Romhányi Judit PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék

Az előadások a következő témára: "Romhányi Judit PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék"— Előadás másolata:

1 Romhányi Judit 2006. 10. 26. PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Válasz függvény Romhányi Judit PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék

2 Bevezetés 2D és 3D szemcsés rendszereken alkalmazott lokális
perturbációra adott választ vizsgáljuk. Kísérleti bizonyíték, arra, hogy a struktúra, a rendezetlenség, az anizotrópia, a súrlódás, jelentősen befolyásolja a választ.

3 Kontaktus erők rendezetlensége Geometriai eredetű
Az erők terjedése a szemcsés anyagokban még megoldatlan probléma. Egyik oka: Rendezetlenség. Kontaktus erők rendezetlensége Kontaktusok redundanciája súrlódás Geometriai eredetű bi-diszperz rendszer ötszög alakú szemcsék (2D) Azonos makroszkopikus körülmények közt elvégzett kísérlet eltérő válasz a perturbációra Motivált a statisztikus fizikai megközelítés. Számos, azonos körülmények között elvégzett kísérlet átlagát tekintjük.

4 Kontínuum jellegű leírásnál pl.:
Elméleti modellek az erő propagálásának jellemzésére, mind a rács, mind a kontínuum tartományban: Kontínuum jellegű leírásnál pl.: A klasszikus elasztikus modell Elliptikus parciális diff egyenletet (PDE) jósol a rugalmassági küszöb alatt és hiperbolikusa fölötte. A q modell parabolikus PDE megoldást javasol, OSL modell megoldása hiperbolikus PDE-t ad. Rácsmodellek esetén: Rendezett esetre hullámegyenlet jellegű megoldást, Gyenge rendezetlenség mellett diffúziós egyenleteket, Erős rendezetlenségre pedig elliptikus PDE-t jósolnak.

5 Kísérlet: lokálisan erő alkalmazása után a rendszer válaszának vizsgálata.
Először 2D-s rendszerekkel foglalkozunk: Mono-diszperz korongok rendezett, háromszög rácsba rendezve Bi-diszperz korongokból álló minta, a rendezetlenség különböző fokaival. Derékszögű rácsba rendezett korongok különböző súrlódási eh.kal. Ötszög alakú szemcsék (teljesen rendezetlen eset) Tetszőleges irányú alkalmazott erő hatása Nyírás utáni válasz vizsgálata.

6 A kísérlet bemutatása Foto-elasztikus mérés: alapja: a szemcsék feszültség által indukált kettős törése lehetővé teszi 2D-ban a belső szerkezet vizsgálatát. Elrendezés: Két függőleges plexilap közé pakolt szemcsék A függőlegestől ~2°-kal eltérő lapra helyezett szemcsék. polarizátorok közé tesszük, majd átvilágítjuk és egy 640480-as felbontású digitális kamerával lefotózzuk.

7 Az erő mérése: Az intenzitás az (x,y) pozícióban:
A nyomás alatt álló szemcsén mérve a transzmissziós intenzitást képet kaphatunk a bennük levő erők (feszültségek) eloszlásáról. Az erő mérése: Az intenzitás az (x,y) pozícióban: ahol I0 a beeső intenzitás, t a minta vastagsága, C optikai együttható,  a hullámhossz. F növelésével a fekete-fehér sávok sűrűsödnek, ennek alapján F merhető.

8 Az erő kalibrálása: Először G2 (i,j)-t határozzuk meg  (i,j) pozícióra, majd az N pixellel lefedett egy (v. több) szemcsére négyzet átlagot számolunk:

9 A fekete-fehér sávok sűrűsödésével nő <G2> is, ennek kihasználásával kalibrálunk:
Ismert erőket alkalmazva mérjük <G2>-et. Egységes súlyokat alkalmazva mérünk.

10 Az eljárás: Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkül feltérképezzük a szemcsék helyét. Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér. Kép: polarizátorok + terhelés Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvétel esetleges szemcse elmozdulás meghatározása. A 3.Kép - 2.Kép = a lok. perturbáció okozta feszültség változás. ~G2

11 Statisztikus megközelítés:
megvalósítás különböző képet eredményez még rendezett szerkezetű minta esetén is. (súrlódások és kontaktusok a preparáció mikroszkopikus részleteiben rejlik). Számos, azonos körülmények közt végzett kísérlet átlagos viselkedés legyen az (x,y) pozícióban a feszültség, az n-dik megvalósítás esetén. Átlagolás: átlagolása  n-re. Durva-szemcsés átlagolás.

12 Az egyes megvalósítások közti fluktuációt
jellemzi. Var = rms2 (x,y). Hasonló jelleg összefüggés keresése:  (i,j)-re. átlagos válasz rms(x,y)

13 Kísérleti eredmények:
4-féle elrendezés, az erők terjedését befolyásoló tényezőknek megfelelően: Rendezetlen szerkezetű minta Derékszögű pakolás (rendezett) és a súrlódás szerepe Nem merőleges irányú erők hatása Nyírt rendszer válasza

14 Geometriai rendezetlenség
Rendezetlenség szerepe: ~ bidiszprez rendszer válasza Geometriai rendezetlenség Random kontaktus erők () A rendezetlenség (poli-diszperzitás) mértékének kontrolált változtatása: w(a) : az a korong –átmérő eloszlása. Bevezetjük az A mennyiséget : ,ahol az m-dik momentum: A =1 felel meg a teljesen rendezett, monodiszperz rendszernek A =1 től való eltérés ~ a rendezetlenség mértéke

15 Másik út a rendezetlenség jellemzéséhez:
Bidiszperz rendszert vizsgálunk: a1 és a2 átmérőjű szemcsékből rendre N1 és N2 db van. Ekkor R=a1/a2 ni=Ni/N , (i=1,2) N= N1 + N2 ,ahol Másik út a rendezetlenség jellemzéséhez: A szemcse-szemcse auto-korrelációs fv. kiszámolása: A: a rsz. Területe rij a távolság i és j rész között Különböző szemcsék közt: ,és i, j 1-től N1 ill N2-ig fut

16 Hexagonálisan pakolt mono- diszperz korongok auto-korrelációs fv.-e.
(b), (c) és (d): auto-korrelációs fv. A=0,993, A=0,988 és A=0,965 esetén. Az auto korrelációs fv. itt gyorsan lecsökken a háttér 1 értékére.

17 rendezetlenség -re emlékeztető jelleg. Bi-diszperz rendszerek lokális gerjesztésre adott válaszai. A 1 rendezett rendszer ~ két csúcs jellegű válasz, rendezetlenség növelésével a 2 csúcs összeolvad.

18 Derékszögben pakolt korongok vizsgálata különböző  mellett.
Ez a pakolási módszer csökkenti a kontakt erők véletlen jellegét. ( kontaktus szerepet játszik a stabilitásban. A kontaktus háló jól definiált, a kontaktus erő sehol sem 0.) meghatározása: 2 korongot összeragasztva ( gördülés) lecsúsztatunk egy az ugyanebből az anyagból készült lejtőn. 1=0,94 ; korongok bevonása teflon szalaggal 2=0,48.

19 Különböző súrlódás mellett adott válasz
Különböző súrlódás mellett adott válasz. Nagyobb súrlódásnál a válasz fv. viszonylag hamarabb kiszélesedik.

20 Tetszőleges irányú erők hatására adott válasz:
Kétféle elrendezés: (50g terhelés) -ekből álló rendezetlen rendszer ( = 90°, 60°, 45° és 30°) Hexagonális rácsba rendezett korongok ( = 90°, 75°, 60°, 45°, 30° és 15°) Normális irányú erő esetére belátható, hogy a teljesen rendetlen rsz. úgy viselkedik, mint az elasztikus anyagok. Elasztikus anyagra alkalmazva a  irányú erőt, a feszültség-tenzor elemei: Koordináta transzformáció z-tengely F irányába esik, ezzel pl.

21

22

23

24 A következő kísérletben mono-diszperz korongok háromszög rácsára alkalmazunk  irányú erőt.
= 90°-ra az ismert válasz, hogy az erők a 2 rácsvektor irányában terjednek. (a) = 70°-nál a jobb – bal szimmetria megtörik, de még mindig a rácsvektorok irányában terjednek az erők. (b) = 60° , az erő az egyik rácsvektor irányába mutat. (c)

25 = 45°, 30° és 15° esetekben az egyik irány a kitűntetett rácsvektor iránya, a másik pedig ~ 62,5° pozitív irányban a függőleges tengelyhez képest ~ az a másod-szomszéd rácsvektor, amelynek iránya közelebb esik az alkalmazott erő irányához.

26 Nyírt rendszer vizsgálata:
-alakú szemcsék, (a függőlegessel bezárt)  szögű nyírások. Felületre merőleges erő alkalmazása. : az a szög, amelynek irányában a rendszernek a legtöbb kontaktusa van. (): eo. Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkül feltérképezzük a szemcsék helyét. Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér. Kép: polarizátorok + terhelés Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvétel esetleges szemcse elmozdulás.

27 () összehasonlítása nyírás előtti és nyírás utáni esetben
Kvantitatív kép a nyírás köszönhető geometriai érintkezési struktúra megváltozásáról. (adatok  szemcsére és 50 mérésre vannak átlagolva) A szerkezetbeli változás nem olyan szembetűnő, mint az az erő-csatornákban. Megfigyelés: erő-csatornák 45°-os szögben szeretnek állni.

28 Magyarázat:  ~ 5°-os nyírás kifejezhető, mint egy /2 szögű forgatás és egy összenyomás 45°-os irány mentén, valamint széthúzás az erre merőleges irányban. Az összenyomás irányában megnőnek a kontaktus erők, és ez erős aszimmetriához vezet a feszültség hálóban. Az erő korreláció a kitűntetett irányban hosszú távúak, és a korrelációs függvények hatványfüggvény jellegűek, -0,81 –es exponenssel.

29 3D-s kísérlet: Dobozba zárt szemcsés anyag esetén a lokális terhelés hatására a doboz alján kialakuló feszültség eloszlását vizsgálták. Elrendezés: A homok vékony (~ 100 m) fémes membránra kerül, ennek deformálódását mérték. A P dugattyú ált. kifejtett terhelés M=5g-nak felel meg, A=1cm2 területen. Mérés 2 különböző méretű és alakú homok keverékén: d1~1mm, d2~300 m. A lock-in erősítővel (x=0-ban) mért válasz amplitúdót ábrázoljuk ezután az alkalmazott erő-moduláció amplitúdójának (F) fv-ében. Mozgatva az erőt kifejtő dugattyút, zz(x) feltérképezhető a doboz alján.

30 A válasz erő irányú, centrális jelleget mutat. (mint bi-diszperz 2Dben
A válasz erő irányú, centrális jelleget mutat. (mint bi-diszperz 2Dben.) A w fél érték szélesség lineárisan nő a mélység függvényében, és a meredekség anyag független Összevetve az egyetlen rendelkezésre álló elméleti eredménnyel: (3D fél-végtelen.)

31 Kísérlet összefoglalása:
Rendezett rendszer: rács-szimmetria megjelenése a válaszban. Rendezetlen rendszer: kontínuum jelleg ~ elasztikus anyagokhoz hasonló viselkedés. F F rács F rács F + -ek ? Kis skála ~ szemcse mérete. Hiperbolikus fv.ek Nagy skála ~ kontínuum leírás Súrlódás rendezetlen jelleg

32 Numerikus eredmények:
2D-s szimuláció különböző rácstípusokra (háromszög és derékszögű) Mono-diszperz és Poli-diszperz korongokkal. A kísérlet menete: Kontaktusok nélküli kiinduló konfiguráció létrehozása Relaxáció gravitációs térben Merőleges irányú terhelés alkalmazása Újabb relaxáció

33 Mono-diszperz korongok háromszög rácsba rendezve:
A külső erő növelésével átmenet történik az 1 csúccsal jellemzett profilból a 2 csúcsosba. Az átmenethez tartozó erő növekszik  növelésével. Az alk. külső erő (Fext) alatt (x=0) mért válasz Fext fv-ében. Kis Fext mellett lineáris válasz. Lineáristól való eltérés oka a külső erő miatti csúszás, ill. a kontaktusok csökkenése.

34 Kis külső erő mellett a kontaktus háló változatlan, a válasz elasztikus jellegű. Növelve Fext-t horizontális kontaktusok szűnnek meg csepp alakban. A csepp mérete Fext –el arányosa nő, és -vel arányosan csökken.  = 0 esetben a csepp alakú tartomány erősen anizotrop. Ha a csepp nem éri el az alját nyomáseloszlás 1 csúcsú. Ha eléri (Fext elég nagy) két csúcs látható a válaszban.

35   0 esetben effektív kapcsolat marad a csepp belsejében is
  0 esetben effektív kapcsolat marad a csepp belsejében is. A rendszer sokkal izotropabbnak látszik, mint =0-nál. Elég kis  -re a rendszerben csúszások léphetnek fel két csúcsú válasz jelenik meg. Ha  nagy, a nyomáseloszlást alsó lapon 1 csúcs fogja jellemezni.

36 Köszönöm a figyelmet! Felhasznált irodalom:
G. Reydellet & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 86 No. 15. (2001) G. Reydellet, L. Vanel & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 87 No. 3 (2001) J. Geng, G. Reydellet, E. Clément & R.P. Behringer: Physica D, (2003) C. Goldenberg & I. Goldhirsch: Nature, Vol. 435 (2005) Köszönöm a figyelmet!