A háromszög Napoleon- háromszögei

Az előadások a következő témára: "A háromszög Napoleon- háromszögei"— Előadás másolata:

1 A háromszög Napoleon- háromszögei

2 Nap-2 Ebben a részben a háromszögek Napoleon-féle háromszögeivel ismerkedünk meg. Állítólag Bonaparte Napoleon nevéhez fűződik az az eredmény, mellyel találkozni fogunk Bár kétségtelen, hogy kiváló mate-matikai képességei voltak a nagy hadvezérnek, tudo-mánytörténészek mégis kétségbe vonják, hogy ekkora teljesítményre lett volna képes. Valószínűleg az igazság soha nem fog kiderülni, de számunkra nem is ez a fontos, hanem maga az eredmény. Először a külső, majd ezt követően a belső Napoleon-féle háromszöggel ismerke-dünk meg. Aztán azt vizsgáljuk, hogy e kétféle háromszög területei milyen kapcsolatban állnak az eredeti háromszög területével.

3 Írjuk fel a koszinusz-tételt a PCQ és a QBR háromszögekre Bizonyítás
Nap-3 Emeljünk az ABC háromszög oldalaira kifelé egy-egy szabályos háromszöget. E szabályos háromszögek közép-pontjai mindig szabályos három-szöget alkotnak. Ezt nevezzük az eredeti háromszög külső Napo-leon-háromszögének Írjuk fel a koszinusz-tételt a PCQ és a QBR háromszögekre Bizonyítás

4 Nap-4

5 Most alkalmazzuk a sinus-tételt
Nap-5 Most alkalmazzuk a sinus-tételt Minden háromszögben (Ez utóbbi egyenlőség már könnyen belátható)

6 A belső Napoleon-háromszög oldalára:
Most emeljünk a háromszög oldalaira befelé egy-egy szabályos háromszöget Az előzővel megegyező módon igazolható, hogy ezek közép-pontjai szintén szabályos három-szöget alkotnak Ezt a háromszöget nevezzük az ABC háromszög belső Napoleon-féle háromszögének A belső Napoleon-háromszög oldalára:

7 A külső N-háromszög oldalára:
Nap-7 A külső N-háromszög oldalára: A belső N-háromszög oldalára: Vegyük most ezek különbségét

8 Nap-8 Ez pedig éppen azt mutatja, hogy a háromszög külső és belső Napoleon-háromszögei területé-nek a különbsége egyenlő az eredeti háromszög területével.