3. Vetületi ábrázolások számítási eljárásai

Az előadások a következő témára: "3. Vetületi ábrázolások számítási eljárásai"— Előadás másolata:

1 3. Vetületi ábrázolások számítási eljárásai
A középpontos és a párhuzamos vetítés Párhuzamos vetítés  axonometria Középpontos vetítés – perspektív képek

2 3.0. Bevezetés

3 Bevezetés tárgyak vetítése síkra: 3D  2D. Pontokat vetítünk . . .
Párhuzamos vetítés: a vetítősugarak egy adott iránnyal párhuzamosak. Középpontos vetítés: a vetítősugarak egy pontból indulnak ki.

4 Bevezetés Kisebb tárgyaknál: a tárgyat kézben tartva, a perspektíva nem érvényesül, párhuzamos vetítés, a nézet áll, a tárgy forog Nagyobb tárgyaknál: messziről nézzük a tárgyat, perspektíva, középpontos vetítés, a tárgy áll, a nézet változik

5 A teljes igazság . . . GM : a tárgyak térbeli geometria adatai
Vetületi kép a síkban: { P’’ = (p’x, p’y, 0) } (1. lépés) P’ = M  P; 3D  3D, a VKR M olyan legyen, hogy: (3.lépés) z: = 0; 3D2D: VKR-XY, a „vetületi kép” (4.lépés) Leképezés: VKR-XY  KKR-UV, képtér (2. lépés) 3. előtt: Láthatóság z’ szerint,

6 4. lépés: Leképezés: VKR-XY  KKR-UV
VKR - xy: tárgytér, méretek: mm, inch, km, stb. KKR - uv: képtér, képpont-méretek TKR  KKR, képkeret  képmező: 2D  2D u = a  x + b v = c  y + d a = du / dx c = dv / dy Kba  Mba b = d = . . .

7 Bevezetés Pontokat vetítünk
vonalak, felületek, tárgyak vetítése: jellemző pontjaik vetítése. Párhuzamos vetítés: M affin transzformáció középpontos vetítés: M projektív transzformáció

8 Bevezetés „Nézet” (a vetítés paraméterei): vetítési középpont, vagy a vetítés iránya vetületi sík, képkeret Rossz paraméterek: rossz kép (kilóg a keretből) !!! A paraméterek megválasztása: szemléletesen, a tárgyakhoz viszonyítva Műszaki hagyomány: kézi rajz, rajzolási szabályok: könnyen rajzolható és jól „olvasható”

9 Bevezetés ---|l Vetítések koordináta-rendszerei VKR TKR SZKR
és KKR, KKR-3D

10 3.1. Párhuzamos vetítés

11 Párhuzamos vetítés Merőleges vetítés koordinátasíkra
Ferde vetítés koordinátasíkra Leképezés a képernyőre Leképezés a KKR-be (a képernyőre) Transzformációk a vetítés előtt Vetítés általános helyzetben Áttérés TKR-ről KKR-re

12 1. Merőleges vetítés koordinátasíkra
Párhuzamos és merőleges vetítés M = E A tárgy az XY síkon áll, erre merőlegesen vetítünk: a z -t elhagyjuk Más helyzetű tárgy esetén: eltolás-forgatással erre visszavezetjük

13 2. Ferde vetítés koordinátasíkra
A vetítés iránya: v = (vx, vy, vz); vz < 0. A P pont vetítő egyenese: X (x, y, z) = P + t · v x = px + t · vx y = py + t · vy z = pz + t · vz A vetületi síkon z’ = 0 : t = -pz / vz (>0) és x’ = px+ t · vx = px - vx / vz · pz y’ = py - vy / vz · pz

14 Ferde vetítés mátrixal:
Nyírással merőleges vetítéssé: P’ = N xy · P ; (3D3D) = ( 1 0 -vx/vz 0)·(px) | 0 1 –vy/vz 0| |py| | | |pz| ( | ( 1 ) = [px - vx/vz· pz, py - vy/vz· pz, pz, 1] A nyírástól a 3D alak torzul, de ettől jó a 2D vetület

15 Transzformációk a vetítés előtt, 1
„Modell-transzformáció”, „elhelyező transzformáció” „SKR”-ben adott minta, „elhelyezése” a TKR-ben; méretezés, forgatás, elhelyezés; hasonlósági transzformációk

16 Transzformációk a vetítés előtt, 2
A VKR-ben adott test vetítése a test fő sikjára A tárgy jellemző KR-e: TKR; megadása VKR-ben: R, u, v, w áttérés: VKR  TKR –be: P’ = ( T  B )  P Ezután vetítés a TKR-ben

17 4. lépés: Leképezés: VKR-XY  KKR-UV
VKR - xy: tárgytér, méretek: mm, inch, km, stb. KKR - uv: képtér, képpont-méretek TKR  KKR, képkeret  képmező: 2D  2D u = a  x + b v = c  y + d a = du / dx c = dv / dy Kba  Mba b = d = . . .

18 Párhuzamos vetítés - összefoglalás
Merőleges vetítés koordinátasíkra Ferde vetítés koordinátasíkra Párhuzamos vetítés a tárgyhoz viszonyított paraméterekkel Leképezés a képernyőre

19 3.3. Középpontos vetítés Bevezetés
Középpontos vetítés egyszerű helyzetben Középpontos vetítés a KKR-ben Transzformációk a vetítés előtt, 1 Középpontos vetítés általános helyzetben Példa: egy sínpár perspektívája Középpontos vetítés az OpenGL-ben

20 Bevezetés Számítási módszerek: P’= M  P ; 3D  3D
láthatóság-takarás z’ szerint 3D  2D: az XY síkra (z elhagyása) VKR-keret  KKR-képmező A középpontos vetítés: projektív transzformációval M : a határozatlan együtthatók módszerével Egy projektív leképezést „független” pontpár határoz meg

21 A tárgy és a néző helyzete:
Kisebb tárgyaknál: kézben tartott tárgy, a távlat nem érvényesül, párhuzamos vetítés, a nézet állandó, a tárgy foroghat Nagyobb tárgyaknál: messziről nézett tárgy, perspektíva, középpontos vetítés, a tárgy áll, a nézet változhat

22 Középpontos vetítés egyszerű helyzetben
a Z tengely egy pontjából az XY síkra a kamera koordináta-rendszerében A bonyolultabb helyzeteket ezekre vezetjük vissza

23 A Z-tengely egy pontjából az XY síkra
Térbeli tárgyak a VKR-ben, az XY síkon „ülnek”, a Z tengely körül, Vetületi sík: XY (z = 0), vetítési középpont: C = (0, 0, c), A P pont X vetülete: x’ = px · c / (c - pz); c > pz y’ = py · c / (c - pz) z’ = 0

24 A kamera koordináta-rendszerében
C az origóban A vetületi sík: z = d || XY A tárgy P = (x, y, z, 1) pontjának P’ vetületére: x’ = x  d / z; z > 0, y’ = y  d / z [ z’ = (z-d) / z ] M = ( d ) | 0 d | | –d | ( )

25 A kamera koordináta-rendszerében

26 A leképezés 5-5 pontja X = [ 1, 0, 0, 0 ]; X’ = X X,Y tengely Y = [ 0, 1, 0, 0 ]; Y’ = Y C = [ 0, 1, 0, 1 ]; C’ = [ 0, 0, 1, 0 ] kamera T = [ 0, 0, t*, 1 ] ; T’ = [ 0, 0, 1, 1 ] távolsík E = [ k*,k*,k, 1 ]; E’ = [ -1, 1, 0, 1] a kép sarka

27 Az előírásoknak megfelelő mátrix (l. jegyzet): M = ( s/k
Az előírásoknak  megfelelő mátrix (l. jegyzet):  M =  ( s/k*  0     0   0 ); s = -1/k+t*      |  0   s/k*   0   0 |; k* = k·tg a     |  0    0   -1/k  1 |     (  0    0     s   0 ) Egy P = [x, y, z, h] pontot ezzel transzformálva: P' = M · P =  [s · x / k*, s · y / k*, - z / k + h, s · z]  és ha z nem nulla, akkor P' = ( x / (z·k*), y / (z·k*), -1 / (s·k) + h / (s·z) )

28 Transzformációk a vetítés előtt, 1
„Modell-transzformáció”, „elhelyező transzformáció”: hasonlósági tr. „SKR”-ben adott minta, „elhelyezése” a TKR-ben: méretezés, forgatás, elhelyezés

29 Transzformációk a vetítés előtt, 2
Test a VKR-ben képe: a test fő síkjára vetítve TKR: a tárgy jellemző KR-e áttérés: VKR  TKR –be: TKR megadása VKR-ben: R, u, v, w M = TB: VKR  TKR transzf. Ezután vetítés a TKR-ben

30 Középpontos vetítés általános helyzet (olv)
Rossz paraméterek: rossz kép (kilóg a keretből) Jó paraméterek: a tárgyhoz viszonyítva, szemléletesen Vetítési középpont: C Vetületi sík: R-ből n és d; a vetületi síkon: O SzKR: C, x, y, z z : = n „fölfele” y; de merre? f kb. fölfele; n és y síkjában ebből: x = f  z, és y = z  x

31 Áttérés TKR-ről SzKR-re
TKR  SzKR báziscsere: X’ = (T2 · B2) · X B2 := B2 (x, y, z,) | x | = | y | = | z | = 1 T2 := T2(- RC)

32 Például: egy sínpár perspektívája
X = [ 1, 0, 0, 0 ]; X’ = X X,Y tengely Y = [ 0, 1, 0, 0 ]; Y’ = Y Z = [ 0, 0, 1, 0 ] ; Z’ = [ 0, 0, 1, 1 ] Z tengely C = [ 0, 1, 0, 1 ]; C’ = [ 0, 0, 1, 0 ] kamera F = [ 1, 2, 1, 1 ]; F’ = [ -1, 1, 0, 1] a kép sarka

33 A sínpár perspektívája
M · [ X Y Z C F ] = [ pX’ rY’ z Z’ sC’ eF’ ] (m11 m12 m13 m14) · ( ) = ( p e ) | m21 m22 m23 m24| | | | r e | | m31 m32 m33 m34| | | | z s | (m41 m42 m43 m44) ( ) ( z e ) 20 egyenlet, ismeretlen: p, r, z, s, e, és 16 mik de egy választható, pl. p := 1 (nem lehet 0)

34 Középpontos vetítés - összefoglalás
(Az átalakítások egy lehetséges módja) Az elhelyező-transzformációk után a tárgyak: VKR-ben Áttérés VKR-ről TKR-re: X’ = (T1B1)X A vetítés megadása a tárgyhoz viszonyítva Áttérés TKR-ről PKR-re X’ = (T2B2)X Vetítés a PKR-ben: X’ = (PNxyTM)X Leképezés PKR-ből a KKR-be: X’ = (T5S)X X’ = [ (T5S)P(NxyTM)(T2B2)(T1B1) ] X

35 Összefoglalás Vetítés: 3D  2D
A párhuzamos vetítés: affin transzformáció A középpontos vetítés: projektív transzformáció Mindkettőnek vannak egyszerű esetei Általános esetben: P’= M  P 3D  3D leképezés, utána: láthatóság (z), végül: a z koordináta elhagyása Az M mátrix geometriai szemlélettel fölépíthető