3.3. Axonometrikus ábrázolások Rövid áttekintés

Az előadások a következő témára: "3.3. Axonometrikus ábrázolások Rövid áttekintés"— Előadás másolata:

1 3.3. Axonometrikus ábrázolások Rövid áttekintés

2 Párhuzamos vetítések, axonometriák
Kevésbé valószerű – de közeli, kis tárgyaknál . . . Affin transzformációval A képsíkra merőlegesen, vagy ferde szög alatt 4 „független” pont és képe meghatározza

3 Emlékeztető Műszaki rajzoknál: egyezményes ábrázolási módok: - könnyen szerkeszthető - a szakemberek által megszokott, - könnyen értelmezhető - méretek és arányok jól „leolvashatók” Műszaki rajzolónak szerkesztési szabályok - a számítógéphez számítási eljárások

4 Ami a módszerekben közös
Kiindulás: TKR; a tárgy egy jellemző pontja és fő irányai Előtte: VKR  TKR: P’ = (T  B)  P mozgás; méret- és alaktartó A vetület előállítása: P’ = M  P; 3D  3D, ; olyan M, amely… láthatóság-takarás z’ szerint z’ elhagyása: 3D  2D; VKR-2D  KKR, a képmezőbe Párhuzamos vetítésnél M affin, középpontosnál projektív

5 Gyakrabban használt módszerek

6 Merőleges vetítés koordináta-síkokra
„Számítások”: a harmadik koordináta elhagyása Legtöbbször csak 2-3 nézet A F H E J B 6

7

8 Kiegészítő nézet ferde síkra
A test jellemző síkjával párhuzamos síkra Forgatással visszavezethető a merőleges vetítésre A nézetek szabványos egyesítése

9 Axonometriák Frontális axonometria Izometria Dimetria Trimetria (olv)
Affin mátrixal, a mátrix: 4-4 független ponttal

10 Affin transzformációk mátrixának előállítása
4 „független” pont és képe Gyakran: a TKR „ölében ülő” téglatest O = (0,0,0) A = (a,0,0), B = (0,b,0), C = (0,0,c)

11 Frontális axonometria (Kavalier perspektíva)
Párhuzamos vetítés, ferde szögben Rajzolási szabályok: - az UV képsík | | a TKR XZ „homloksíkjával” - X’ = U , Z’ = V; : 1 méretek - Y’: 45 fokban hátrafelé; 1 : 2 méretek P’ = M · P ; M = ? M = ( 1 t 0 0); t = 2/ |0 t 1 0| | | ( ) (tengelycsere és nyírás)

12 A határozatlan együtthatók módszerével:
O = [0, 0, 0, 1]; O’ = [0, 0, 0, 1]; a képsíkban XZ sík (TKR) || UV sík (KKR) képe A = [1, 0, 0, 1]; A’ = [1, 0, 0, 1] C = [0, 0, 1, 1]; C’ = [0, 1, 0, 1] Y tengely képe 450 -ban hátrafelé: B = [0, 1, 0, 1]; B’ = [bu, bv, bw, 1]; bu = cos(f) / 2, bv = sin(f) / 2, bw = +1 (vagy más !!!)

13 mik kiszámítása: mik = ? : M  (A B C O )  (A’ B’ C’ O’) = (m11 m12 m13 m14)  ( )  ( 1 bu ), (m21 m22 m23 m24) | | | 0 bv | (m31 m32 m33 m34) | | | | ( ) ( ) ( )

14 mik kiszámítása: mik = ? : M  (A B C O )  (A’ B’ C’ O’) ( m11+m14 m12+m14 m13+m14 m14 )  ( 1 bu ), | m21+m24 m22+m24 m23+m24 m24 | | 0 bv | ( m31+m34 m32+m34 m33+m34 m34 ) | | ( ) ( ) M = ( 1 bu ), bu = cos (f) / 2, | 0 bv | bv = sin (f) / 2, | | ( ) f = 450, esetleg 300.

15

16 Axonometria – tengelyméretes ábrázolás
Párhuzamos, merőleges vetítés egy ferde állású képsíkra „tengelyméretes ábrázolás”: a tengelyirányú rövidülések: k2 + l2 + m2 = 2 (egy d szakasz rövidülése: k = d’ / d = cos a ) Megőrzi a párhuzamosságot és egy-egy irányban a szakaszok arányát Affin transzformációval számolható

17 Axonometria - a rajz szokásos elrendezése: TKR: XYZ KKR: UVW

18

19 Izometria, egyméretű axonometria
k = l = m = 2/3 = 0.82…; ( ~1 !!!) A tengelyirányú távolságok jól érzékelhetőek A TKR egységkockáját a csúcsára állítva a képsíkra merőlegesen A tengelyek vetülete egymástól 1200-ra

20 Izometria, egyméretű axonometria
M = ( m11 m12 m13 m14 ) = | m21 m22 m23 m24 | | m31 m32 m33 m34 ) ( ) =( -t t ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( ) h = 3/3, f = 2/3, t = 1/2 M : mozgatás: eltolás és forgatás

21 Levezetés: 4 független pont és képe:
{O A B C}  {O’ A’ B’ C’} –f f –g –g h m a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2, g = AB (3/2)/3, h = 2g; m = akármi, de  0

22 Izometria, egyméretű axonometria
M = ( -t t ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( ) f = 2/3, t = 1/2, h = 3/3

23 Dimetria k = l/2 = 0.47…, l = m = ; Rajzolási szabály (jó közelítés): X” balra lefelé 7/8 irányban Y” jobbra lefelé 1/8 irányban Z” fölfelé X méretek: 1:2 Y és Z méretek: 1:1 P’ = M · P; M = ( -2/4 21/ ) |-14/12 –2/12 8/3 0 | ( -7/3 –1/3 –1/3 1/3) ( ) M mozgatás: eltolás és forgatás

24 Trimetria (olv.) k, l, m: három különböző, rögzíthető érték
P’ = M · P ; M mozgatás: eltolás és forgatás - O’ a T (a KKR origója) fölött, - Z” = V tengely - X’, Y’, Z’ a képsíkot P, Q, R-ben döfi cos a = k, cos b = l, cos g = m szög alatt. M a határozatlan együtthatók módszerével

25 Képek …

26

27

28

29