Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai

Az előadások a következő témára: "Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai"— Előadás másolata:

1 Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai
A lineáris transzformáció invariáns alterei Lineáris transzformáció sajátértékének és sajátvektorának meghatározása TARTALOMJEGYZÉK Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

2 A lineáris transzformáció invariáns alterei
Az L lineáris tér valamely L’ lineáris alterét a tér T(x) lineáris transzformációjára invariáns altérnek nevezzük, ha L’ minden elemére a T(x) is benne van az L’ altérben. Tükrözés az x1 tengelyre  x1 tengely invariáns altér  1 dimenziós invariáns altér x2 tengely is invariáns altér  1 dimenziós invariáns altér Példák: x1 x2 T(v1)=v1 v2 T(v2) x2 x3 α v T(v) α szögű elforgatás x3 tengely körül  x1, x2 sík invariáns altér  2 dimenziós invariáns altér Fontosak az 1 dimenziós invariáns alterek Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

3 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
Egy T skalárt az A lineáris transzformáció sajátértékének nevezzük, ha létezik olyan vV nem nulla vektor, amelyre Av=v Egy v V nem nulla vektort az A lineáris transzformáció sajátvektorának nevezzük, ha létezik olyan T skalár, amelyre Av=v A sajátvektorok közül kizárjuk a 0 vektort, mert A0= 0 esetben a sajátérték tetszőleges lehet. A sajátértékek közül nem zárjuk ki a 0 skalárt, mert Av=0v=0, ekkor a sajátvektorok a magtér nem nulla elemei lesznek. Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

4 TÉTEL: A komplex lineáris térben minden lineáris transzformációnak létezik legalább egy sajátvektora. Bizonyítás: Karakterisztikus mátrix: E – A Karakterisztikus polinom: |E – A| Karakterisztikus egyenlet: |E – A|=0 A karakterisztikus egyenlet -ban n-ed fokú egyenlet  n gyöke van, melyek között azonosak is lehetnek  n sajátérték van, azonosak is lehetnek közöttük, ezek a többszörös sajátértékek Egy sajátérték multiplicitása megmutatja, hogy a sajátérték hányszor fordul elő a karakterisztikus polinom gyökei között. Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

5 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
Lineáris transzformáció sajátértékének és sajátvektorának meghatározása A feladatok megoldásának lépései: 1. Az n-ed fokú karakterisztikus egyenlet megoldása  sajátértékek meghatározása 2. A kapott sajátértékek behelyettesítése (E – A)x=0 homogén egyenlet-rendszerbe, az egyenletrendszer megoldása a sajátvektorokat (x) adja meg. Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

6 1. A sajátértékek meghatározása:
Példák: I. Határozzuk meg a következő lineáris transzformáció sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat: 1. A sajátértékek meghatározása: A karakterisztikus mátrix: A karakterisztikus polinom: A karakterisztikus egyenlet: Az egyenlet megoldásai a sajátértékek: 1=2, 2=5 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

7 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
2. A sajátvektorok meghatározása: 1=2 sajátértékhez tartozó sajátvektor: Helyettesítsük be 1=2 sajátértéket a K mátrixba: K1x=0 x1 x2 -1 1 -2 x1=x2, x2=t, x1= - t Minden t0 esetén a sajátvektor: 2=5 sajátértékhez tartozó sajátvektor: K2x=0 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

8 Minden t0 esetén a sajátvektor:
x1 x2 2 -1 -2 1 x2=2x1, x1=t, x1= 2t Minden t0 esetén a sajátvektor: Sajátérték, sajátvektor geometriai jelentése: 1=2 A lineáris transzformáció a x’ sajátvektor irányába eső vektorokat (az x’ vektorral párhuzamos vektorokat) kétszeresére nyújtja Ax’=x’  Ax’=2x’ 2=5 A lineáris transzformáció a x’’ sajátvektor irányába eső vektorokat (az x’’ vektorral párhuzamos vektorokat) ötszörösére nyújtja Ax’=x’  Ax’=5x’ A két sajátvektor (iránya) adja meg a két egy dimenziós invariáns alteret. Pozitív sajátérték  nyújtás a sajátvektor irányába, negatív sajátérték  tükrözés és nyújtás a sajátvektor irányába.

9 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
II. Határozzuk meg a következő lineáris transzformáció sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat: A karakterisztikus mátrix: A karakterisztikus polinom: A sajátvektor meghatározása 1=4+2i sajátértékhez x1 x2 -2+2i 1 -8 2+2i x2=(2 – 2i) x1=t x2=(2 – 2i)t t0 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

10 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
A sajátvektor meghatározása 1=4 - 2i sajátértékhez x1 x2 -2 - 2i 1 -8 2 - 2i t0 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

11 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
III. Határozzuk meg a következő lineáris transzformáció sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat: 1=1  kétszeres gyök 2= - 1 A sajátvektor meghatározása 1=1 sajátértékhez x1 x2 x3 1 -1 t0 A sajátvektor meghatározása 1= - 1 sajátértékhez x1 x2 x3 -1 1 -2 t0 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

12 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
A lineáris transzformáció sajátértékei között akkor és csakis akkor fordul elő 0, ha a transzformáció mátrixa szinguláris Egy lineáris transzformáció mátrixának karakterisztikus polinomja a bázis megválasztásával szemben invariáns. Egy lineáris transzformáció sajátértéke minden bázisban ugyanaz, a sajátvektor nem a bázis megváltoztatásával transzformálódik. A lineáris transzformáció egy sajátértékéhez tartozó sajátvektorok alteret alkotnak. A lineáris transzformáció különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek. Ha az n dimenziós tér egy lineáris transzformációjának n lineárisan független sajátvektora van, akkor ezeket választva bázisnak a transzformáció mátrixa diagonális lesz. Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

13 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
Térjünk vissza az I. példához 1=2 2=5 Ha t =1 Ez lesz az új bázis, amiben felírjuk a transzformáció mátrixát a1 a2 e1 e2 -1 1 -2/3 1/3 2 3 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

14 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
Az új bázisban a transzformáció mátrixa: Olyan diagonális mátrixot kaptunk, amelynek főátlójában a sajátértékek vannak. Az n dimenziós tér egy lineáris transzformációjának A mátrixa diagonális alakra hozható, ha n különböző sajátértéke van. n különböző sajátérték  n lineárisan független sajátvektor  ez bázis  ebben a bázisban felírva a lineáris transzformáció mátrixa diagonális A fenti állítás a mátrix diagonalizálhatóságának szükséges, de nem elégséges feltétele Ha nem minden sajátérték különböző, akkor is előfordulhat, hogy A mátrix diagonalizálható. Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

15 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
Az n dimenziós lineáris térben, ha a lineáris transzformációnak létezik n független sajátvektora, akkor diagonalizálható transzformációnak nevezzük. A hasonlósági transzformációval diagonalizálható mátrixok az egyszerű struktúrájú mátrixok. Egy lineáris transzformáció akkor és csakis akkor diagonalizálható, ha minimálpolinomjának minden gyöke egyszeres gyök. (Szükséges és elégséges feltétel.) Karakterisztikus polinom Minimálpolinom: A karakterisztikus mátrix adjungált determinánsában az elemek legnagyobb közös osztója Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

16 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
TARTALOMJEGYZÉK Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó

17 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó
y=Ax a transzformáció egyenlete az egységbázisban x sajátvektor, ha valamely -ra teljesül az Ax= x egyenlőség. Átrendezve: x - Ax =0 (E – A)x=0  paramétertől függő homogén lineáris egyenletrendszert kaptunk, amelynek akkor van a triviálistól különböző megoldása is, ha K= E – A szinguláris, ahol A-t karakterisztikus mátrixnak nevezzük. |K|=| E – A |=0 A determinánst kifejtve -ra n.ed fokú egyenlet adódik. Az algebra alaptételéből következik, hogy az egyenletnek van legalább egy valós, vagy komplex gyöke  0 (0E – A)x=0 Így homogén egyenletrendszer adódik, amelynek van zérusvektortól különböző megoldása, mert 0E – A mátrix szinguláris., tehát van a lineáris transzformációnak sajátvektora. Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Vissza