Az információ-tartalom mérése Állapothalmaz, esemény

Az előadások a következő témára: "Az információ-tartalom mérése Állapothalmaz, esemény"— Előadás másolata:

1 Döntés aszimmetrikus információ mellett, játékok egyensúlya, az információ mérése
Az információ-tartalom mérése Állapothalmaz, esemény Információs függvény Tökéletes Bayes-i egyensúly Döntés aszimmetrikus információ mellett

2 Az információ, mint sajátos áru
Az információ, mint közjószág „potyautas” probléma és információ az információ pozitív externáliái: „hálózat-gazdaságosság” Az információ, mint luxusjószág az információ értéke az információ birtoklásának monopolista járadéka Az információ termelésének és fogyasztásának költségei a nulla határköltség-probléma keresési költségek

3 Az információ mérése (1)
Példa: elveszítettük barátunkat a forgalomban és csak annyit tudunk, hogy egy olyan területen belül található, amely 16 egyenlő négyzetre osztható. Mi a legkevésbé költséges - legkevesebb kérdést igénylő - módja megtalálásának? 1: az 1-8.-ban van? 2: a ben van? 3: a ben van? 4: a 11.-ben van?

4 Az információ mérése (2)
Ha az 1. kockánál kezdenénk és a 16.-ig folytatnánk, az átlagos (várható) költség Általában is igaz, hogy 2N – „igen-nem” típusú – lehetőség esetén N kérdés (Ft) elégséges a biztos információ megtalálásához. Ha minden lehetőség egyenlő valószínűségű (p = 1/ 2N), akkor a h(p) információtartalom függvényt a következő axiómák meghatározzák: (1) h(p) csak p-től függ és p-nek monoton csökkenő függvénye

5 Az információ mérése (3)
Az iménti azt jelenti, hogy az információ annál értékesebb, minél kisebb volt az esemény bekövetkezésének előzetes valószínűsége (2) h(p) a p folytonos függvénye a (0, 1] intervallumon (3) a 0 valószínűségű esemény bekövetkezéséről szóló hír információ-tartalma végtelen, az 1 valószínűségűé nulla: (4) h(p) a p monoton csökkenő függvénye a (0, 1] intervallumon: (5) Ha e1 és e2 két független esemény p1 illetve p2 valószínűséggel, akkor a két esemény együttes bekövetkezéséről szóló információ additív:

6 Az információtartalom függvény (1)
Bizonyítható (ld. H. Theil, 1970, o.), hogy a függvény kielégíti az előbbi axiómákat. Ezt nevezzük információtartalom függvénynek Ha a h(p) függvényt a 2-alapú logaritmussal definiáljuk: h(1/2) = 1 („igen-nem” kimenetelű esemény) bit Információ-nyereség: legyen p1 az esemény (feltételes) valószínűsége az információ után (pl. „ma napos idő várható”) és p0 az esemény előzetes (statisztikai) valószínűsége, azaz A Bayes-szabály alapján azonban

7 Az információtartalom függvény (2)
A p1/p0 tehát azt a valószínűség-növekményt mutatja, amely az előzetes (statisztikai) valószínűséghez képest bekövetkezett azzal, hogy az esemény várható bekövetkeztét bejelentették Példa: a használt autók piacán a jó gépkocsik aránya 70%. Egy autószerelő a jó gépkocsik 80%-át helyesen „jónak” minősíti. Mekkora az információ-nyereségünk, ha a vásárolni kívánt autót megmutatjuk a szerelőnek? A valószínűség-növekmény = 0,8 / 0,7 ~ 1,143 Az információ-nyereség: Példánkban 0,293 bit

8 Döntés bizonytalanság illetve információs probléma mellett (1)
Döntés bizonytalanság mellett: ha a döntéshozó nem ismeri valamely releváns változó tényleges értékét csak annak valószínűség-eloszlását (ld. Profitmaximalizálás bizonytalan ár mellett) → a „bizonytalanság közgazdaságtana” Döntés információs probléma mellett: ha a döntéshozó nem ismeri valamely releváns változó tényleges értékét csak annak valószínűség-eloszlását, ám mielőtt döntését meghozná, újabb információhoz jut, amely korrigálja az előzetes valószínűség-eloszlásra vonatkozó tudását → az „információ közgazdaságtana”

9 Döntés bizonytalanság illetve információs probléma mellett (2)
Példa: fogadás pénzfeldobás eredményére, ahol az érme lehet szabályos (fej - írás), lehet „fej - fej” vagy „írás - írás” azonos, 1/3–1/3 valószínűséggel Kifizetések: ha eltalálja, nyer 30-at, ha nem találja el, veszít 50-et, ha nem játszik, nyereménye (vesztesége) nulla Feltesszük, hogy a játék hasznossága azonos a nyereménnyel Ha „írást” tippel: A játék várható értéke:

10 Döntés bizonytalanság illetve információs probléma mellett (3)
Tegyük fel, hogy a döntéshozó megnézheti az érme egyik oldalát, mielőtt tippel. Hogyan változik a játék várható értéke, ha „írást” látott? Ha ezek után „írást” tippel, várható nyereménye (hasznossága):

11 Döntés bizonytalanság illetve információs probléma mellett (4)
Teljes információs probléma: például Cournot-duopólium, amikor a két vállalat ismeri egymás költség-függvényét, de csak feltevéseik vannak arról, hogy a másik vállalat hogyan reagál az ő termelési döntésükre A feladat megoldása: a teljes információs reakció-függvények alapján Nem teljes információs probléma: Az egyik vállalat költségfüggvénye mindkettő számára ismert, a másikénak azonban csak a valószínűség-eloszlása Legyen a piaci inverz keresleti függvény = B határköltség függvénye = 0, A határköltség függvénye =

12 Döntés bizonytalanság illetve információs probléma mellett (5)
A vállalat reakciófüggvénye: B vállalat várható profit-függvénye: amiből A reakciófüggvényéből qA-t behelyettesítve B profitmaximum feltételébe kapjuk: Statikus nem teljes információs modell

13 Állapothalmaz, esemény, partíció (1)
Jelöljük Ω-val a gazdasági szereplő (döntéshozó) számára lényeges és egyben lehetséges állapotok halmazát. Feltesszük, hogy Ω nem üres és véges halmaz ==> Ω-t állapothalmaznak nevezzük Legyenek {Mi, i = 1, … ,n} nem üres részhalmazai Ω-nak úgy, hogy tehát Ω-t felosztottuk páronként diszjunkt részhalmazokra. Ezt a felosztást partíciónak nevezzük, amelyben az eredeti Ω halmaz minden eleme pontosan egy Mi-nek eleme Legyen E az Ω valamely részhalmaza. Az E halmazt eseménynek nevezzük, tehát ha valamely állapot fennáll és , akkor azt mondjuk, hogy az E esemény bekövetkezett

14 Állapothalmaz, esemény, partíció (2)
Példa: a sakkjátékban egy játékos 8 gyaloggal és 8 tiszttel játszik. Ha a gyalogokat 1-8-ig, a tiszteket pedig 9-16-ig beszámozzuk, akkor Ω = {1, … , 16} Ha az ellenfél leütötte a játékos valamelyik gyalogját, de nem tudjuk, melyiket, akkor az E = {1, … ,8} esemény azt jelenti, hogy valamelyik gyalog „elveszett”, az ω = 3 pedig a 3. számú gyalog elvesztését jelenti. Ha tehát tudjuk, hogy az ellenfél a 3. gyalogot ütötte le, akkor egyúttal azt is tudjuk, hogy az E esemény bekövetkezett Ha egy gyalog elvesztésének valószínűsége kétszerese egy tiszt elvesztése valószínűségének, akkor a összefüggésből pg = 1/12 és pt = 1/24. Tehát az E bekövetkezésének valószínűsége = 2/3, míg a nemE (= valamelyik tiszt elveszett) bekövetkezésének valószínűsége = 1/3. Ha viszont tudjuk, hogy gyalog veszett el, csak azt nem melyik, annak valószínűsége, hogy a 3.-at ütötték le = 1/8

15 Információs függvény (1)
Az információs probléma: a döntéshozó képes megfigyelni a megvalósult eseményeket, de nem tudhatja, hogy az események elemei közül melyik állapot valósult meg. Ha például egy vállalat profit-növekedése a [–10%; 10%] tartományba eshet (és feltesszük, hogy a profitváltozás csak egész értékekben mérhető), akkor az E(4) esemény lehet az, hogy a növekedés legfeljebb 4%-os volt, de lehet az is, hogy a növekedési ütem páros szám volt, továbbá az is, hogy pozitív szám volt Az információs függvény: minden állapothoz azt az eseményt rendeli hozzá, amelyet a döntéshozó az adott állapot fennállásakor ténylegesen ismer

16 Információs függvény (2)
Az információs függvény egy partíciót hoz létre az Ω állapothalmazon. Tehát nem állhat fenn egyszerre Az információs függvény = azon partícióval, amelyet létrehoz ω ω’ ω’’ E(ω) E(ω’)

17 Kezdeti és korrigált vélekedés (1)
Mielőtt a döntéshozó kiegészítő információhoz jutna, ismeri a kezdeti valószínűségeket, tehát az állapotok valószínűség-eloszlását. Az információ az E(ω’) esemény bekövetkezéséről szól, tehát a döntéshozó ismeri az E(ω’) eseményt és annak p(E(ω’) ) valószínűségét is A Bayes-szabályból:

18 Kezdeti és korrigált vélekedés (2)
Példa: Tegyük fel, hogy a kockadobás eredménye (állapota) ω’ = 2, ám a döntéshozó csak annyit tud, hogy az eredmény páros szám, azaz E(ω’) = {2, 4, 6}. Ekkor p(ω’) = 1/6 és p(E(ω’) = 1/2. Mekkora valószínűséget tulajdonít a döntéshozó annak, hogy az eredmény = 2, ha tudja, hogy az esemény = „páros szám”? Az információ birtokában viszont annak, hogy az eredmény 3 volt, valószínűséget tulajdonít

19 Egyensúly: egy példa A tökéletes tudás (a másik játékos döntéseinek ismerete) és a nem tökéletes tudás A teljes tudás ( a többi döntéshozó lényeges tulajdonságainak ismerete) A nem teljes tudás (információs probléma) Példa: kártyajáték. Két játékos: X és Y, 2 lefordított kártya: Ász és Nem Ász, induló befizetés: 10 – 10 egység. X: licitál (L) vagy passzol (P), Y: feladja (F), vagy nem adja fel (NF). X húz először és Y nem tudhatja, X mit húzott Ha X passzol, a játéknak vége, Y nyer 10-et, X veszít 10-et; Ha X licitál, még befizet 50-et, majd Y dönt: F vagy NF. Ha F: (10; –10). Ha NF, Y is befizet 50-et és megnézik X lapját. Ha Ász: (60; –60), ha Nem Ász: : (–60; 60)

20 Egyensúly: egy példa (2)

21 Egyensúly: egy példa (3)
A játék információs struktúrája két állapot: Ász (A) vagy Nem Ász (NA) p(ω1) = p(ω2) = 1/2 X döntési pontjában információja teljes, Y-é azonban hiányos X döntése után azonban Y többlet-információhoz jut (feltéve, hogy a húzott lap és X döntése között racionális összefüggés van); Y korrigálhatja kezdeti vélekedését (a valószínűséget) Az egyensúly dinamikája egyensúlyi stratégia Y korrigált információinak valószínűség-eloszlása: egyensúly: mindkét játékos döntése a lehető legjobb válasz legyen; összhangban álljon az Y játékos korrigált vélekedésével

22 Egyensúly: egy példa (4)
Tf. X: A → L domináns stratégiája, mert kifizetése 60 vagy 10 (Y: NF vagy F), szemben azzal, ha X: A → P = (–10; 10) Y: ha X = P → X: NA, tehát Ha Y korrigált vélekedése „szimmetrikus”: Y stratégiája: ha X = L Y = F; ha X = P Y = NF X stratégiája: ha X: A X = L; ha X: NA X = P De X stratégiája csak akkor a legjobb válasz Y-ra, ha X: A. X = L akkor is jobb válasz, ha Y = F, tehát mindig X = L Ekkor viszont X döntése nem nyújt valódi információt Y számára X döntése nem konzisztens Y vélekedésével Y stratégiája most nem mindig a legjobb válasz

23 Egyensúly: egy példa (5)
Tehát Y legjobb válasza, ha Y = NF, de erre X = L nem mindig a legjobb válasz → nincs egyensúly Következtetés: X semmilyen tiszta stratégiája nem lehet egyensúlyi. X kevert stratégiát játszik. Ekkor Y optimális stratégiája: ha X várható kifizetése ugyanannyi X = L, mint X = P esetén Legyen q annak valószínűsége, hogy Y = F, ekkor (1 – q) annak valószínűsége, hogy Y = NF. Y optimális stratégiája, ha X: NA q(10) + (1 – q)(–60) = –10. Ebből q = 5/7 Ha Y kevert stratégiát játszik, X-nek olyan stratégiát kell választania, hogy amikor X = L, Y várható kifizetése egyenlő legyen Y = F és Y = NF esetén X egyensúlyi stratégiája:

24 Egyensúly: egy példa (6)
A licitálás feltétel nélküli valószínűsége: A passzolás feltétel nélküli valószínűsége: Y korrigált vélekedése a Bayes-szabály alkalmazásával:

25 Egyensúly: egy példa (7)
A fentieket p-re megoldva p = 5/7 Végső eredmények: ha X = A → X = L ha X = NA → p(X = L) = 5/7 és p(X = P) = 2/7 ha X = P, akkor Y: NF, mert számára p(X: NA) = 1 ha X = L, akkor Y számára q(X: A) = 7/12 és q(X: NA) = 5/12 és ekkor p(Y = F) = 5/7 és p(Y = NF) = 2/7

26 Tökéletes Bayes-i egyensúly
Az előbbi példa a tökéletes Bayes-i egyensúly egy speciális esete Ha valamely döntéshozó nem ismeri a többiek tulajdonságait („típusát”) = nem teljes információs probléma A statikus és a dinamikus nem teljes információs problémák Nash-Bayes-i egyensúlyi megoldása: J. Harsanyi

27 Aszimmetrikus információ és döntés
Legyen S a gazdasági szereplő döntési alternatíváinak (lehetséges stratégiáinak) halmaza és egy döntési alternatíva (korábban ezt neveztük akció-függvénynek) A döntéshozó célfüggvénye: U = U(s,ω), miközben számára az E(ω’) esemény megfigyelhető A döntéshozó a célfüggvénye várható értékét maximalizálja E(ω’) és annak valószínűsége ismeretében: