Várhatóértékre vonatkozó próbák

Az előadások a következő témára: "Várhatóértékre vonatkozó próbák"— Előadás másolata:

1 Várhatóértékre vonatkozó próbák

2 Egymintás t-próba

3 A próba célja az alapsokaság várhatóértékének az összehasonlítása egy elméleti értékkel a mintaátlag (az alapsokaság várhatóértékének becslése) alapján

4 A próba feltételei a valószínűségi változó normális eloszlású
a szórást a mintából becsüljük (ezért nem használható az egymintás u-próba)

5 A próba elméleti háttere
Ha Y=N(m,s), akkor és

6 A próba elméleti háttere 2.
Használjuk az alapsokaság szórása helyett annak becslését! végezzük el a következő átalakítást

7 A próba elméleti háttere 3.
A becsült szórásnégyzet eloszlása átalakítva

8 A próba elméleti háttere 4.
Ez az n-1 szabadsági fokú (Student-féle) t-eloszlás

9 A t-eloszlás szimmetrikus nullára, ezért
H0: m=m0 Ha H0 igaz, akkor a valószínűségi változó n-1 szabadsági fokú t-eloszlású A t-eloszlás szimmetrikus nullára, ezért kétoldali próbánál a próbastatisztika abszolultértékét használjuk, egyoldali próbánál az elsőfajú hiba valószínűsége fele akkora, mint kétoldali próbánál

10 Egy konrét példa Az adatok: 1.2; 3.6; 2.8; 0.7; 1.9 m0=2

11 Kétmintás t-próba

12 A próba célja két alapsokaság várhatóértékének az összehasonlítása a mintaátlagok (az alapsokaságok várhatóértékeinek becslése) alapján

13 A próba feltételei a valószínűségi változók normális eloszlásúak
a szórást a mintából becsüljük a két valószínűségi változó szórása azonos a mintaelemek függetlenek

14 A próba elméleti háttere
Ha Y1=N(m1,s) és Y2=N(m2,s), akkor

15 A próba elméleti háttere 2.
Ha m1=m2, akkor

16 A próba elméleti háttere 3.
A szórásnégyzet becslésére a két minta becsült szórásnégzetének szabadsági fokkal súlyozott átlagát használjuk: A kapott próbastatisztika n1+n2-2 szabadsági fokú t-eloszlású, ha m1=m2

17 H1 (egyoldali) m1>m2 vagy m1<m2
H0: m1=m2 H1 (kétoldali): m1m2 H1 (egyoldali) m1>m2 vagy m1<m2 A t-eloszlás szimmetrikus nullára, ezért kétoldali próbánál a próbastatisztika abszolultértékét használjuk, egyoldali próbánál az elsőfajú hiba valószínűsége fele akkora, mint kétoldali próbánál

18 A próba ereje A próba ereje nő, ha
csökken a minták varianciája nő az elemszám ha n1+n2 konstans, a próba ereje akkor maximális, ha n1=n2

19 Welch-próba Ha a két minta varianciája nem azonos, alkalmazhatjuk a Welsch közelítést A próbastatisztika Ha a null-hipotézis igaz a próbastatisztika közelítőleg t-eloszlású a szabadsági fok függ a varianciák közötti különbségtől is

20 F-próba

21 Gyakorlati probléma t-próbát szeretnénk végezni, de nem vagyunk biztosak benne, hogy a két eloszlás varianciája azonos

22 A próba célja Két variancia összehasonlítása a mintából kapott becslések alapján

23 A próba feltételei a valószínűségi változók normális eloszlásúak

24 A próba elméleti háttere
A becsült szórásnégyzet eloszlása A két becsült szórásnégyzet hányadosának eloszlása

25 A próba elméleti háttere 2.
Az valószínűségi változó n1-1, n2-1 szabadsági fokú F eloszlású Ha , akkor az próbastatisztika F eloszlású valószínűségi változó

26 H0: H1 (kétoldali): H1 (egyoldali): a próbastatisztika:
az F-eloszlás nem szimmetrikus, ezért a próbastatisztika H1 (egyoldali): a próbastatisztika:

27 Páros t-próba

28 Gyakorlati probléma Vérnyomáscsökkentő gyógyszer hatékonyságát vizsgáljuk Amikor kezelt és kontrol csoportra osztottuk a pácienseket, mind a két csoportban nagyon nagy volt a szórás, így túl kicsi volt a próba ereje Az új kísérletben a gyógyszer adása előtt és után is megmérjük a páciensek vérnyomását A mért értékek nem függetlenek (páronként összetartoznak) ezért nem végezhetünk kétmintás t-próbát

29 A próba célja két valószínűségi változó várhatóértékének összehasonlítása a mintaátlagok alapján, ha a változók értékei nem függetlenek, mert páronként összetartoznak

30 A próba feltételei Az adatok normális eloszlásúak
A vizsgált változókon belül az értékek függetlenek egymástól A két változó értékei párokat alkotnak (nem függetlenek)

31 A próba elméleti háttere
Ha Y1=N(m1,s1) és Y2=N(m2,s2), akkor d=Y1-Y2 is normális eloszlású valószínűségi változó A d valószínűségi változó mintabeli értékei függetlenek egymástól Ha m1-m2=0, akkor E(d)=0, ezért az utóbbit ellenőrizzük egymintás t-próbával

32 Feladat Teszteljétek azt a hiptézist, hogy a második gyermek születéskori testtömege meghaladja az elsőét! első gyermek 3490 3440 3300 3170 3260 3580 3250 2870 3020 3030 második gyermek 3840 3520 3420 3480 4030 3230 3010 3100