Az intervallum matematika és alkalmazási területei

Az előadások a következő témára: "Az intervallum matematika és alkalmazási területei"— Előadás másolata:

1 Az intervallum matematika és alkalmazási területei
Csallner András Erik SZTE JGYPK

2 A lebegőpontos aritmetika
2 A lebegőpontos aritmetika 123 = 1,23·102 karakterisztika mantissza Összeadás: Karakterisztikák azonosítása Mantisszák összeadása Példa: 1,23· ,56·10-8 = =1,23· , ·102 = =(1,23 + 0, )·102 = =1, ·102 8 értékes jegy 456

3 3 S.M. Rump példája Számítsuk ki a fenti függvény értékét a következő pontban: x = 77617; y = 33096! A függvény számított értéke különböző pontosság beállítása esetén: Single precision: f =+1,172603 Double precision: f =+1, Extended precision: f =+1, A függvény pontos értéke: f = Egyetlen számjegy, sőt, még az előjel sem egyezik! -0, …

4 4 Öböl-háborús példa 1991. február 25. Öböl-háború: egy Patriot nem találta el a megcélzott Scud rakétát. Következmény: 28 amerikai katona meghalt. Megállapítások a Patriot rakéták eredményességéről: A háború alatt: 80% A háború után röviddel: 70% Későbbi kongresszusi vizsgálat alapján: 10% alatt, de lehetséges, hogy 0%

5 Öböl-háborús példa Indoklás
5 Öböl-háborús példa Indoklás Egy Scud követéséhez a Patriot fedélzeti gépe egy időtényezőt ismételt 1/10-es szorzással számolt. Kettes számrendszerben az egy tized a következő: 1 : 10 = 1 : 1010 = = 0, … végtelen, szakaszos kettedestört A kerekítési hibák halmozódása a cél következetes tévesztéséhez vezetett.

6 6 Pénzkidobás 1991. augusztus 23. a Sleipner A fúrósziget beton alapjának elhelyezése az Északi tengeren A lebegőpontos aritmetika hibás alkalmazása egy végeselem módszer algoritmusban Eredmény: az alap elsüllyedt, miközben a Richter skála szerinti 3-as erősségű földrengést okozott Költség: 700 millió dollár

7 Pénzkidobás 1996. június 4. az első Ariane-5 rakéta indítása.
7 Pénzkidobás 1996. június 4. az első Ariane-5 rakéta indítása. Átváltási hiba a lebegőpontos számoknál Eredmény: hibás önmegsemmisítés 39 másodperccel a kilövés után Költség: 7 milliárd dollár kutatási költség, 500 millió dollár áruteher

8 Egyszerű egyenletrendszer
8 Egyszerű egyenletrendszer 32,7 x1 – 49 x2 = 1 30 x1 – 45 x2 = 0 Megoldás 4 tizedesjegyű mantissza esetén Cramer szabály segítségével: x1 = 45 x2 = 30 Pontos megoldás: x1 = 30 x2 = 20

9 Miért épp az intervallumok?
9 Miért épp az intervallumok? Ötlet Pontatlanul tárolható számok helyett A számokat magukba foglaló pontosan tárolható végpontokkal megadott intervallumok. Pl. 1/3  0, helyett 1/3  [0, ; 0, ]

10 Miért épp az intervallumok?
10 Miért épp az intervallumok? Nincsenek pontos mérések Nincsenek pontos számítások Nem kellenek pontos eredmények Nincsenek pontos mérések Nincsenek pontos mérések Nincsenek pontos számítások Nem kellenek pontos eredmények Nincsenek pontos mérések Nincsenek pontos számítások Nincsenek pontos számítások Nem kellenek pontos eredmények Nem kellenek pontos eredmények

11 Miért épp az intervallumok?
11 Miért épp az intervallumok? Egy mérés eredményeként általában intervallumot kapunk 0,32 kg  = 0,4 kg  20 %  0,48 kg

12 Miért épp az intervallumok?
12 Miért épp az intervallumok? Egy eredmény csak adott pontossággal kell r = 2 m, T = r 2    3,1415 T  12,566 m2 r T 3,141    3,142 12,564 m2  T  12,568 m2

13 I = {X R2 | X = [XA; XF] ahol XA  XF valósak}
13 Az intervallumok Intervallumoknak fogjuk nevezni azon mennyiségeket, amelyeknek csupán egy alsó és egy felső korlátját ismerjük A valós intervallumok halmaza formálisan: I = {X R2 | X = [XA; XF] ahol XA  XF valósak} X XA XF

14 14 Az intervallumok Legyenek X = [XA; XF] és Y = [YA; YF] intervallumok Összeadás Z = X + Y = [XA + YA; XF + YF] XA XF YA YF ZA ZF + = ? [0,6; 0,7] liter + [0,3; 0,5] liter = [0,9; 1,2] liter

15 15 Az intervallumok Legyenek X = [XA; XF] és Y = [YA; YF] intervallumok Kivonás Z = X – Y = [XA – YF; XF – YA] XA XF YA YF ZA ZF – = ? [0,8; 0,9] liter – [0,1; 0,2] liter = [0,6; 0,8] liter

16 Az intervallumok Legyenek X = [XA; XF] és Y = [YA; YF] intervallumok
16 Az intervallumok Legyenek X = [XA; XF] és Y = [YA; YF] intervallumok H = {XAYA, XAYF, XFYA, XFYF} Szorzás Z = X  Y = [min H; max H] Osztás Z = X / Y = X  [1/YF; 1/YA ] ahol 0  Y

17 Az intervallumok A négy alapművelet definíciója éles
17 Az intervallumok A négy alapművelet definíciója éles Az összeadás és a szorzás műveletek kommutatívak és asszociatívak A [0, 0] egységelem az összeadásra, ill. zéruselem a szorzásra nézve Az [1, 1] egységelem a szorzásra nézve

18 Az intervallumok A kivonás az összeadásnak nem inverze
18 Az intervallumok A kivonás az összeadásnak nem inverze Pl. [0, 1] - [0, 1] = [-1, 1]  [0, 0] (de [0, 0]  [0, 1] - [0, 1] ) Az osztás a szorzásnak nem inverze Pl. [1, 2] / [1, 2] = [1/2, 2]  [1, 1] (de [1, 1]  [1, 2] / [1, 2]) A disztibutív szabály nem igaz (de X(Y + Z)  XY + XZ, szubdisztributivitás)

19 Az intervallumok Gépi számok használata valós pontok ábrázolására:
19 Az intervallumok Gépi számok használata valós pontok ábrázolására: gépi alsó korlát gépi felső korlát pontos érték gépi számok ... Pl. 1, ·102  [123,00000; 123,00001]

20 20 Az intervallumok Gépi számok használata műveletek eredményeinek ábrázolására: gépi alsó korlát gépi felső korlát kifelé kerekítés A következőkben mindig feltesszük, hogy számításaink során alkalmazzuk a kifelé kerekítést számított alsó korlát felső korlát

21  Az intervallumok Újra: 32,7 x1 – 49 x2 = 1 30 x1 – 45 x2 = 0
21 Az intervallumok Újra: 32,7 x1 – 49 x2 = 1 30 x1 – 45 x2 = 0 Pontos megoldás: Intervallumos megoldás: x1 = 30 x2 = 20  X1 = [22,5; 45] X2 = [15; 30] A befoglalás elve érvényesül

22 Számítás intervallumokkal
22 Számítás intervallumokkal Befoglaló függvények számítása -2 4 -5 5 x y f (x) = x2 - 2x - 3 f (x)=? ha x [0.25, 0.75] Intervallumokkal: F (X) = X2 - 2X - 3 = ? ha X = [0.25, 0.75]

23 Számítás intervallumokkal
23 Számítás intervallumokkal A probléma: számítsuk ki az f függvény X feletti értékkészletének egy befoglalását! f ebben a példában monoton X felett, így könnyű kiszámítani a pontos értékkészletét: Rangef (X) = [ , ]

24 Számítás intervallumokkal
24 Számítás intervallumokkal Általában igen nehéz probléma egy tetszőleges függvény értékészletének megadása. Ha kiszámítjuk az f függvény F1 befoglaló függvényét X felett: F1 (X) = [ , ] (Rangef (X) = [ , ]) Rangef (X)  F1 (X)

25 Számítás intervallumokkal
25 Számítás intervallumokkal A szubdisztributivitás miatt pontosabb befoglalást kaphatunk a Horner elrendezés segítségével. Ha kiszámítjuk F2-t X felett, ahol F2 (X) = X(X - 2) - 3, akkor: F2 (X) = [ , ] (F1 (X) = [ , ] és Rangef (X) = [ , ]) Rangef (X)  F2 (X)  F1 (X)

26 Intervallumok felosztása
26 Intervallumok felosztása Ezek az úgynevezett naiv befoglaló függvények izoton tulajdonságúak, azaz ha X  Y akkor F (X)  F (Y).

27 Intervallumok felosztása
27 Intervallumok felosztása X XA XF X (1) X (2) X (4) X (3) F2 (X (1)) = [ , ] F2 (X (2)) = [ , ] F2 (X (3)) = [ , ] F2 (X (4)) = [ , ]

28 Intervallumok felosztása
28 Intervallumok felosztása Ha a 4 egyenlő darabra osztással kapott függvényt F (4)-gyel jelölve kapjuk: Függvényértékek Szélesség Rangef (X) = [ , ] 0.5 F1 (X) = [ , ] 1.5 F2 (X) = [ , ] 1.0 F (4) (X ) = [ , ] 0.625

29 Intervallumok felosztása
29 Intervallumok felosztása Ugyanezt 8 darabra osztással is elvégezve (jelölés: F (8)) Függvényértékek Szélesség Rangef (X) = [ , ] 0.5 F1 (X) = [ , ] 1.5 F2 (X) = [ , ] 1.0 F (4) (X ) = [ , ] 0.625 F (8) (X ) = [ , ]

30 Egy egyszerű felosztási módszer
30 Egy egyszerű felosztási módszer Alkalmazzuk a felosztás módszerét a következő érték egy alsó és felső korlátjának meghatározására: min Rangef (X) = min x  X f (x), ami f globális minimuma X felett.

31 Egy egyszerű felosztási módszer
31 Egy egyszerű felosztási módszer Legyen X a keresési intervallum, L pedig egy üres lista! Helyezzük fel X-et a listára! Vegyük le a lista első, A elemét a listáról! Felezzük el A-t két részintervallumra! Helyezzük fel a listára az újonnan keletkezett intervallumokat úgy, hogy a lista az elemei fölött számított befoglaló függvény alsó korlátok szerint növekvő sorrendben rendezett legyen! Ha a legjobb felső és alsó korlát távolsága nagy, menjünk a 2. ponthoz! Vége, az optimum befoglalása leolvasható.

32 Egy egyszerű felosztási módszer
32 Egy egyszerű felosztási módszer Program

33 Egy SNS probléma (vegyipar)
33 Egy SNS probléma (vegyipar) S1 ABC A BC 1. típusú szeparátor Bemeneti anyagáram S Egy szeparátor költségfüggvénye S2 ABC AB C 2. típusú szeparátor

34 Egy SNS probléma (vegyipar)
34 Egy SNS probléma (vegyipar) S2 S1 ABC A C BC AB B

35 Egy SNS probléma (vegyipar)
35 Egy SNS probléma (vegyipar) A B C F F p p p Be- és kimeneti anyagáramok S2 S1 ABC A BC C B Optimális struktúra sejtés

36 Egy SNS probléma (vegyipar)
36 Egy SNS probléma (vegyipar) S2 S1 ABC A C AB BC B Optimális struktúra

37 37 Összegzés A lebegőpontos aritmetika alkalmatlan felelősségteljes számítások elvégzésére Az intervallumok bevezetése természetes, alkalmazása garantált pontosságú megoldásokat szolgáltathat A gyakorlati példák és ipari alkalmazások az intervallumok mindennapi tervezési feladatok megoldására való felhasználásának irányába mutatnak