ÁRAMLÓ FOLYADÉKOK EGYENSÚLYA

Az előadások a következő témára: "ÁRAMLÓ FOLYADÉKOK EGYENSÚLYA"— Előadás másolata:

1 ÁRAMLÓ FOLYADÉKOK EGYENSÚLYA
Statikus Dinamikus Ft Tehetetlenségi erő : Áramló folyadékelemekre is érvényes NEWTON II. axiómája . Tehetetlenségi erő általános megfogalmazása:

2 dm=0 F = a ha a tehetetlenségi erő
m = 1 = állandó esetben a fajlagos tehetetlenségi erő F = a Kérdés:

3 Egyszerűsítés: csak egyméretű áramlást vizsgálunk ahol a tömeg:
s=mozgás pályája triéder z y x x y z vx Gyorsulás: -időbeli un. lokális -áramlásos un. konvektív

4 HELYI /LOKÁLIS/ SEBESSÉGVÁLTOZÁS (gyorsulás)
vx  vx t t

5 KONVEKTÍV ún. ÁRAMLÁSOS GYORSULÁS (az áramlás irányának megváltozásából)
vx  vx x x

6 Útváltozás szerinti differenciál hányados
Kis x-nél

7 Differenciális tömegtranszport egyenlet (anyagtranszport m=1) (egyszerűsített alak)

8 Tehetetlenségi erő: X irányban:
Vektortérben vx sebesség y,z irányú változásával is foglalkozni kell, így a vx sebesség teljes változása: Matematikai szimbólumokkal felírva: ahol

9 vy sebességváltozása komponensekkel vz sebességváltozása

10 Derivált tenzorral kifejezve
Teljes differenciális transzport egyenlet azaz a gyorsulásvektor. derivált tenzor mátrixa x,y,z koordináta rendszerben

11 A konvektív gyorsulás mátrix alakja:
Tehetetlenségi erő:

12 ERŐTÉRBŐL SZÁRMAZÓ ERŐ:
Tömegegységre ható térerő x,y,z irányban: m tömegre ható erő

13 Vektoriális alak Térerősség vektor

14 Gravitációs erőtérben ha:
z x g ha: g z x

15 Nyomáskülönbségből származó erő:
Nyomásváltozás x irányba nő y x z y x

16 p p  Kis x esetén igaz, hogy x x

17 A nyomásból származó erő a nyomásnövekedés irányával ellentétesen hat -munkát kell befektetni a legyőzéséhez. Erővektor

18 Súrlódásból származó erő: (Csak valóságos folyadékoknál)
Ismert: A valóságos folyadékok rétegei között az áramlás irányára merőlegesen változó csúsztató feszültség jön létre, mely a rétegek sebessége változásaként jelenik meg.

19

20 z y x x-y sík z y x vx

21  Csúsztató feszültség változása áramlásra merőlegesen Kis y esetén y
   +   y y x vx Csúsztató feszültség változása áramlásra merőlegesen Kis y esetén

22 A csúsztató feszültség y irányú változása súrlódó erőt ad
Newton súrlódási törvénye alapján y x-y sík z x y x vx

23 Általánosítva a vx sebességváltozásából adódó súrlódó erő:
Az y és z irányú sebességek változásából adódó súrlódó erők: Vektortérben Laplace-operátorral kifejezve:

24 A Laplace - operátor kifejezhető a nabla vektor saját magával való skaláris szorzatával
Nabla- vagy differenciál- vagy Hamilton-operátor Laplace - operátor

25 Erők egyensúlya: Vektortérben Komponensekkel kifejezve x irányban

26 y irányban z irányban

27 A továbbiakban az x irányú erőket vizsgáljuk.
egységtömeg esetén az x irányú egyensúlyi egyenlet mindkét oldalát osztjuk -val. Navier-Stokes-egyenlet inkompresszibilis súrlódásos közegekre (x koordináta irányában)

28 y és z irányban : y… z… Megjegyzés: A differenciálegyenlet a súrlódásos tag miatt másodrendű , így analitikai megoldást csak egyszerűbb esetekben kapunk. Vizsgáljuk meg néhány egyszerűbb esetet.

29 Hidrosztatika (nyugvó folyadékok egyensúlya)
feltétel: vx=0 ; vy=0 ; vz=0

30 Eredmény: x irányban A tér másik két irányában:

31 1.Nyugvó folyadékok egyensúlya nehézségi erőtérben.
irányával ellentétes koordinátarend- szerben 1.1. z g p1=p0 1 z1=z1-z2=z z2=0 2

32 z g p1=p0 1 z1=z1-z2=z z2=0 2 p1=p z2=0

33 z g p1=p0 1 z1=z1-z2=z z2=0 2 z  p p0 p2

34 és 1.2. irányával azonos koordinátarend- szerben p1=p0 z1=0 1
z2-z1=z2= z 2 g z

35 p1=p0 1 2 z1=0 z g z2-z1=z2= z p1=p z1=0

36 p1=p0 p 1 z1=0  z2-z1=z2= z 2 p0 g p2 z

37 1.3. Nem keveredő eltérő sűrűségű folyadékok esetén.
p1=p0 z1=0 z2 z3 1 1 2 3 z z1 z2 2 p0 p1 p2 p3 p 2> 1

38 1.4. U-csöves manométer 3 p1=p0 1 2 pk p1=p2=pk z1=0 z2 z3 z p0 p3 p g
jobb oldali ág bal oldali ág

39 3 p1=p0 1 2 pk p1=p2=pk z1=0 z2 z3 z z1 z2 Jobb oldali ág:

40 Baloldali ág: 3 p1=p0 1 2 pk p1=p2=pk z1=0 z2 z3 z z1 z2 Összevetve: ! Tanulság: Elegendő az azonos nyomású (potenciálú) pontoknál az egyensúly vizsgálata.