Két kvantitatív változó kapcsolatának vizsgálata

Az előadások a következő témára: "Két kvantitatív változó kapcsolatának vizsgálata"— Előadás másolata:

1 Két kvantitatív változó kapcsolatának vizsgálata

2 Egy KSH-vizsgálat adatai
55 50 45 Születési testhossz (cm) 40 35 1 2 3 4 5 Születési súly (kg)

3 Az előrejelzés problémája
Ha az anya 50 kg súlyú, kb. hány kiló 10 éves gyermeke?

4 Előrejelzés egy egyenes segítségével
45 40 35 Gyerek tests. 10 év (kg) 30 25 20 40 50 60 70 80 Anya testsúlya (kg)

5 Melyik a legjobb előrejelző egyenes?
45 40 35 Gyerek tests. 10 év (kg) 30 25 20 40 50 60 70 80 Anya testsúlya (kg)

6 Az előrejelzés alapfogalmai
Jósolt (függő) változó: Y Jósló (előrejelző, független) változó: X Lineáris előrejelzés (jóslás): Ŷ = a + bX Az x értékhez tartozó igazi Y-érték: y Az x értékhez tartozó előrejelzés: ŷ = a + bx Az előrejelzés hibája egy személynél: (y - ŷ)2 A legjobb előrejelzésnél E[(Y - Ŷ)2] minimális

7 Szokásos szóhasználat
Legjobb előrejelző egyenes: regressziós egyenes Regressziós egyenes képlete, y = a + bx, a lineáris regressziós függvény Regressziós egyenlet meghatározása: regressziós feladat Regresszió hibája = hibavariancia: Res = E((Y - Ŷ)2) a és b paraméter: regressziós együtthatók

8 Példák lineáris regresszióra
Változó Átlag Variancia Regressziós egyenlet X: SúlySzül , , Y = 26,05 + 2,24X Y: Súly , , Res = 45,20 X: ThosszSzül , , Y = 96,88 + 0,83X Y: Thossz , , Res = 37,09 X: Anyatesth , , Y = 77,66 + 0,38X Y: Thossz , , Res = 36,02

9 Az Y kvantitatív változó előrejelzése X ismerete nélkül, illetve X ismeretében
Y legjobb előrejelzése abban az esetben, ha nem tudunk semmit X-ről vagy más változókról: mY Ezen előrejelzés hibája: E[(Y - mY)2] = Var(Y) X-et is felhasználva a legkisebb hibájú előrejelzés: Ŷ = a + bX, az X változó Y-ra von. lineáris regressziós függvénye. Ezen előrejelzés hibája, az ún. hibavariancia: E[(Y - Ŷ)2] = Res

10 Milyen szoros az együttjárása Y-nak az X kvantitatív változóval?
Minél informatívabb X az Y változóra nézve, annál kisebb lesz Res a Var(Y)-hoz viszonyítva, vagyis annál kisebb lesz a Res/Var(Y) hányados. Viszont annál nagyobb lesz a mutató, az X változónak az Y változóra vonatkozó lineáris determinációs együtthatója.

11 Alapösszefüggések a determinációs együtthatóra
0 £ Det(X,Y) £ 1 Det(X,Y) = 0 csakkor, ha Res = Var(Y). Ekkor X nem tartalmaz lineáris jellegű információt Y-ra nézve. Det(X,Y) = 1 csakkor, ha Res = 0. Ekkor Y hibamentesen előrejelezhető X által. X determinisztikusan meghatározza Y-t, éspedig lineáris függvény formájában.

12 A determinációs együttható
Jól mutatja, hogy Y milyen mértékben függ lineárisan X-től, hogy X milyen mértékben határozza meg, “determinálja” Y-t. FONTOS: Det(X,Y) = Det(Y,X). Jelzi, hogy az X és az Y változó milyen mértékben határozza meg egymást, vagy másképpen: X és Y milyen szoros lineáris típusú kapcsolatban van egymással.

13 Két véletlen változó függetlensége
DEFINÍCIÓ: Y független X-től, ha Y eloszlása ugyanaz bármely X = x mellett KÉRDÉS: Függ-e a személy magassága a nemétől?

14 Függ-e a születési testhossz a születési súlytól? És fordítva?
55 50 Születési testhossz (cm) 45 40 35 1 2 3 4 5 Születési súly (kg)

15 Függ-e az Y változó X-től?
1 80 Y Y 0,5 50 20 X 0,5 X 1 20 50 80

16 Függ-e az Y változó X-től?
2 X -3 3

17 A függetlenség kölcsönös
FONTOS: Ha Y független X-től, akkor X is független Y-tól

18 Függetlenség és elméleti átlag
Bármely X és Y kvantitatív változóra: E(X+Y) = E(X) + E(Y) Ha X és Y független egymástól, akkor E(X·Y) = E(X)·E(Y), vagyis ekkor E(X·Y) - E(X)·E(Y) = 0, de a megfordítás nem mindig igaz.

19 Két változó kovarianciája
DEFINÍCIÓ: Cov(X,Y) = E(X·Y) - E(X)·E(Y) Ha X és Y független változók, akkor Cov(X,Y) = 0 A megfordítás nem mindig igaz, vagyis nulla kovariancia esetén X és Y nem biztos, hogy független egymástól.

20 Két kvantitatív változó korrelációs együtthatója
Ha X vagy Y szórását megkétszerezzük, kétszeresére nő kovarianciájuk is. Szórásokkal leosztott, ún. “standardizált” kovariancia = korrelációs együttható:

21 Összefüggés a korrelációs együttható és a determinációs együttható között
A korrelációs együttható négyzete mindig megegyezik a determinációs együtthatóval: [r(X,Y)]2 = Det(X,Y) r(X,Y) tehát az X és Y közti összefüggés mértékét jelzi, vagyis a lineáris típusú kapcsolat szorosságának mérőszáma.

22 A korrelációs együttható jellemzői
-1 £ r(X,Y) £ 1 Ha X és Y független, akkor r(X,Y) = 0. Ha r(X,Y) = 0, vagyis ha X és Y korrelálatlan, akkor nem feltétlenül függetlenek, de biztos, hogy nincs köztük lineáris típusú összefüggés (U vagy fordított U alakú kapcsolatban persze lehetnek). Ha X és Y együttes eloszlása normális, azaz bármely rögzített X = x mellett Y normális, akkor a függetlenség és a korrelálatlanság ekvivalens.

23 Regresszió és korreláció kapcsolata
Az elméleti korrelációs együttható szokásos jelölései: r(X,Y), rXY vagy r A lineáris regresszió képlete: Ŷ = a + bX vagy Ŷ = aYX + bYXX Ekkor sXbYX = sYr és zY = rzX

24 Két következmény Ha X értékét 1 egységgel növeljük, akkor Y értéke várhatóan bYX egységgel nő. Ha viszont sX egységgel növeljük, akkor Y értéke várhatóan rsY egységgel nő. r előjele összhangban van a regressziós egyenes irányával. Ha a regressziós egyenes emelkedő, akkor X és Y között pozitív a korreláció. Ha ereszkedő, akkor r negatív.

25 r = 0,5

26 r = -0,5

27 r = -0,9

28 r = -0,83

29 r = 0

30 A mintabeli korrelációs együttható
Jelölése: rXY vagy r Egyik képlete: Ez az elméleti kovariancia mintabeli becslése osztva a két mintaszórás szorzatával. rXY az elméleti korr. eh. egyik pontbecslése.

31 Korrel. eh. vizsgálata t Feltétel: X és Y együttes
eloszlása legyen normális X-minta H0: rXY = 0 t (f = n-2) 0,95 0,025 0,025 -t 0,05 t 0,05 t £ -t0,05 |t| < t0,05 t ³ t0,05 H1: rXY < 0 H0 H2: rXY > 0

32 Korrel. eh. vizsgálata rxy kiszámítása Feltétel: X és Y együttes
eloszlása legyen normális X-minta H0: rXY = 0 A t-táblázat helyett használható az rXY eh. kritikus értékeinek táblázata is. rxy kiszámítása (f = n - 2) r £ -r0,05 |r| < r0,05 r ³ r0,05 H1: rXY < 0 H0 H2: rXY > 0