Makai M.: Transzport81 Mielőtt tovább mennénk, szedjük össze az áramokra kapott össze- függéseket. 1, tömegáram Amiből a legfeljebb ℓc rendű tagokat megtartva.

Az előadások a következő témára: "Makai M.: Transzport81 Mielőtt tovább mennénk, szedjük össze az áramokra kapott össze- függéseket. 1, tömegáram Amiből a legfeljebb ℓc rendű tagokat megtartva."— Előadás másolata:

1 Makai M.: Transzport81 Mielőtt tovább mennénk, szedjük össze az áramokra kapott össze- függéseket. 1, tömegáram Amiből a legfeljebb ℓc rendű tagokat megtartva a tömegáram: 2, energia áram +további járulék a diffúzív energia áramból A használt jelölések:

2 Makai M.: Transzport82 -tömegegység belső energiája -az ideális gáz nyomása 3, impulzus Tények: 1, Szerepel a sűrűség gradiense és a hőmérséklet gradiense mindhárom áramban. 2, A fenti összefüggéseket egy sor közelítéssel nyertük, ezek egy része a modell része másik része a számítások elvégzéséhez szüksé- ges. 3, Más közelítésekkel más kifejezést lehet kapni az áramokra. Például:

3 Makai M.: Transzport83 Itt az ugrás gyakorisága,  m -a maximális sűrűség; V-a potenci- ális energia, a hőkapacitás pedig egységnyi. (R. F. Streater: Report KCL-MTH-98-32, King’s College, London, 1998) A termodinamikai erőkre ugyanott az alábbi kifejezés adódik:

4 Makai M.: Transzport84 Az Onsager-formalizmussal való összevetés céljából célszerű felírni az áramokat az erőkkel kifejezve: Ebben a kifejezésben az Onsager-szimmetria fennáll. Pozitív definit a kifejezés.

5 Makai M.: Transzport85 Az Onsager relációk Egy kontinuum állapota véges számú extenzív mennyiség sűrű- ségeloszlásával jellemezhető. Az állapot jellemzéséhez szüksé- ges extenzív mennyiségeket két csoportba lehet osztani: az első csoportba tartoznak a termodinamikai kcshatásokat jellemző extenzív mennyiségek, amelyek segítségével a belső energia kifejezhető. a második csoportba tartoznak azok az extenzív mennyiségek, amelyek, amelyek az anyag konvektív áramlását jellemzik. A mérlegegyenlet alakja: Konvektív konduktív áramsűrűség

6 Makai M.: Transzport86 A konduktív áramok mindig kiegyenlítésre való törekvés követ- kezményei. Nagyságuk a mennyiségek inhomogenitásától függ. Az inhomogenitás mértéke általános erő. Az i-ik extenzív mennyiség konduktív áramsűrűsége: Feltéve, hogy X i  0. Joggal várhatjuk el, hogy a mikroszkopikus elméletből származtatott kontinuitási egyenlet együtthatói mu- tatják a fenti tulajdonságokat.

7 Makai M.: Transzport87 Nézzük még egyszer a Boltzmann-egyenletből az ütközések megmaradó mennyiségei révén kapott kontinuitási egyenleteket (Transzport 4 fájl, 14. oldal): Az első egyenlet rögtön hibás! Ha a tömeg (az első egyenlet), az energia (3. egyenlet) és az impulzus (2. egyenlet) általános erőire és áramaira szorítkozunk, akkor is hiányzik a hőmérséklet gra- diensét tartalmazó tag! Tehát a nagy örömmel megtalált egyen- letek hibásak!

8 Makai M.: Transzport88 Egy 1970-ben kiadott könyvben az alábbi megjegyzés olvasható: „Nincs igazán kielégítő egyszerű elmélet a termodiffúzió leírására.” (Soret-effektus). Az ok: a termodiffúzió tipikus kcshatás jelenség. A Soret-effektus: ha a sűrűség állandó, de a hőmérséklet változik, tömegáram figyelhető meg. A jelenség „duálisa” a Dufour-effektus. Ezeket kísérletileg a XIX. században figyelték meg. Eleinte feltették, hogy a jelenség csak keverékekben lép fel. Chapman azt állította, a Soret- és Dufour-effektus a részecs- kék közötti kcshatás gondos leírásával érhető el. A statisztikus dina- mikában ez a kcshatás explicit módon van jelen a modellben. Az effektusok magyarázata is egyszerű: a magas hőmérsékletű zóna több nagy sebességű részecskét tartalmaz, ezek valószínűbben ugra- nak az alacsonyabb hőmérsékletű zónába. Mellesleg a Soret-effek- tus iparilag fontos: termodiffúzióval lehet dúsítani.

9 Makai M.: Transzport89 Fel kell tenni tehát a kérdést: mi az oka a hibának? A követ- kező ellentmondásokat lehet a Boltzmann-elméletben kimutatni: 1, A Boltzmann-elméletben a részecskéket egyszerre tekintjük pont- szerűnek, és véges hatáskeresztmetszetűnek. 2, A B.-elméletben a részecskék mindig ténylegesen megtalálhatóak valahol, egy bizonyos sebességgel. Ebből a leírásból hiányzik a vé- letlen. Egy determinisztikus mennyiség szórása mindig nulla, egy ilyen leírásból mindig hiányzik a diffúzió (Einstein!). 3, Tekintettel arra, hogy a Boltzmann-egyenletből az anyagmegma- radás következik, igaz az egyenletekből hiányzik egy tag. A viszkozi- tás is helyesen adódik (mi itt a másodrendű tagokat nem vizsgáltuk). Az eltérés magyarázata feltehetően az rendű tagok kezelésében található fel.

10 Makai M.: Transzport810 3. A levezetett egyenletekre alkalmazott terminológia nem egy- séges. Az első egyenletet gyakran nevezik kontinuitás egyenlet- nek, a másodikat Euler-egyenletnek, a harmadikat Navier-Stokes egyenletnek. Másutt az egészet együtt nevezik Navier-Stokes egyenleteknek. 4, A hidrodinamikai egyenletek levezetésében feltehetően hiba van. Erre utal, hogy a kapott egyenletekben különböző rendű tagok megjelennek, a hiányzó tagok rendje esetenként magasabb. 5, Vegyük észre, hogy a sebességtérre vonatkozó egyenletekben szerepel a nyomás, implicit módon az ideális gáz egyenletet is felhasználjuk. Abban pedig szerepel a hőmérséklet is. A hőmér- séklet véletlenszerűséghez kötődik. Előfordulhat, hogy az Euler- egyenlet sem fizikailag, sem matematikailag nem korrekt. 6, Külön kell foglalkozni az egyensúly-nem egyensúly kérdésével.

11 Makai M.: Transzport811 Többen állítják, hogy a hőmérséklet nem definiálható nem- egyensúlyi állapotban. A kísérletezők azonban nagy önbizalom- mal mérik a hőmérsékletet nem-egyensúlyi állapotban. De mit is mérnek valójában? Vegyük az alábbi példákat: 1, Az A edényben gáz van, egyensúlyi állapotban T 1 hőmérsékleten, a B edényben is gáz van, egyensúlyi állapotban T 2 hőmérsékleten. Kihúzzuk a válaszfalat, megindul az áramlás. Mit mér ekkor a hőmérő? 2, Egy tokamakban vagy egy részecskesugárban (gyorsító, ADS stb.) a hőmérsékletet termopár méri. Termikus egyensúly nincs, mit lehet akkor a termofeszültségből kiszámítani? Gyakran használt egyszerűsítő feltevés: a kinetikus energia lokálisan termalizálódik. A statisztikus dinamikában az energia gyors változó (a Q operátorral termalizálódik).

12 Makai M.: Transzport812 FIGYELEM! A TUDÁS PÉNZRE VÁLTHATÓ! A diákok tudásának ellenőrzésére szolgáló, nem díjazott feladatok találhatóak az alábbi web címen: http://math.uc.edu/ode/odeprobs/odeprobs.htm Pénzdíjas (min. 10 USD) feladványok találhatóak az alábbi címen: www.mathpuzzle.com Komoly (100 000 USD fölött) pénzdíjas feladványok (egyik feladat az Euler-egyenletek megoldhatóságának igazolása): www.claymath.org

13 Makai M.: Transzport813 Entrópia és információ Felhívom a figyelmet arra, hogy az entrópia általunk használt definíciója csak egy a lehetségesek közül. Legyen pl. ahol Ez az entrópia rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:

14 Makai M.: Transzport814 1, Mint súlyokat alkalmazva, a konstans átlaga konstans 2, Két független rendszer mikroszkópikus energiáit összeadva a makroszkopikus energia ugyanazokkal a formulákkal írható le, mint a mikroszkopikus szinten. 3, A stacionárius állapotra kapott invariáns a nulla energiaszint megválasztásával szemben. Mindez a nem-extenzív statisztikus mechanika modelljén belül.

15 Makai M.: Transzport815 Statisztikus rendszerek modellezése A fázistérbeli sűrűség meghatározása a transzportelmélet egyik fő célja. A megoldást több módon lehet keresni: Közelítést fogalmazunk meg a keresett függvényre és a rendelke- zésre álló egyenletekből meghatározzuk a még szabad paramétereket. Példa: P N egyenletek, FD séma. Végeredményként egy numerikus módszert kapunk, ami a megfogalmazott modell keretein belül adott pontosságú eredményekre vezet. A gyakorlatban ezekre a numerikus módszerekre nagy szükség van, transzport folyamatok által vezérelt berendezések (fúzió, atomreaktor zónája, sugárvédelmi eszközök) működtetéséhez elengedhetetlen. Ezek a numerikus módszerek. Kihasználva a transzport folyamatok véletlen jellegét, egyenleteket keresünk a jelenséget leíró eloszlásfüggvényre. Ezek az egyenletek

16 Makai M.: Transzport816 gyakran a generátorfüggvényre vagy az eloszlás más transzformált- jára vonatkoznak. Ez a megközelítés különösen kis részecskeszám esetén fontos (zaj, kis intenzitású sugárzás). Lehetőség van a részecskék közvetlen modellezésére is. Ekkor egy bolyongási feladatra egyszerűsödik a megoldandó feladat. A bolyon- gás során véletlen események alakítják a részecskék pályáját. Ebben komoly szerepet kap a véletlen, ezt a modellezést Monte-Carlo-mód- szernek nevezik. A kollektív viselkedés leírására jobban alkalmas lehet a részecske útjának követése közvetlenül a mozgásegyenletek révén. Közvetlenül a Newton-törvényt, a mozgásegyenleteket integráljuk egy rövid dt-re, így kapunk becslést a részecske helyére a következő időpontban. Ez a módszer különösen sűrű anyagban (folyadék, plazma) használható jól. A módszer neve molekuláris dinamika. A fenti szimulációk mind a  térben történnek.

17 Makai M.: Transzport817 A statisztikai rendszer vizsgálata tehát időben történik. Kérdés, hogyan kapcsolódik az időátlag a sokaságátlaghoz. Nem világos, mit kezdünk azzal, hogy nyomon követjük egyes molekulák mozgását a fázistérben. A számítások célja: 1.Egyes reakciógyakoriságok becslése 2.Egy egyenlet megoldása 3.Megmaradó mennyiségek keresése 4.Korrelációs együtthatók meghatározása. Az említett módszerek nem alkalmasak a gyors-lassú változók közti kapcsolat kimutatására, noha vannak közvetett módszerek.

18 Makai M.: Transzport818 A Monte-Carlo-módszer általában Objektumokat vizsgálunk. Objektum: utasok, járművek, részecskék Meg kell adni, mi történhet az objektumokkal, ehhez definiálni kell egy fázisteret, a fázistérben pedig eseményeket. Legyen P a fázistér egy pontja, ahol egy objektum van. Legyen a lehetséges események halmaza {e 1,…,e N } az egyes események va- lószínűsége pedig p 1,…,p N. Jusson el az e i esemény hatására az ob- jektum a fázistér P i pontjába. Ezzel véges számú objektum trajektóriáját követni lehet. A bennünket érdeklő esemény azonosítható a fázistér egy M halmazával. Amennyi- ben egy objektum pályája metszi az M halmazt, a rögzített X célfügg- vényhez („szkór”) egységnyi járulékot adunk. A becslés:

19 Makai M.: Transzport819 Hogyan lehet Monte-Carlo-módszerrel egyenletet megoldani? Oldjuk meg a peremérték-feladatot. A teret diszkretizáljuk h lépésközzel, ezzel kapunk belső pontokat és határpontokat. A diszkrét rácson Ennek megfelel az alábbi bolyongás. Elindulunk egy belső P pontból, és minden irányba egyenlő valószínűséggel, lépegetünk. A bolyon- gás során 1 valószínűséggel egy határponthoz jutunk. (Próbálják meg bebizonyítani!)

20 Makai M.: Transzport820 jelölje u(P,Q) annak valószínűségét, hogy a P pontból indulva a határ Q pontjába jutunk. Adott Q esetén ha N próbálkozásból a bolyongás L-szer fejeződik be Q-ban, akkor Több határpont esetén a bolyongás Q i -ban érhet véget, és a szkór várható értéke a keresett megoldása a feladatnak.

21 Makai M.: Transzport821 A következő kérdésekre kell választ találni: 1, Adott pontosság eléréséhez hány objektumot kell indítani? 2, Honnan kell az objektumokat indítani? 3, Milyen pontos lesz az eredmény? 4, Mennyire effektív a módszer?