromszög van.

57 8. Egy háromszög két oldala 8 cm és 12 cm. hosszúságú
8. Egy háromszög két oldala 8 cm és 12 cm hosszúságú. Ha a harmadik oldal hossza is cm- ben mérve egész szám, és a kerület 3 többszöröse, akkor milyen hosszú lehet a harmadik oldal? Megoldás: Mivel 8+12=20, ami 3-mal osztva 2 maradékot ad, ezért a harmadik oldal hossza 1 maradékot kell, hogy adjon 3-mal való osztáskor. Így a harmadik oldal 1,4,7,10,13,16,19 lehetne (8+12=20), de az 1 és 4 esetén nincs háromszög. Tehát összesen 5 db háromszög van.

58 9. Egy kockát minden lapjára tükrözünk. Az így kapott
9. Egy kockát minden lapjára tükrözünk. Az így kapott test (az eredeti kockával együtt) térfogata hányszorosa a kocka térfogatának? Hány százalékkal nagyobb az új test felszíne a kiindulási kocka felszínénél? Megoldás: Térfogata 7-szerese. Felszíne 5-szöröse, tehát 400%-kal nő.

59 10. Egy asztalon 1 cm3-es kockák vannak. Ezekből 64
10. Egy asztalon 1 cm3-es kockák vannak. Ezekből 64 darabot felhasználva egy tömör kockát raktunk össze. Ezután a megmaradt kockákból néhányat úgy tettünk ennek a kockának a tetejére, hogy a kis kockák alsó lapjai teljes felületükkel érintkezzenek a nagy kocka felső lapjával. Elérhető-e ily módon, hogy a kapott 5 cm magas test felszíne 126 cm2 legyen? Megoldás: 4 cm élű kockát raktunk össze. Ennek felszíne 4  4  6 = 96 cm2, a felszínt tehát 30 cm2-rel kell növelni. Ez megoldható pl. 8 kockával.

60 11. Egy kocka éleinek hossza 3 cm. Az egyik
11. Egy kocka éleinek hossza 3 cm. Az egyik lap közepén – az ábrán látható módon – 1 cm alapélű, négyzetes oszlop alakú lyukat vágtunk a szemben lévő lapig. A "lyukas kockát" festékbe merítettük, majd a száradás után 1 cm3-es kis kockákra vágtuk. Hány kockánk lett ily módon? Ezek közül hány olyan van, amelynek 3 oldala festett? Megoldás: 27-3=24 kockánk lett. Minden csúcsnál lévő kocka három oldala festett, ezért 8+8=16 kocka mindhárom lapja festett.

61 Így a dobozban 300 – 1 = 299 cukor maradt.
12. Lilla felbontott egy doboz kockacukrot. (A kockacukrok kocka alakúak, és együtt egy tömör téglatestet alkotnak.) Először leszedte a teljes felső réteget, ami 77 cukorból állt, és egy cukortartóba tette. Utána az egyik oldalsó, 55 kockacukrot tartalmazó réteget, majd az elülső réteget tette át a cukortartóba. Ezután a dobozban maradt cukrok közül egyet megevett. Hány cukor maradt a dobozban? Megoldás: A felső réteget 1 ∙ 77 vagy 7 ∙ 11 cukor alkothatta. Az első esetben az oldalsó 55 ∙ 1 és az elülső 76 ∙ 55 cukor elvétele után nem maradt volna cukor, amit Lilla megehetett volna. A felső rétegben tehát 7 ∙ 11 cukor volt. Az oldalsó rész csak 5 ∙ 11 lehetett, így a test magassága 6, térfogata 7 ∙ 11 ∙ 6 = 462 cukor. A három réteg ( ∙ 6) elvétele után a megmaradt téglatestet 6 ∙ 10 ∙ 5 = 300 cukor alkotta. Így a dobozban 300 – 1 = 299 cukor maradt.

62 13. Balázsnak 11 fiú osztálytársa van, és osztályában a
13. Balázsnak 11 fiú osztálytársa van, és osztályában a lányok száma másfélszer annyi, mint a fiúké. Egy szombati napon Balázs a dinnyeárusításban segített nagyapjának. Nyolc és tíz óra között eladták a dinnyék felét és még 3 darabot, tíz órától délig a megmaradtak harmadát és még 2 darabot. Ekkor Balázs azt mondta, hogy több dinnyét már ne adjanak el, mert éppen annyi darab maradt, hogy a délutáni klubdélutánon az osztály minden tagja harmad dinnyét kaphat. Hány dinnyéjük volt Balázséknak 8 órakor? Megoldás: Osztálylétszám: 12 fiú és 18 leány, tehát 10 dinnye maradt. (10+2)*2:3=18 (18+3)*2=42 Tehát nyolc órakor 42 dinnyéjük volt.

63 14. Egy zsák dióból kiveszünk 8-at, ezek közül 7-et egy
14. Egy zsák dióból kiveszünk 8-at, ezek közül 7-et egy kosárba, a nyolcadikat egy tálba tesszük. Ezt addig ismételjük, amíg a zsákban nem marad dió. Ezután a tálból szedjük ki nyolcasával a diókat, 7-et egy dobozba, a nyolcadikat egy tányérba téve, amíg a tálban 3 marad, a tányérba pedig 31 dió kerül. Hány dió volt eredetileg a zsákban? Megoldás: ZSÁK kosár tál tányér doboz 3 31 31x7=217 3+8x31=251 251x7=1757 =2008 Röviden 251x8=2008

64 15. Három ötödikes tanuló a Föld Napján 69 tő
15. Három ötödikes tanuló a Föld Napján 69 tő parlagfüvet húzott ki a földből; András és Béla együtt 47, Béla és Csongor együtt 41 darabot. Hány parlagfüvet tettek ártalmatlanná külön-külön? Megoldás: A=69-41=28, C=69-47=22, B=47-28=19

65 16. Két egész szám összege 78. Ha mindkét
16. Két egész szám összege 78. Ha mindkét számból kivonjuk ugyanazt a számot, akkor 36-ot, illetve 28-at kapunk. Melyek ezek a számok?

66 17. Egy számsorozat első tagja 2, a második 3, a
17. Egy számsorozat első tagja 2, a második 3, a további tagjait pedig úgy képezzük, hogy minden egyes tag eggyel kisebb legyen, mint két szomszédjának a szorzata. Mi a sorozat 11. eleme? Mennyi az első 1108 tagjának az összege? Megoldás: 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, … Periódusa:5, 221 periódus fut le és még marad 3, így az összeg 221 • =1996. Ebben az évben feladható?

67 18. A 3, 6, 12, 5, 10, 1, … sorozat következő elemét úgy
18. A 3, 6, 12, 5, 10, 1, … sorozat következő elemét úgy kapjuk az előzőből, hogy annak utolsó számjegyét megduplázzuk és ehhez hozzáadjuk az utolsó számjegy elhagyásával kapott számot. (Például a 324 után a 2· = 40 következne.) Mutassuk meg, hogy a sorozat 14. eleme a 9. b) Mi lesz a sorozat eleme? Megoldás: 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, … 18 a periódus, 2008=18•111+10, ezért 16 a elem.

68 Így a keresett összeg: 33*7+1+2=234
19. Egy számsorozat bármely 3 szomszédos számának szorzata megegyezik a középső szám négyzetével. A sorozat 11. eleme 0,5 , a 13. eleme pedig 1. Számítsd ki a sorozat első elemét! Mennyi a sorozat első 200 tagjának az összege? Megoldás: A 12. elem 0,5 vagy 0 lehetne, de a 0 nem működik tovább. Ekkor a feltétel úgy is fogalmazható, hogy a középső elem a két szomszéd szorzata. Így a tagok: 1 2 2 1 0,5 0,5 1 2 2 1 0,5 0,5 1 Tehát az első elem az 1. A sorozat periodikus, periódusa 6. Egy periódusban az összeg 7, 33 teljes periódus fér bele. Így a keresett összeg: 33*7+1+2=234

69 20. Egy számsorozat első 10 eleme a következő:
20. Egy számsorozat első 10 eleme a következő: 100, 101, 103, 107, 115, 122, 127, 137, 148, 161, Határozzuk meg a sorozat 13. elemét!

70 21. A 4, x, 7, 11, y, 35, 67,. sorozatot valamilyen
21. A 4, x, 7, 11, y, 35, 67, ... sorozatot valamilyen szabály alapján képeztük. Próbáld meg kitalálni ezt a szabályt! Milyen számot kapunk, ha a sorozat első 11 elemének összegéből levonjuk a 4. és a 7. tagot? Segítség: x=5 y=19

71 GYÖNGYSZEMEK

72 1. Az O középpontú, 4 cm sugarú körben megrajzoltuk az
1. Az O középpontú, 4 cm sugarú körben megrajzoltuk az ABCD négyzetet, a PQ és RS átmérőket. PQ legyen párhuzamos AB-vel és CD-vel, RS pedig AD-vel és BC- vel. Az átmérők és a négyzet oldalainak metszéspontja K és L, illetve M és N. Milyen hosszú a PKNOLMR törött vonal?

73 Megoldás: Két átmérő hosszúságú
C D N O K P L Q M B A R Megoldás: Két átmérő hosszúságú

74 2. Egy négyzet csúcsai, oldalainak felezőpontjai
2. Egy négyzet csúcsai, oldalainak felezőpontjai és átlóinak metszéspontja 9 pontot határoznak meg. 8 olyan egyenes van, mely három ponton halad át. Mozdítsunk el két pontot úgy, hogy 10 olyan egyenes legyen, mely három ponton halad át!

75 Megoldás:

76 3. Az ábrán látható alakzatokat szürke
3. Az ábrán látható alakzatokat szürke kartonból vágtuk ki (a papírlapnak csak a felénk eső része szürke). Hányféle szürke téglalapot tudunk kirakni az összes darab felhasználásával? A rajzodról derüljön ki, hogy a téglalapot (téglalapokat) a kapott alakzatokból hogyan állítottad össze.

77 Megoldás:

78 4. Egy asztalon négy pohár áll:
   Egy-egy alkalommal három poharat megfordítunk. E művelet megismétlésével elérhetjük‑e, hogy mindegyik pohár meg legyen fordítva?

79

80 5. Az ábrán látható alakzat 5 db 1 cm. oldalhosszúságú négyzetből áll
5. Az ábrán látható alakzat 5 db 1 cm oldalhosszúságú négyzetből áll. Hogyan lehet két vágással három részre vágni úgy, hogy a kapott részekből 5 cm2 területű négyzetet lehessen összerakni?

81 Megoldás: A kapott négyszög mind a két alábbi esetben valóban négyzet, mert oldalai egyenlők, szögei pedig 90o-osak.

82 6. Az ábrán látható négyzet mind a kilenc
6. Az ábrán látható négyzet mind a kilenc mezejében eredetileg a 0 számjegy szerepelt. Egy lépés során kiválasztottunk egy négy négyzetből álló négyzetet, és az abban lévő négy szám mindegyikét 1-gyel megnöveltük. 40 lépés után az ábrán látható számokhoz jutottunk. Határozzuk meg az a, b, c, d, e, f értékét! Megoldásodat indokold! 8 a 7 b c d 22 e f

83 Megoldás: Akárhogy választunk ki egy kis négyzetet, a középső négyzet mindig benne lesz, ezért c = 40. Minden kiválasztásnál csak az egyik sarokmezőben lévő szám növekszik 1-gyel, ezért f = 40, ahonnan f = 3. Az a mezőt mindkét mellette álló sarokmezővel kiválasztjuk, ezért a = = 15. Hasonlóan b = = 30; e = = 25 és d = 7 + 3 =10. 8 7 22 a 15 30 b 40 10 c d 25 e f 3

84 7. Tegnap Zoli a következőket mesélte társainak:
– Képzeljétek! Egy augusztusi napon a Duna- parton összegyűjtöttem 202 kavicsot. Egyet közülük bedobtam a vízbe, a többit két halomra osztottam. Azután mindig eldobtam egy kavicsot egy olyan halomból, amelyben egynél több kavics volt, majd azt a halmot ismét két kisebbre osztottam. Fél óra múlva azt vettem észre, hogy minden halomban 3 kavics van. – Biztosan napszúrást kaptál a dobálás közben, ezért tévedtél a számolásban – mondta erre Marci. Mivel magyarázod Marci válaszát?

85 XVII. Amfiteátrum Kupa 2010. november 19. Elérhetőségek: