Mintavételi hiba, hibaszámítás

Az előadások a következő témára: "Mintavételi hiba, hibaszámítás"— Előadás másolata:

1 Mintavételi hiba, hibaszámítás

2 Hibatípusok Véletlen hiba: A mérési eredmények a valóságos értéktől mindkét irányban azonos valószínűséggel, véletlenszerűen térnek el. Nagy számú mérés átlagát véve a véletlen hiba tetszőlegesen csökkenthető. Rendszeres (szisztematikus) hiba: A mérési eredmények a valóságos értéktől eltérő érték körül ingadoznak. Sokféle oka lehet, pl: Nem megfelelő mintavétel, Hibás vagy rosszul beállított műszer, Analitikai (módszertani) probléma, Figyelmen kívül hagyott, a mérést befolyásoló külső tényező (pl. hőmérséklet hatása).

3 MONITORING - VKI A monitoring célja az, hogy megalapozza a vízstátus egységes és átfogó felülvizsgálatát minden egyes vízgyűjtőkerületben és elősegítse a felszíni víztestek besorolását a megfelelő osztályba. Mérlegelni kell a monitoring költségét és a státus hibás besorolásának következményéből származó költségeket (többlet intézkedések). A vízgyűjtő gazdálkodási tervekben a konfidencia szinteket közölni kell.

4 Kockázat A kedvezőtlen esemény bekövetkezésének esélye, VKI értelmezésében a hibás osztály besorolás valószínűsége. Az elfogadható kockázati szint befolyásolja a víztest állapotának meghatározásához szükséges monitoring időbeli és térbeli sűrűségét. Megbízhatóság (konfidencia) Annak a valószínűsége ( %-ban kifejezve), hogy a statisztikai paraméter valós értéke a számított és a jegyzett értékek közé esik (statisztikai bizonytalanság). Precizitás (pontosság) A valós állapot és a monitoring által talált állapot közti eltérés, adott konfidencia-tartomány szélességének felével megegyező statisztikai bizonytalanság mértéke.

5 A víztest állapota hibás osztályozásának kockázata
(osztályozás megbízhatósága)

6 Hibaszámítás elmélete (valószínűségelmélet)
Mintavétel, mérés valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvény Valószínűségi sűrűségfüggvény: f(x) Annak valószínűsége, hogy egy érték x1 és x2 közé essen: A valószínűségi sűrűségfüggvény integrálja a valószínűségi változó teljes értelmezési tartományára: Valószínűségi eloszlásfüggvény: a valószínűségi sűrűségfüggvény integrálfüggvénye: F(x) Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értéke nem nagyobb, mint egy adott xi érték: P (x  xi ) = F(xi) Az eloszlásfüggvénnyel megadhatjuk annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke x1 és x2 közé esik:

7 Normális eloszlás: azok a valószínűségi változók, melyek értékét sok kismértékű véletlenszerű hatás befolyásolja. „m” az eloszlás várható értéke, „s” a szórás Gauss-függvény: u = (x-m) / s normalizált Gauss-függvény: A normalizált Gauss-eloszláshoz tartozó valószínűségi eloszlásfüggvény: (hibaintegrál), F()=1. A normalizált Gauss-függvény (hibafüggvény):

8 Alkalmazás: Milyen valószínűséggel esik a valószínűségi változó értéke a várható érték körüli, adott sugarú intervallumba? x1 = m-Δx és x2 = m+ Δx Transzformálás után (normalizált Gauss eloszláshoz) az intervallum: u = (x-m) / s u1 = - Δ x/s = -v és u2 = Δ x/s = v P(u1  u  u2) = F(u2) - F(u1) = F (v) - F (-v) Szimmetria miatt: F (-v) = 1 - F(u) P(-vuv) = 2 F (v) - 1 Annak a valószínűsége, hogy a változó értéke kiessen az adott szimmetrikus intervallumból, tehát egy adott tűrésnél jobban eltérjen a várható értéktől: P(u  -v u  v) = 1- (2f(v)-1) = 2(1-f(v)).

9 Konfidencia intervallum, megbízhatósági szint megadása
Gauss-eloszlás → a mérési eredmények a várható érték körüli s sugarú intervallumba 68,3%, a 2 s sugarú intervallumba 95,4 % valószínűséggel esnek. Adott P valószínűség (P konfidencia szint) : [m - k s , m + k s ] Konfidencia intervallum, melybe a mérési eredmények az adott P valószínűséggel beleesnek. P = 68,3% k = 1 P = 95,4% k = 2 P = 90% k = 1.65 P = 95% k = 1.96 u = S = 1 F(u) = P (-1 ≤ x ≤ 1) = F (1) – (1 – F(1))= 2 F(1) -1 = 0.683

10 Variancia és szórás meghatározása
Torzítatlan becslés varianciáját becsülhetjük az egyes mérések hibanégyzetének átlagával : Torzított becslésnél a variancia n-szeresének becsült értéke a valóságos variancia (n-1)-szerese: Azaz a variancia becslése a mérési eredményekből: A mérési eredmények korrigált tapasztalati szórása és a középérték tapasztalati szórása („standard deviation”): Mivel a középérték varianciája az egyes mérések varianciájának n-ed része

11 A középérték eloszlásának tulajdonságai

12 A hiba meghatározása a matematikai statisztika módszereivel
A centrális határeloszlás tétele szerint bármilyen eloszlású sokaság esetén az n elemű minta számtani középértékének eloszlása a minta elemszámának növekedésével egy olyan normális eloszláshoz tart, melynek várható értéke megegyezik az eredeti eloszlás várható értékével. Ez azt jelenti, hogy ha már egyetlen mérési eredmény is átlagnak, pl. időátlagnak tekinthető, akkor várható, hogy az Gauss-eloszlású lesz. A mérési eredmények viszont nagyon gyakran ilyen átlagértékek. A gyakorlatban legtöbbször normális eloszlású mérési eredményekkel találkozunk.

13 Tesztelés: Monte Carlo szimulációval
A vízhozamok általában erősen, a vízminőségi változók komponenstől függően különböző mértékben mutatnak pozitív ferdülést, leggyakrabban lognormál eloszlásúak. Tesztelés: Monte Carlo szimulációval Példa: adatsorok ritkítása → becslés hibájának eloszlása: A Zala és a Tetves-patak éves átlagos összes P terhelésének becslésében elkövetett relatív hiba Monte Carlo szimulációból nyert empirikus eloszlása (N=365, n=12)

14 A t paraméter meghatározása (Student-féle t-eloszlás)
Mérési eredményeknél: a szórást sem ismerjük, csak becsüljük a középérték korrigált tapasztalati szórásával. Szórás is pontatlan → ugyanahhoz a valószínűséghez nagyobb számmal kell megszorozni a becsült szórást a konfidencia intervallum meghatározásánál, mint ezt egy ismert szórású Gauss-eloszlásnál tennénk. A Student-féle t paraméter értékei P konfidenciaszintnél és N mérésszámnál 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 2 3,078 6,314 12,706 25,452 63,657 127,32 3 1,886 2,920 4,303 6,205 9,925 14,089 4 1,638 2,353 3,182 4,176 5,841 7,453 5 1,553 2,132 2,776 3,495 4,604 5,598 6 1,476 2,015 2,571 3,163 4,032 4,773 7 1,440 1,943 2,447 2,969 3,707 4,317 8 1,415 1,895 2,365 2,841 3,499 4,029 9 1,397 1,860 2,306 2,752 3,355 3,832 10 1,383 1,833 2,262 2,685 3,250 3,690 20 1,328 1,729 2,093 2,433 2,861 3,174  1,282 1,645 1,960 2,241 2,576 2,807 X (mért mennyiség) = =  t

15 ∞ Nn n N X S t α - = n 1 X S t α = (Cochran, 1962)
Összefoglalva: N - elemű adatsor n - statisztikai minta α- „N” elemű idősor középérték relatív hibája, ha azt „n” mérésből becsüljük (Normál eloszlást feltételezve): (Cochran, 1962) átlag tapasztalati szórás Nn n N X S t α - = n 1 X S t α N = ∞ N → 95 %-os konfidencia szinten t=1.96 Relatív hiba: α = f (mintaszám, relatív szórás)

16 MINTASZÁM CSÖKKENTÉSÉNEK HATÁSA
minta / év Mintaszámtól (n) függő tényező: Heti / napi: 2.7 Kétheti / napi: 3.8 Havi / napi: 5.5 Szezonális / napi: 9.6 Havi / kétheti: 1.5 Szezonális / kétheti: 2.5

17 Adott tartósságú érték meghatározásának hibája
MINTAVÉTELI HIBA Adott tartósságú érték meghatározásának hibája Relatív hiba: 1-p 0.1 0.5 1 5 10 20 31.6 14.1 9.9 4.4 3.0 2.0 30 40 50 60 70 80 90 1.5 1.2 1.0 0.8 0.7 0.3 90%-os tartósságú koncentráció becslési hibája a középérték hibájának háromszorosa!

18 Vízminőség paraméterek változékonysága
Függ: vízhozam, szezonális hatások (biológia), szennyezések

19 Vízminőségi jellemzők relatív szórása
Víztípusok

20 Mintavétel hibája a szórás függvényében
Víztípusok

21 Kívánt pontosság eléréséhez szükséges éves mintaszám
Heti Kétheti Szezonális Kívánt pontosság eléréséhez szükséges éves mintaszám

22 Kívánt pontosság eléréséhez szükséges éves mintaszám