Kvantitatív módszerek

Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek"— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek
Sorbanállás, Készletezés Készítette: Dr. Csizmadia Tibor 3. 1

2 Az előadás felépítése Sorbanállás alapfogalmai Sorbanállás-ütemezés
Készletezés Példák 2

3 Sorbanállás alapfogalmai
A sorbanállási rendszer jellemzői: A beérkezés jellemzői a várakozási sor, a kiszolgáló egység képessége, távozás Az elemzés célja: a sorbanállás költségeinek minimálása 3

4 Sorbanállási, kiszolgálási alapmodell
Forrás Sor Kiszolgáló Kiszolgálás Távozás Csatlakozás a sorhoz Sorbanállás 4

5 A forrás (beérkezési folyamat)
Az elemek számosságát tekintve (forráspopuláció) lehet: véges; végtelen. Az elemek kapcsolata szerint: független elemekből álló: a sorhoz való csatlakozást tekintve nincs semmilyen kapcsolat az elemek között. A beérkezések függetlenek a korábbi beérkezésektől. függő: van kapcsolat, egymás csatlakozását befolyásolják. A meghatározottság szerint lehet: determinisztikus: egyenlő időközben, ugyanannyi csatlakozás a sorhoz sztochasztikus: A sorhoz történő csatlakozások között eltelő idő vagy a sorhoz csatlakozók mennyisége (vagy mindkettő) véletlenszerűen változik. 5

6 Az eloszlás leírására leggyakrabban használt eloszlások
Exponenciális: Ekkor a T időegység alatt k beérkezés valószínűsége Poisson eloszlást követ: A T időegység alatt történő beérkezések számának várható értéke: •T Normális: 6

7 A sor A sor a várakozás színtere.
A sor legfontosabb jellemzője a kapacitása (a sor maximális hossza). Ez lehet: állandó; változó korlátozott, korlátlan A rendszer fontos jellemzője a sorok száma. Ez is lehet változó is, többnyire a kiszolgáló egységek számával együtt. FIFO elv 7

8 A kiszolgáló egység (a kiszolgálás képessége)
A kiszolgálási idő lehet: állandó; változó. A változás lehet véletlenszerű, vagy valamilyen program szerint változó. A kiszolgálási idő reciproka a kiszolgálási sebesség. Általában normális eloszlást követ, de kedvezőtlen esetben lehet exponenciális is. A sorkezelő rendszer lehet: egy vagy többcsatornás egy vagy többfázisú 8

9 Kiszolgálási elvek FIFO (First In - First Out: Elsőként be - elsőként ki). Csatlakozás a sorhoz (bejutás) Kilépés a sorból kiszolgálásra Sor LIFO (Last In - First Out: Utolsónak be - elsőként ki). Ilyen tároló például a zsák, vagy a verem Csatlakozás a sorhoz (bejutás) Kilépés a sorból kiszolgálásra Sor 9

10 Kiszolgálási elvek Prioritás szerint (PRI): A sorban álló ügyfeleket a fontosság sorrendjében szolgálják ki. Ilyen például a repülőgépen a különböző osztályon utazók kiszolgálása. Véletlenszerűen (RND): A sorban álló ügyfeleket véletlen kiválasztás szerint szolgálják ki. 10

11 Sorbanállás-ütemezés: fogalmak
A gyártási folyamat során a feladatok legyártása előtt el kell dönteni, hogy a munkákat milyen sorrendben végezzük el. Ha az összes feladatot egy ember egyetlen gépen vagy munkahelyen végzi: nincs szükség sorrendre Már két gép esetén: szükséges a sorrend Meg kell határozni minden egyes feladat kezdési és befejezési idejét minden gépen, és az összes műveleti helyen. 11

12 Sorbanállás-ütemezés: fogalmak
Jellegzetes kiindulási pont, hogy van „n” számú feladat (pl. esztergálás, köszörülés, marás, stb.), melyeket „M” számú gépen kell elvégezni. Egyszerre egy gépen csak egy munkadarab lehet, és a feladatok általában nem megszakíthatók. Jelölések: Műveleti idő (processing time): pi,j vel jelöljük, mely azt mutatja, hogy a „j”-ik művelet az „i”-ik gépen mennyi ideig tart. rendelkezésre állási időpont (release date, vagy ready time): rj, mely megadja, hogy az adott alkatrész legkorábban mikortól vehető munkába. Ha nincs rendelkezésre állási időpont, akkor az adott művelet a 0. időpontban már elkezdhető. 12

13 Sorbanállás-ütemezés: fogalmak
esedékességi idő (due date): dj, melyre az adott feladatot be kell(ene) fejezni. súlyszámokat (wj) is rendelhetünk egy művelethez, mely a sürgősségét, vagy fontosságát fejezi ki. a „j”-ik feladat befejezési ideje (completion time): Cj átfutási idő (flow time): Cj-rj A műveletek sorrendjének szemléltetéséhez vonalas ütemtervet (Gantt-diagrammot) használunk 13

14 Sorbanállás-ütemezés: fogalmak
A vízszintes tengely egy egyszerű időskála, a függőleges tengelyre pedig egységenként az egyes gépeket, vagy műveleti helyeket visszük fel. A vonalkázott időszakok az üres időket (holt idő) jelentik, amikor az eltérő műveleti idők miatt valamely gép még nem tud dolgozni. Az egyes „dobozok” a feladatokat jelentik, bennük a szám pedig a feladat sorszámát. Látható, hogy ugyanazt az alkatrészt különböző gépeken megmunkálva különböző műveleti (pi,j) időket kapunk. Pl. ha az M1 egy eszterga, M2 egy marógép, M3 pedig egy köszörű, akkor teljesen természetes, hogy a műveleti idők általában eltérőek. 14

15 Sorbanállás-ütemezés: célfüggvények
Kétféle célfüggvénytípust különböztetünk meg: Minimax-probléma ez egy alkatrész maximális átfutási ideje, melyet ciklusidőnek (makespan) is nevezünk, és szeretnénk a lehető legkisebbre csökkenteni. Munkadarab késése: Lj=Cj-dj, a „j”-ik munkadarab késése (lateness), melyet szintén a lehető legkisebbre szeretnénk csökkenteni. 15

16 Sorbanállás-ütemezés: célfüggvények
Minisum-probléma ez az összes munkadarab együttes átfutási ideje – melyet minimalizálni szeretnénk súlyozott formában : 16

17 Egy gépes probléma Ritka, hogy az összes műveletet ugyanazon a gépen kell feldolgozni. Amennyiben nincsenek rendelkezésre állási idők (rj) megadva, úgy a munkadarabok átfutásának bármilyen sorrendje optimális. Van néhány olyan optimális sorrendet adó szabály ez esetben is, ami jól használható bonyolultabb feladatok esetén is. 17

18 Egy gépes probléma Lmax esetén, amikor a lehetséges legnagyobb késést szeretnénk minimalizálni akkor az ún. határidő – EDD – szabály („earliest due date” first) segít. Az összes feladatot rendezzük növekvő sorba a határidejük (esedékesség) szerint. Az ütemezést kezdjük a legkisebbel („legsürgősebb először”). 18

19 Egy gépes probléma 19

20 Egy gépes probléma A probléma, ahol az összes feladat együttes átfutási idejét kell minimalizálni, a legrövidebb műveleti idő (pj) szabály – SPT („shortest processing time”) - segítségével oldható meg. Tegyük a feladatokat a műveleti idejük szerint növekvő sorrendbe. Ez mindig optimális lesz. Ez a szabály egyben az átlagos átfutási időt is minimalizálja. Az SPT szabály általánosítása a Smith féle hányados szabály, mely a feladat optimális megoldását adja. 20

21 Helye az optimális sorrendben
Egy gépes probléma Rendezzük növekvő sorba a feladatokat a hányados szerint (qj=∞, ha wj=0), és az ütemezést kezdjük a legkisebb „qj” értékű feladattal. Művelet: j Műveleti idő: pj Súlyszám: wj Helye az optimális sorrendben 1 2 4 3 1,33 5 2,5 0,5 6 21

22 Több gépes problémák Mindazon feladatok, melyeket több gépen kell megvalósítani, nagyságrendekkel „nehezebbek”, mint amikor csak egy gép van. Három jellegzetes problématípust fogunk megkülönböztetni, és általában két gépes modellekkel dolgozunk majd. 22

23 Flow-shop probléma „n” számú megmunkálandó alkatrészt kell két gépen „átengedni” úgy, hogy az egyes műveletek sorrendje tetszőleges lehet. Ez azt jelenti, hogy egyetlen lépésben meghatározzuk a mindkét gépre érvényes optimális megoldást. Az így sorba rendezett műveleteket először az egyik gépen, majd változatlan sorrendben a másik gépen fogjuk „átengedni”. Célfüggvényünk a lehetséges maximális átfutási idő minimalizálása, vagyis Cmax. Az első gépen egymás után következnek a feladatok üres idő (holt idő) nélkül, a többi gépen pedig az üres helyeket igyekszünk minimalizálni. Ez a feladattípus nagyon gyakran előfordul, pl. gyártósorokon. Jellegzetessége, hogy minden feladat minden műveleti helyre elmegy. Mindezeket összefoglalóan Flow-shop problémáknak nevezzük 23

24 Johnson algoritmus Osszuk fel a műveleti időket két halmazra. Az egyik halmazba (A) gyűjtsük azokat a feladatokat, melyek műveleti ideje (aj=p1,j) az első gépen kisebb mint a másikon, a másik halmazba (B) gyűjtsük azokat, melyeknél a második gépen rövidebb a műveleti idejük (bj=p2,j). Ezután kezdjük el az egyes feladatokat a még szabad helyekre „betervezni” az alábbiak szerint: A legelső helyre kerül (tehát először kerül elvégzésre) az, amelynek a műveleti ideje az 1. gépen a legkisebb, a legutolsó helyre kerül az, melynek műveleti ideje a 2. gépen a legkisebb. Nézzük tovább a „maradék”-ot. Második helyre kerül, melynek műveleti ideje a „maradék”-ból az első gépen a legkisebb, utolsó előtti lesz az, melynek műveleti ideje a 2. gépen a legkisebb, stb. Ezt mindaddig folytatjuk, míg az összes feladatot be nem terveztük. Így egyetlen lépésben kapjuk meg - mindkét gépet figyelembe véve – az optimális megoldást. A Flow-shop problémák gyors megoldását a Johnson algoritmus teszi lehetővé. 24

25 Flow-shop probléma Művelet: j Műveleti idő az 1. gépen: aj
Műveleti idő a 2. gépen: bj melyik halmazba tartozik „j” Helye az optimális sorrendben 1 4 3 B 2 A 5 6 A Gantt-diagrammon jól látszik, hogy csak az első gépen biztosítható, hogy az egyes feladatok szünet nélkül kövessék egymást. Az egyes gépeken a műveleti idők eltérnek, így a „hézagmentes” követés már nem várható. A gépek és feladatok számának növekedésével egyre nehezebben megoldható problémákhoz jutunk, olyannyira, hogy háromnál több gép esetén már nem is biztos, hogy létezik optimális terv. 25

26 Job-shop probléma Gyakran nem fordul meg minden munkadarab minden műveleti helyen, tehát vannak olyan műveletek, melyeket csak az egyik gépen, vagy csak a másik gépen kell elvégezni. Vagy egy munkadarabot mindkét gépen meg kell munkálni, de a sorrendjük kötött, tehát először az elsőn és utána a másodikon, vagy fordítva. Lényeg az, hogy hiába szabad, pl. a 2. gép, ha technológiai előírás, hogy előbb az első gépen kell „átmennie”. Sőt az is előfordulhat, hogy egy alkatrész akár többször is visszamegy valamelyik géphez. Mindezeket összefoglalóan Job-shop problémáknak nevezzük. 26

27 Jackson algoritmus Jelöljük itt is aj –vel a megmunkálási időket az 1. gépen, és bj –vel a megmunkálási időket a 2. gépen. Bontsuk újfent halmazokra, a megmunkálásra váró alkatrészeinket. Az első halmazba (N1,2) tartozzanak azok, melyeket először az 1. majd a 2. gépen kell megmunkálni (technológiai kényszer), a másodikba pedig (N2,1) melyeket először a 2. majd az 1. gépen kell megmunkálni. Mindazon alkatrészeket, melyeket csak az egyik gépen kell megmunkálni, két további halmazba gyűjtsük össze: N1 -be azokat, melyeket csak az első gépen, míg N2 -be azokat, melyeket csak a második gépen kell átengedni”. A Job-shop problémák hatékony megoldására a Jackson algoritmus alkalmas. 27

28 Jackson szabályok Az első gépen először azokkal az alkatrészekkel kezdjük a munkát, melyeket technológiailag először az első gépen kell megmunkálni, vagyis az N1,2 halmaz elemeivel, a második gépen pedig ugyanezen okból az N2,1 halmaz elemeivel kezdünk. Az N1,2 halmaz elemeit ugyanabban a sorrendben vezetjük át a 2. gépen, ahogy az első gépen is. Ugyanez igaz az N2,1 halmaz elemeire is. Meghatározzuk a helyes sorrendet a 2. gépre, majd azt változatlanul hagyva visszük át a feladatokat az első gépre. Mind az N1,2, mind pedig az N2,1 halmaz elemeit a Johnson szabály szerint rakjuk sorba. Az N1 és N2 halmaz elemeit tetszés szerint rakhatjuk sorba. A négy részhalmaz elemeit az alábbi sorrend szerint vezetjük át a két gépen: 1. gép: N1,2, N1, N2,1, 2. gép: N2,1, N2, N1,2. 28

29 Jackson szabály: példa
Gyűjtsük össze a 4 részhalmaz elemeit. N1,2={1,2,5}; N2,1={4,6,8}; N1={7}; N2={3}; 29

30 Jackson szabály: példa
Az N1,2 halmaz elemeinek optimális sorrendje a Johnson algoritmussal: Művelet: j Műveleti idő az 1. gépen: aj Műveleti idő a 2. gépen: bj Helye az optimális sorrendben 1 3 2 5 Az N2,1 halmaz elemeinek optimális sorrendje a Johnson algoritmussal: Művelet: j Műveleti idő az 1. gépen: aj Műveleti idő a 2. gépen: bj Helye az optimális sorrendben 4 3 1 6 2 8 30

31 Jackson szabály: példa
A Gantt-diagrammon látható a végeredmény, mely szerint a feladatok az alábbi sorrendben mennek át: 1. gép: 1,5,2,7,4,6,8. N1,2 + N1 + N2,1 2. gép: 4,6,8,3,1,5,2. N2,1 + N2 + N1,2 Az N1 és N2 halmaz elemeit nem nehéz sorba rakni. 31

32 Készletezés Alapmodellek független igény esetén:
Gazdaságosan rendelt mennyiség (EOQ) Q = optimális rendelt mennyiség D = időszakra eső igény S = rendelési költség H = készlettartás költsége (néha = I*P) 32

33 Készletezési alapmodellek
2. Termelés alapján rendelt mennyiség (Fűrészfog modell) p = termelési ráta d = igény 33

34 Készletezési alapmodellek
3. Mennyiség arányos ár P = ár 34

35 Készletezés: példa 1 Egy üzlet plüss-állatokat rendel meg. A játékok normál beszerzési ára 5EUR. Ha 1000 db-ot, vagy többet rendelünk, akkor 4,8EUR, ha 2000 db-ot, vagy többet rendelünk, akkor 4,75EUR. A rendelési költség alkalmanként 49 EUR. Az éves igény a plüss -állatokra 5000 db. A készlettartási költség a beszerzési ár 20%-a. Mennyi legyen az alkalmanként beszerzendő mennyiség, hogy az elkövetkező évre minimáljuk a költségeinket? 35

36 Készletezés: példa 2 Egy üzem hengerfejeket gyárt és épít be.
Napi termelési ráta = 8 db/nap. Napi felhasználási ráta = 6 db/nap. Éves igény = 1000 db. Termelés beindításának költsége = 10EUR. Készlettartási költség = 0,5EUR. Mennyit termeljen a gyár egy ciklus alatt? Mennyi ideig tart egy termelési ciklus? 36

37 Irodalom Kovács, Z. (2004). Logisztika. Veszprém, VE Kiadó
Heizer, J. & Render, B. (1996). Production and operations management (fourth edition). New Jersey, Prentice Hall A témához kapcsolódó ajánlott irodalom.

38 3.