Az előadások a következő témára: ""— Előadás másolata:

74 Dichotóm változók vizsgálata
Dichotóm (kétértékű) változók Személy neme (x1 = férfi, x2 = nő) Egyetért-e ... (x1 = igen, x2 = nem) Előfordul-e ... (x1 = igen, x2 = nem) Megoldotta-e ... (x1 = igen, x2 = nem) Beteg-e (x1 = igen, x2 = nem) Bináris változó: az a speciális eset, amikor x1 = 0 és x2 = 1

75 Dichotóm változók eloszlása
Eloszlás: Az x1 és x2 érték előfordulási valószínűsége, azaz P(x1) és P(x2). Pl. a ‘Személy neme’ egy lehetséges eloszlása: {P(ffi) = 0,45, P(nő) = 0,55}. A ‘Személy neme’ változó szintén lehetséges eloszlása: {P(ffi) = 0,60, P(nő) = 0,40}. Mindig igaz: P(x1) + P(x2) = 1

76 Egy dichotóm változó vizsgálata egy populációban
Példa: pszichológia szakra felvételizők között a fiú-lány arány ugyanakkora-e? Nullhipotézis: H0: P(ffi) = 0,5, P(nő) = 0,5 Egy valódi vizsgálat adatai: 1981-ben 94 felvételiző között 16 fiú és 78 lány volt (kapott gyakoriságok: ni) Ha H0 igaz lenne, 94-ből fiúra és lányra számítanánk (várt/elméleti gyakoriságok: i)

77 Eloszlásvizsgálat khi-négyzet-próbával
Minél nagyobb az eltérés a kapott (ni) és a várt (i) gyakoriságok között, annál valószínűbb, hogy a nullhipotézis nem igaz. Az eltérés egy lehetséges mértéke: 2 = (n1 - 1)2/1 + (n2 - 2)2/2 Ha igaz a H0 hipotézis, akkor ez khi-négyzet eloszlású, f=1 szabadságfokkal.

78 A fenti példa számításai
2 = (16 - )2/ + (78 - )2/ 2 2 (f=1) Emiatt a H0 hipotézist elutasítjuk, s azt mondjuk: A fiúk aránya szignifikánsan kisebb a lányokénál. 

79 Egy másik példa Egy dobókockával 30-szor dobunk szabályosan. Összesen 10 hatost kapunk. Hamis a kocka? 2 = (10 - )2/ + (20 - )2/ 2  (f=1) Az eredmény tehát 5%-os szinten szignifikáns, vagyis a kocka 95%-os valószínűséggel hamis. 

80 Khi-négyzet-próba Feltétel: i  5 H0: P(x1) = p1, P(x2) = p2
X-minta 0,6 f=1 0,4 (f = 1) 0,2   2     0,05 2 < 2 2  2 0,05 0,05 H0 HA: P(x1)  p1, P(x2)  p2

81 Két populáció összehasonlítása egy dichotóm változó segítségével
Példa: Matematika és pszichológia szakra felvételizők között van-e különbség a nemi megoszlás tekintetében? Nullhipotézis: A két populációban a nemi megoszlás ugyanaz, vagyis P(fiú/matek) = P(fiú/pszich) és P(lány/matek) = P(lány/pszich)

82 Egy konkrét példa H0 igaz volta esetén a közös fiú-arány kb. 130/320, így a várt fiú-gyakoriság a matek és a pszich. szakon: 11= 80130/320 = 32,5 és 21= 240130/320 = 97,5 Hasonlóan a közös lány-arány kb. 190/320, így 12= 80190/320 = 47,5 és 22= 240190/320 = 142,5

83 A 2×2-es khi-négyzet-próba
H0 igaz volta esetén a statisztikai mennyiség f = 1 szabadságfokú khi-négyzet-eloszlást követ, így 2 < 3,841 esetén H0-t megtartjuk, 2  3,841 esetén pedig H0-t 5%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk ( = 3,841). 0,05

84 Számolás: kontingenciatáblázatból
Kapott gyakoriságok Várt gyakoriságok 58 22 32,5 47,5 72 168 97,5 142,5 2 44,92 6,6352 (f=1) Konklúzió: a különbség 1%-os szinten szignifikáns. 

85 Alkalmazási feltétel: ij  5
Általános eset Minták X=x X=x Összesen 1 2 1. Minta n n n 11 12 1 ij= (nimj)/N 2. Minta n n n 21 22 2 Összesen m m N 1 2 (f = 1) Alkalmazási feltétel: ij  5

86 Két dichotóm változó eloszlásának összehasonlítása egy populációban
Példa: Egy középiskolai osztályban előadást tartottak a dohányzás ártalmairól. Ezután 36 tanuló közül 8-an leszoktak, 3 tanuló pedig rászokott a dohányzásra. Volt-e hatása a felvilágosító előadásnak? Nullhipotézis: A dohányzás dichotóm változója eloszlása az előadás előtt és után ugyanaz. Különbségváltozó: x1= leszokik, x2 = rászokik Nullhipotézis: H0: P(x1) = P(x2)

87 Képlet és számolás: a McNemar-próba:
Adattáblázat: Dohányzik? Utána igen Utána nem Előtte igen a b=8 Előtte nem c=3 d Képlet és számolás: a McNemar-próba: Alkalmazási feltétel: (b+c)/2  5, azaz b+c > 10

88 Egy példa 40 fős évfolyamon 12 kérdésből álló vizsgatesztet írattak. Az 1. feladatot 28-an, a 2. feladatot pedig 20-an oldották meg helyesen. Szignifikánsan nehezebbnek tekinthető-e a 2. feladat? A fenti kérdésre a megadott az adatok alapján nem lehet válaszolni. Hiányzik: n(1. jó, 2. rossz) és n(1. rossz, 2. jó)

89 Megfelelő adattáblázat:
Megoldás 2. helyes 2. helytelen 1. helyes b 1. helytelen c A McNemar-próba képlete:

90 Két dichotóm változó kapcsolatának vizsgálata
15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 105 17 122 Nem 469 340 809 Összesen 574 357 931 Függetlenségvizsgálat  homogenitásvizsgálat

91 Sorösszegek szerinti százalékok táblázata
15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 86,1% 13,9% 100% Nem 58,0% 42,0% 100% Összesen 61,7% 38,3% 100%

92 Oszlopösszegek szerinti százalékok táblázata
15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 18,3% 5,0% 13,1% Nem 81,7% 95,0% 86,9% Összesen 100,0% 100,0% 100,0%

93 A 2-próba számolása 2×2-es kontingenciatáblázatból
Formailag ugyanúgy végzendő, mint két csoport összehasonlítása esetén. A fenti példa esetében Mivel 2 > 6,635 (f=1), az eredmény p < 0,01 (azaz 1%-os) szinten szignifikáns.

94 A kapcsolat szorosságának mérése dichotóm változók esetén
Kontingencia-együttható: Yule-féle asszociációs együttható:

95 Néhány összefüggés a kapcsolati mutatókra
-1    1 -1    1 2 = 2/N A fenti gyakorisági táblázathoz kapcsolódóan j = , 195 és y = , 635