Optimalizáció modell kalibrációja Adott az M modell, és p a paraméter vektora. Hogyan állítsuk be p -t hogy a modell kimenete az x bemenő adatokon a legjobban.

Az előadások a következő témára: "Optimalizáció modell kalibrációja Adott az M modell, és p a paraméter vektora. Hogyan állítsuk be p -t hogy a modell kimenete az x bemenő adatokon a legjobban."— Előadás másolata:

1 Optimalizáció modell kalibrációja Adott az M modell, és p a paraméter vektora. Hogyan állítsuk be p -t hogy a modell kimenete az x bemenő adatokon a legjobban illeszkedjen az s megfigyelési adatsorhoz? Az eltérés x –en a modell kimenete és a mérések különbsége: e. e i = s i - M(x i,p) vagy e i =[s i – M (x i,p)] 2 stb… Az a legjobb illeszkedés s -hez ahol a hiba a lehető legkisebb. Feladat: állítsd be p –t hogy e( p) minimális legyen.

2 jeljelentésf ’(x)f ’’(x) lokális minimum0+ lokális maximum0- globális minimum?? globális maximum?? Optimalizáció lokális és globális szélsőértékek egy intervallumban optimalizációs elvek Szélsőérték: a pont, amihez a legnagyobb/kisebb függvényérték tartozik a környezetében. explicit megoldások ? korlátok ?

3 Lokális optimalizáció Feladat: f(x) lokális minimumának meghatározása 0.Adott egy kezdeti pont: x 0 1.Jelöljünk ki egy új x i pontot, ahol (lehetőleg) f (x i ) ≤ f (x i-1 ) 2.Vizsgáljuk meg a leállási kritériumot: Ha teljesül, akkor előre a 3. pontba Ha nem, akkor vissza az 1. pontba 3.Vége

4 Lokális optimalizáció Amire figyelni kell : A kezdőpont kijelölésétől függ a végeredmény (ha egyáltalán lesz) Az egyes módszerek konvergencia tulajdonságai eltérőek A nem megfelelő leállási kritérium következménye : Rossz eredmény / végtelen számítás

5 Lokális optimalizáció A módszerek csoportosítása: „Direkt” vagy „derivált mentes” módszerek : csak f (x) kell „Gradiens alapú” módszerek : f ’(x) illetve f ’’(x) is kell A módszer kiválasztásánál felmerülő kérdések: Deriválható-e egyáltalán f (x) ? Mekkora f (x) kiszámításának a költsége ? Mekkora f ’(x) kiszámításának a kötsége ?

6 Lokális optimalizáció Direkt módszerek : Intervallum felezés Nelder-Mead szimplex módszer ( NEM LP! ) Gradiens alapú módszerek : Legmeredekebb ereszkedés módszere

7 Lokális optimalizáció Intervallum felezés („Golden Section Search”) Rokon : Függvény zérushelyeinek keresése intervallum felezéssel Különbség : A minimum 2 helyett csak 3 ponttal képezhető le Zérushely : f (x 1 ) × f (x 2 ) < 0 Minimum : f (x 2 ) < f (x 1 ) és f (x 2 ) < f (x 3 )

8 Lokális optimalizáció x0 x1x2x3 1.A középső pontok f (x) értékei alapján jelöljük ki az új pontot 2.Mégpedig a kisebb fv. értékű középső és a szélső pont közé 3.A túloldali szélső pont kiesik 4.Az új pont kijelölésénél az aranymetszés szabályai szerint osztjuk ketté az intervallumot G ≈ 0.381966 x2’ x0’x1’x3’ x2’ – x1’ = G · (x3 – x2)

9 Nelder-Mead szimplex módszer Lokális optimalizáció 2D Szimplex n dimenzióban: n+1 csúcspontból álló poligon. Minden csúcsra kiszámítjuk f (x) -et. Műveletek: Tükrözés Zsugorítás Nyújtás

10 Nelder-Mead szimplex módszer Lokális optimalizáció Jellemzők: Rendkívül stabil Olcsó f (x) esetén jó Rosszul konvergál

11 Lokális optimalizáció Legmeredekebb ereszkedés („Steepest descent”) Csak deriválható függvények esetén alkalmazható Számtalan módszer alapját adja Valamelyik rokonát célszerű alkalmazni

12 Lokális optimalizáció Gradiens függvényKezdőpont

13 Lokális optimalizáció Metszet a legnagyobb lejtés d = - g (x1, x2) irányában Az f (x1, x2) függvény értéke a metszet mentén az α lépés- nagyság függvényében

14 Lokális optimalizáció A legkisebb f (x1, x2)- t eredményező lépés után Ha a minimumot választottuk, ott az irány menti derivált 0, ezért a következő lépés merőleges lesz

15 Lokális optimalizáció Cikk-cakk a lokális minimumig

16 Lokális optimalizáció Lehetőségek Hibrid módszerek létrehozása Lendület ill. adaptivitás bevezetése a konvergencia gyorsítására Kezdeti pont intelligens kiválasztása Leállási feltételek fejlesztése …