Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Becslés Dr. Varga Beatrix egy. docens.

Az előadások a következő témára: "Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Becslés Dr. Varga Beatrix egy. docens."— Előadás másolata:

1 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Becslés Dr. Varga Beatrix egy. docens

2 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Mintából való következtetés Hipotézisvizsgálat Becslés: A sokaság bizonyos jellemzőinek, paraméterének közelítő megállapításával foglalkozik. Hipotézisvizsgálat: A sokaságra vonatkozó valamely állítás helyességét ellenőrzi. Becslés

3 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Becslési alapfogalmak I. Parameter (Θ) → a sokaság valamely jellemzője → pl.: várható érték, arány, szórás Becslőfüggvény Olyan függvény, mely alkalmas a sokasági paraméter értékének mintából történő meghatározására Standard hiba A becslő függvény valamennyi lehetséges mintából számított értékeinek a szórása

4 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Statisztikai hiba Nem mintavételi hiba lefedési hiba feldolgozási hiba nem megfelelő adatszolgáltatás Mintavételi hiba A sokaság minden egységéről való lemondás ára Nagysága matematikai eszközökkel becsülhető

5 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet A mintavételi hiba függ Az alapsokaság eloszlásától Az alkalmazott mintavételi eljárástól A vizsgált mutatószám fajtájától A minta nagyságától

6 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Becslési alapfogalmak II. Pontbecslés A becslőfüggvény mintából számított konkrét értéke Intervallumbecslés Adott  megbízhatósági szinthez tartozó intervallum alsó és felső határának meghatározása Konfidencia-intervallum

7 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Paraméter és konfidencia-intervallumok

8 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Mintából számított bármely mutató értékei mintáról mintára változnak a megfelelő sokasági jellemzők körül ingadoznak szóródásuk a mintanagyság növelésével csökken

9 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Becslőfüggvény tulajdonságai torzítatlan ha várható értéke megegyezik a becsülni kívánt paraméterrel aszimptotikusan torzítatlan ha a mintanagysággal a végtelenbe tartva a torzítás eltűnik konzisztens a mintanagyság növelésével a becslés nagy valószínűséggel a paraméter felé tart. hatásos Minimális varianciájú torzítatlan becslőfüggvény

10 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet A torzítás különféle esetei

11 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Példa a torzítás eseteire Egy kisvállalkozásnak 4 alkalmazottja van, nettó átlagjövedelmük (eFt): 180, 90, 36, 30 Becsüljük meg az átlagjövedelmüket különböző becslőfüggvény segítségével: mintaátlag minta-medián terjedelemközép (maximális és minimális mintaelem átlaga)

12 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet A minták jellemzői Ssz.ElemekÁtlagMediánTerjedelemközép 1.30, 36, 90523660 2.30, 36, 1808236105 3.30, 90, 18010090105 4.36, 90, 18010290108 A várható érték846394,5

13 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Két becslőfüggvény hatásossága

14 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet A konzisztencia fogalma

15 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Becslés SokaságMinta elemeiX 1, X 2, …, X N, …x 1, x 2, …, x n átlagμ szórásσs arányPp

16 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Várható érték becslése

17 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet 1.) sokaság eloszlása normális, ismert a sokasági szórás, mintanagyság tetszőleges 2.) sokaság eloszlása nem ismert, nem ismert a sokasági szórás, nagy minta 3.) sokaság eloszlása normális, nem ismert a sokasági szórás, n < 100

18 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet ahol: a becslőfüggvény mintából számított konkrét értéke standard normális eloszlású valószínűségi változó a mintaátlag standard hibája ( a mintaátlagok szórása) =n-1 szabadságfokú Student- eloszlású valószínűségi változó A Student-féle t eloszlás a szabadságfok növelésével a normálishoz tart.

19 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet A várható érték standard hibája

20 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Ha nem tételezhető fel, hogy az x változó normális eloszlású, csak nagy minta alkalmazható Központi határeloszlás tétel: Független valószínűségi változók eloszlása akkor is közelítőleg normális eloszlást követ, ha a változók nem normális eloszlásúak, feltéve, hogy a minta-elemszám elég nagy.

21 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Nagy minta : általában: n  100 unimodális, gyengén ferde eloszlásnál: n  30

22 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Rétegzett minta heterogén sokaság esetén, ha közel homogén rétegeket tudunk képezni az egyes rétegekből egyszerű véletlen minták a rétegzés javíthatja a minta reprezentativitását Jelölések: rétegek elemszáma az alapsokaságban: N = N 1 + N 2 + N 3 +... + N H-1 + N H rétegek elemszáma a mintában: n = n 1 + n 2 + n 3 +... + n H-1 + n H

23 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Várható érték becslése rétegzett mintából ahol

24 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet x  (x) x x x x 0,000,50000,520,69851,040,85081,560,94062,400,9918 0,020,50800,540,70541,060,85541,580,94292,500,9938 0,040,51600,560,71231,080,85991,600,94522,600,9953 0,060,52390,580,71901,100,86431,620,94742,700,9965 0,080,53190,600,72571,120,86861,640,94952,800,9974 0,100,53980,620,73241,140,87291,660,95152,900,9981 0,120,54780,640,73891,160,87701,680,95353,000,9987 0,140,55570,660,74541,180,88101,700,95543,200,9993 0,160,56360,680,75171,200,88491,720,95723,400,9996 0,180,57140,700,75801,220,88881,740,95913,600,9998 0,200,57930,720,76421,240,89251,760,96083,80,9999 0,220,58710,740,77031,260,89621,780,9625 z-test 0,240,59480,760,77641,280,89971,800,9641 0,260,60260,780,78231,300,90321,820,9656 0,280,61030,800,78811,320,90661,840,9671 0,300,61790,820,79391,340,90991,860,9686 0,320,62550,840,79951,360,91311,880,9699 0,340,63310,860,80511,380,91621,900,9713 0,360,64060,880,81061,400,91921,920,9726 0,380,64800,900,81591,420,92221,940,9748 0,400,65540,920,82121,440,92511,960,9750 0,420,66280,940,82641,460,92791,980,9761 0,440,67000,960,83151,480,93062,000,9772 0,460,67720,980,83651,500,93322,100,9821 0,480,68441,000,84131,520,93572,200,9861 0,500,69151,020,84611,540,93822,300,9893

25 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Student’s t-test Df 0,550,600,700,750,800,900,950,9750,990,995 10,1580,3250,7271,0001,3763,08 6,3112,7131,8263,66 20,1420,2890,6170,8161,0611,89 2,924,306,969,92 30,1370,2770,5840,7650,9781,64 2,353,184,545,84 40,1340,2710,5690,7410,9411,53 2,132,783,754,60 50,1320,2670,5590,7270,9201,48 2,022,573,364,03 60,1310,2650,5530,7180,9061,44 1,942,453,143,71 70,1300,2630,5490,7110,8961,42 1,902,363,003,50 80,1300,2620,5460,7060,8891,40 1,862,312,903,36 90,1290,2610,5430,7030,8831,38 1,832,262,823,25 100,1290,2600,5420,7000,8791,37 1,812,232,763,17 110,1290,2600,5400,6970,8761,36 1,802,202,723,11 120,1280,2590,5390,6950,8731,36 1,782,182,683,06 130,1280,2590,5380,6940,8701,35 1,772,162,653,01 140,1280,2580,5370,6920,8681,34 1,762,142,622,98 150,1280,2580,5360,6910,8661,34 1,752,132,602,95 160,1280,2580,5350,6900,8651,34 1,752,122,582,92 170,1280,2570,5340,6890,8631,33 1,742,112,572,90 180,1270,2570,5340,6880,8621,33 1,732,102,552,88 190,1270,2570,5330,6880,8611,33 1,732,092,542,86 200,1270,2570,5330,6870,8601,32 1,722,092,532,84 210,1270,2570,5320,6860,8591,32 1,722,082,522,83 220,1270,2560,5320,6860,8581,32 1,722,072,512,82 230,1270,2560,5320,6850,8581,32 1,712,072,502,81 240,1270,2560,5310,6850,8571,32 1,712,062,492,80 250,1270,2560,5310,6840,8561,32 1,712,062,482,79 260,1270,2560,5310,6840,8561,32 1,712,062,482,78 270,1270,2560,5310,6840,8551,31 1,702,052,472,77 280,1270,2560,5300,6830,8551,31 1,702,052,472,76 290,1270,2560,5300,6830,8541,31 1,702,042,462,76 300,1270,2560,5300,6830,8541,31 1,702,042,462,75 400,1260,2550,5290,6810,8511,30 1,682,022,422,70 600,1260,2540,5270,6790,8481,30 1,672,002,392,66 1200,1260,2540,5260,6770,8451,29 1,661,982,362,62  0,1260,2530,5240,6740,8421,281,6451,962,332,58

26 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Valószínűség vagy arány becslése

27 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet

28 Szórásnégyzet, szórás becslése

29 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet

30 χ2χ2 Df0,0050,010,0250,050,100,250,500,750,900,950,9750,990,995 10,00000,00020,00100,0390,01580,1020,4551,322,713,845,026,637,88 20,01000,02010,05060,1030,2110,5751,392,774,615,997,389,2110,6 30,0720,1150,2160,3520,5841,212,374,116,257,819,3511,312,8 40,2070,2970,4840,7111,061,923,365,397,789,4911,113,314,9 50,4120,5540,8311,151,612,674,356,639,2411,112,815,116,7 60,6760,8721,241,642,203,455,357,8410,612,614,416,818,5 70,9891,241,692,172,834,256,359,0412,014,116,018,520,3 81,341,652,182,733,495,077,3410,213,415,517,520,122,0 91,732,092,703,334,175,908,3411,414,716,919,021,723,6 102,162,563,253,944,876,749,3412,516,018,320,523,225,2 112,603,053,824,575,587,5810,313,717,319,721,924,726,8 123,073,574,405,236,308,4411,314,818,521,023,326,228,3 133,574,115,015,897,049,3012,316,019,822,424,727,729,8 144,074,665,636,577,7910,213,317,121,123,726,129,131,3 154,605,236,267,268,5511,014,318,222,325,027,530,632,8 165,145,816,917,969,3111,915,319,423,526,328,832,034,3 175,706,417,568,6710,112,816,320,524,827,630,233,435,7 186,267,018,239,3910,913,717,321,626,028,931,534,837,2 196,847,638,9110,111,714,618,322,727,230,132,936,238,6 207,438,269,5910,912,415,519,323,828,431,434,237,640,0 218,038,9010,311,613,216,320,324,929,632,735,538,941,4 228,649,5411,012,314,017,221,326,030,833,936,840,342,8 239,2610,211,713,114,818,122,327,132,035,238,141,644,2 249,8910,912,413,815,719,023,328,233,236,439,443,045,6 2510,511,513,114,616,519,924,329,334,437,740,644,346,9 2611,212,213,815,417,320,825,330,435,638,941,945,648,3 2711,812,914,616,218,121,726,331,536,740,143,247,049,6 2812,513,615,316,918,922,727,332,637,941,344,548,351,0 2913,114,316,017,719,823,628,333,739,142,645,749,652,3 3013,815,016,818,520,624,529,334,840,343,847,050,953,7 4020,722,224,426,529,133,739,345,651,855,859,363,766,8 5028,029,732,434,837,742,949,356,363,267,571,476,279,5 6035,537,540,543,246,552,359,367,074,479,183,388,492,0 7043,345,448,851,755,361,769,377,685,590,595,0100,4104,2 8051,253,557,260,464,371,179,388,196,6101,9106,6112,3116,3 9059,261,865,669,173,380,689,398,6107,6113,1118,1124,1128,3 10067,370,174,277,982,490,199,3109,1118,5124,3129,6135,8140,2

31 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Példa 1 A BSc hallgatók közül véletlenszerűen kiválasztottunk 15 elemű mintát. π = 95 % A minta adatai (nap): 5, 8, 12, 4, 9, 11, 12, 14, 9, 7, 6, 11, 9, 8, 10 A) Készítsen becslést az átlagos tanulási időre! B) Becsülje meg az átlagos tanulási idő szórását!

32 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Feltétel: normál alapeloszlás A) 1) ismert, hogy az alapsokaság szórása: 2 nap 2) – nem ismerjük az alapsokaság szórását - a mintabeli korrigált tapasztalati szórás: s = 2.7 B) Szórás becslése

33 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Példa 2. Egy 250 g kávét csomagoló gép működésének ellenőrzéséhez 100 elemű véletlen mintát vettek. Korábbi felmérések alapján feltételezhetjük, hogy a töltőtömeg normális eloszlást követ. A csomagok töltési tömege (g)A csomagok száma (db) – 239,9 8 240,0 – 244,9 22 245,0 – 249,9 32 250,0 – 254,9 28 255,0 – 10 Összesen100

34 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet 1.Feltételezve, hogy a töltősúly normális eloszlást követ, becsüljük meg az átlagos töltőtömeget! (π = 95 %) 2.Milyen minta elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát felére csökkentsük? 3.Milyen minta elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát 20%-kal csökkentsük, és 98%-os megbízhatóságra van szükségünk? 4.Feltételezve, hogy a töltősúly normális eloszlást követ, készítsünk intervallumbecslést a töltőtömeg szórására! (π = 95 %) 5.Mennyi kávéra van szükség naponta, ha a gép folyamatos műszakban termel, és műszakonként 12.000 csomagot tölt meg? (π = 95 %) 6.Egy műszakban hány olyan kávécsomag készül, melynek tömege nem éri el az előírt 250 grammot? (π = 99 %)

35 Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Köszönöm a figyelmet!