Készítette: Lukács Adrienn

Az előadások a következő témára: "Készítette: Lukács Adrienn"— Előadás másolata:

1 Készítette: Lukács Adrienn
Derive bemutató Készítette: Lukács Adrienn

2 Ismerkedés a Derive-val
Menüsor és Eszköztár Algebra ablak Matematikai szimbólumok eszköztára Görög betűk eszköztára Kifejezés beviteli mező

3 Eszköztár elemei Szöveg beszúrása Vektor beírása 2D-ábrázolási ablak Kifejezés beírása Mátrix beírása 3D-ábr.ablak Súgó Egyszerűsítés Kiértékelés Lépésenkénti megjelenítés Megoldás Változó behelyettesítése Határérték Deriválás Integrálás Összeg képzés Szorzat képzés Windows gombok

4 Hasznos tanácsok DERIVE-ban a tizedespont jelölésére a pontot, és nem a vesszőt használjuk. Ha mégis a vesszőt használnánk, hibát jelez. Változónak értéket lehet adni a := paranccsal. pl. a:=5 Ha azt szeretnénk, hogy az a változó „elfelejtse” eddigi értékét, az a:= utasítást kell kiadnunk. Zárójelezéshez csak és kizárólag a ( ) kerek zárójeleket használjuk. A pontos értéket az = jellel, kerekített értéket a  jellel lehet gyorsan és könnyen megkapni. A könnyebb átláthatóság érdekében a feladatok közé szöveges megjegyzéseket, „kommenteket” szúrhatunk be a Beszúrás / Szöveg objektum menüpont, vagy az F5 billentyű segítségével.

5 Szöveg beszúrása Beszúrás / Szöveg objektum menüpont, vagy az F5 billentyű Formázási lehetőségek: az Ablak / Testreszabás menüpontban jelöljük be a Formázás eszköztárat. Az új eszköztárunk funkciói: Megjegyzés: a szövegek a Beállítások / Elrejtés / Szövegek menüpontban tűntethetőek el. Betűtípus Betűméret Betűstílus Igazítás Felsorolás

6 Beviteli módok A kifejezés beviteli mezőben levő kifejezés bevitele:
Kifejezés beírása / Enter Egyszerűsítés Beírás és egyszerűsítés / CTRL+Enter Kiértékelés Beírás és kiértékelés / Shift+Enter Mindent töröl / Shift+Del

7 Konstansok  pi Ctrl+P ê #e Ctrl+E î #i Ctrl+I  deg Ctrl+O  inf
az egységkör területe ( ) Ctrl+P ê #e a természetes logaritmus alapja ( ) Ctrl+E î #i képzetes egység (négyzetgyök -1) Ctrl+I  deg fokonkénti radiánok száma (vagyis /180) Ctrl+O  inf plusz végtelen Ctlr+0

8 Numerikus műveletek a + b a+b a – b a-b ab a*b vagy ab a/b ab a^b a%

9 Más módszerrel… Összeg képzése: Analízis > Összeg képzés…
Szorzat képzése: Analízis > Szorzat képzés…

10 Megjegyzések helyes zárójelezés ( ) segítségével () hiányában precedencia (balról jobbra) műveletek precedenciája: % ^ */ A változó megjegyzi értékét! „Felejtés”: a:=

11 Relációs műveleti jelek
= ≠ /= < ≤ <= > ≥ >=

12 Halmazok megadása elemek felsorolásával pl. H:={1,2,3,4,5}
számtani sorozatként pl. I:={1,3,..,19} J:={3,6,..,100} más halmazokból halmazműveletekkel pl. az 1000-nél kisebb, 3-mal és 5-tel nem osztható pozitív egészek V:={1,..,1000} \ ({3,6,..,999}  {5,10,..,1000})

13 Halmaz tulajdonságai DIM(H) : H halmaz elemszáma pl. DIM(V) 533
MEMBER?(u,H) : u eleme-e H-nak? értéke: true, ha uH ; false, ha uH pl. MEMBER?(78,V) false

14 Halmazműveletek metszet A  B A intersection B únió A  B A union B
differencia A \ B részhalmaz power_set(A) direkt szorzat A  B A*B vagy AB

15 Exponenciális és logaritmus függvény
exp (z) ez log (z,w) logw z log (z) ln (z) Megjegyzés: különböző matematikai jelölésrendszer!! log  ált.: 10-es alapú logaritmus (ha nincs alap) Derive: természetes alapú logaritmus lg  ált.: 10-es alapú log., Derive: nem létezik ln  jelölése megegyezik

16 Trigonometrikus függvények
sin (z) z szög szinusza cos (z) z szög koszinusza tan (z) z szög tangense cot (z) z szög kotangense sec (z) z szög szekánsa csc (z) z szög koszekánsa

17 Inverz trigonometrikus függvények
asin (z) z szög arkusz szinusza acos (z) z szög arkusz koszinusza atan (z) z szög arkusz tangense acot (z) z szög arkusz kotangense asec (z) z szög arkusz szekánsa acsc (z) z szög arkusz koszekánsa

18 Komplex számok - z = a + bi , a,b  Z
- i bevitele: CTRL + I, #i, matematikai szimbólumok eszköztára - z valós része : re(z) - z képzetes része: im(z)

19 Komplex változós függvények
abs(z) z abszolút értéke conj(z) a z komplex konjugáltja phase(z) a z irányszöge

20 Valószínűségi függvények
perm(m,n) m elem n-edrendű variációja comb(m,n) m elem n-edrendű kombinációja random(n) véletlen szám generátor Megjegyzés: - a permutáció külön definiálása felesleges (faktoriális jele: !) - megtévesztő elnevezés! - PERM - helpben is rosszul szerepel!

21 A random függvény Ha n>1 egész szám, RANDOM(n) eredménye [0, n) intervallumba eső egész. Például: RANDOM(6) eredménye egyforma valószínűséggel valamelyik a következő egész számok közül {0, 1, 2, 3, 4, 5}. RANDOM(1) egyszerűsítve: a RANDOM szám a [0, 1) intervallumban. Ha n<0 egész szám, RANDOM(n) eredménye: -n

22 Számelméleti függvények
floor(n) n egészrésze mod(n) n törtrésze mod(m,n) m / n osztási maradéka factors(u,test,x) u kifejezés test test feletti felbontása ( x szerint )

23 Oszthatóság divisors(n) divisor_tau(n) divisor_sigma(k,n)
n osztóinak vektora divisor_tau(n) n osztóinak száma divisor_sigma(k,n) n pozitív osztóinak ( k-adik hatványaiknak ) összege gcd(m1,m2,..,mn) m1,m2,..,mn számok legnagyobb közös osztója extended_gcd(a,b) [gcd (a,b), x, y] , ahol gcd(a,b) = ax + by poly_gcd(a,b) a és b algebrai kifejezések legnagyobb közös osztója lcm(m1,m2,..,mn) m1,m2,..,mn számok legkisebb közös többszöröse

24 Megjegyzés számok esetén: LNKO  gcd LKKT  lcm
algebrai kifejezések esetén LNKO  poly_gcd LKKT  - Definiáljuk algebrai kifejezésekre a poly_lcm() függvényt a következőképpen:

25 Számrendszerek Beállítások > Beállítások menüpont
Binary, Octal, Decimal, vagy Hexadecimal egy egész szám megadásával 2 és 36 között

26 n előtti utolsó prímszám
Prímszámok prime?(n) igaz, ha n prímszám nth_prime(n) n-edik prímszám next_prime(n) n utáni első prímszám previous_prime(n) n előtti utolsó prímszám prime_power?(n) igaz, ha n prímhatvány mersenne(n) n-edik Mersenne prím

27 További számelméleti függvények
fibonacci(n) n-edik Fibonacci szám perfect(n) n-edik tökéletes szám ( pozitív osztók összege = szám kétszerese ) primitive_root(n) legkisebb primitív gyök mod n …

28 Algebra és számelmélet
Egyszerűsítés Törzstényezőkre bontás Polinomok felbontása Lépésenkénti egyenletmegoldás Egyenletek és egyenlőtlenségek algebrai és grafikus megoldása Egyenletek numerikus megoldása Egyenletek implicit, paraméteres megoldása Egyenletrendszerek megoldása Az értékkészlet megadás jelentősége

29 Egyszerűsítés matematikai kifejezések numerikus és algebrai egyszerűtése Egyszerűsítés > Egyszerűsítés menüpont, = gomb, Ctrl+B billentyűk Műveletek: Numerikus részkifejezések összevonása. 2·y·3  6·y. Szorzat azonos tényezőinek összevonása. x·y·x  x2·y. Összeg azonos tagjainak összevonása. 3·x+7+x  4·x+7. Egész kitevők bevitele egy szorzat tényezőibe. (3xy3)2  9x2y6 Egyszerűsítés polinomok legnagyobb közös osztójával …

30 Kiértékelés Kifejezés / szám közelítő értékének meghatározása
Egyszerűsítés > Kiértékelés menüpont, ≈ gomb, Ctrl + G billentyűk approx(u,n) - u kiértékelése n számjegyre Megjegyzés: ugyanez beállítható a Beállítások > Beállítások (Egyszerűsítési beállítások és kiviteli beállítások almenü) menüpontban

31 közös nevező, számok és változók legkisebb hatványának kiemelése
Tényezőkre bontás + az összegek hatványát vagy különböző hatványú összegek szorzatát képzi Számok  prímtényezős felbontás kifejezések  szorzattá alakítás, gyöktényezős alak Egyszerűsítés>Tényezőkre bontás menüpont, factor() függvény + az összegek szorzatokra bontása új törthatványok vagy komplex tényezők bevezetése nélkül racionális felbontás, majd további felbontási lehetőségek törtkitevők bevezetésével, mint pl. √2 gyökös felbontás, majd további felbontási lehetőségek új komplex számok bevezetésével

32 Egy példa Tényezőkre bontásra

33 Kibővítés Feladata a szorzat alak kifejtése
Egyszerűsítés > Kibővít menüpont, CTRL + E billentyűk expand(u,x,y,...) – kifejti az u(x,y,...) kifejezést az x, y, ... változók szerint Pl. a (x-1)2(2x+3)(-3x-7)3 kifejezés kibővítése:

34 Polinomok quotient(p,q) remainder(p,q) poly_gcd(p,q)
Érdekesebb függvények: quotient(p,q) p és q polinomok hányadosa remainder(p,q) p és q hányadosának maradéka poly_gcd(p,q) p és q polinomok legnagyobb közös osztója random_poly(x,d,s) egy d-edfokú polinomot generál (együtthatók -s és s közötti véletlen számok)

35 Egyenletek megoldása egyenlet, egyenlőtlenség algebrai vagy numerikus megoldása binomiális, lineáris, másodfokú, harmad-, és negyedfokú polinomiális egyenletek megoldása magasabb fokszámú egyenletek is megoldhatók, ha felbonthatók a fenti típusú egyenletekre túlzottan bonyolult egyenlet  olyan átrendezett alak, ahol a jobboldal nulla végtelen sok megoldás  néhány (O környéki) példa Azonosság  true Nincs megoldás  false

36 Egyenletek algebrai megoldása
egyenletek és egyenlőtlenségek pontos algebrai megoldása Megoldás>Kifejezés menüpont, vagy ikon az eszköztáron, vagy Ctrl+Shift+E billentyűkombináció solve()  egyenletek és/vagy egyenlőtlenségek solutions()  vektor, melynek elemei eleget tesznek az egyenleteknek, vagy egyenlőtlenségeknek

37 Egyenletek numerikus megoldása
egyenletek és egyenlőtlenségek pontos algebrai megoldása Megoldás>Kifejezés menüpont, vagy ikon az eszköztáron, vagy Ctrl+Shift+E billentyűkombináció nem képes többváltozós egyenletek, egyenlőtlenségek megoldására solve()  egyenletek és/vagy egyenlőtlenségek solutions()  vektor, melynek elemei eleget tesznek az egyenleteknek, vagy egyenlőtlenségeknek

38 Egyenletek grafikus megoldása
Ha nincs elképzelésünk a megoldásról, az ábrázolás sokat segíthet. „Hihetetlen” algebrai eredmények ellenőrzése Menete: - ábrázolandó kifejezés kijelölése az Algebra ablakban - 2D-ábrázolási ablak aktívvá tétele - Beszúrás > Ábrázolás menüpont Pl. ábrázoljuk a következő függvényt!

39 Lépésenkénti egyenletmegoldás
Manuális lépésenkénti megoldás F4 billentyű Automatikus lépésenkénti megoldás Egyszerűsítés>Lépésenkénti megjelenítés

40 F4 billentyű

41 Egyszerűsítés>Lépésenkénti megjelenítés

42 Egyszerűsítés>Lépésenkénti megjelenítés

43 Egyszerűsítés>Lépésenkénti megjelenítés

44 Egyszerűsítés>Lépésenkénti megjelenítés

45 Egyszerűsítés>Lépésenkénti megjelenítés

46 Paraméteres egyenletek
Oldjuk meg a következő paraméteres egyenletet! A p paraméter mely értékeinél van az egyenletnek pozitív megoldása? Kikötés!!! Megoldás:

47 Egyenletrendszerek Megoldás>Rendszer művelet Ctrl+Shift+Y billentyűk solve(), solutions() függvény

48 Vektorok előállítása vector(u, k, m, n, s) – u(k) kifejezés, k = m-től n-ig s lépésközzel pl. vector(SIN(z), z, 0, p/4, 0.2) Képlet készítő > Vektor menüpont

49 Mátrixok előállítása vector(vector(…)…) – vektorok vektora
pl. vector(vector(j + k, k, 1, 4), j, 1, 3) nxn egységmátrix: identity_matrix(n) Képlet készítő > Mátrix menüpont

50 Vektorkezelő függvények
v sub k v vektor k. eleme element (v,k) append (v1,v2,…,vn) v1, v2, …, vn vektorok összefűzése adjoin (u,v) u elem v vektorhoz való hozzáfűzése (1.helyre) insert (u,v,n) v vektorba beszúrja az u elemet (az n-edik elé) delete (v,n) v vektorból kitörli az n-edik elemet

51 Vektorkezelő függvények
first (v) v vektor első eleme rest (v) v vektor elemei az első elem kivételével replace (u,v,n) v vektorban az n-edik elem új értéke u reverse (v) v vektor elemeinek felcserélése select (u,k,v) v vektor azon elemei, amelyekre u(k) értéke igaz sort (v) v vektor elemeit rendezi

52 Mátrix = vektorok vektora  dim (mátrix) = sorok száma
Vektor műveletek dim (v) v vektor elemszáma abs (v) v vektor nagysága (hossza) member? (u,v) true, ha u eleme v-nek v1 + / - / . v2 v1 és v2 vektorok összege / különbsége / skalárszorzata c * v vagy cv v vektor c konstans-szorosa cross (v1,v2) v1 és v2 vektoriális szorzata min(v) / max(v) v legkisebb / legnagyobb eleme

53 Mátrix műveletek m row k m col k m` vagy coprojection(m) m-1 det (m)
m mátrix k-adik sora m col k m mátrix k-adik oszlopa m` vagy coprojection(m) m mátrix transzponáltja m-1 m mátrix inverze det (m) m mátrix determinánsa

54 Gauss elimináció redukált lépcsős alak
több megoldás esetén az összeset megkapjuk Lépések: Együttható mátrix létrehozása row_reduce(A,B) függvény alkalmazása, ahol: A mátrix – az egyenletrendszer bal oldalán levő együtthatók mátrixa B (oszlop)mátrix – az egyenletrendszer jobb oldalaiból álló mátrix Pl.

55 Sajátvektor, sajátérték
MTnxn esetén M karakterisztikus polinomja : kM = det (M – c*In) charpoly(A,v)  A mátrix v változójú karakterisztikus polinomja négyzetes mátrix sajátértékei a karakterisztikus polinom zérushelyei eigenvalues(A,v)  v az A mátrix sajátértéke

56 Konvergencia convergents(x, k)  vektor, melynek elemei k lépésben közelítik x-et newton(u,x,x0,n)  n+1 közelítést tartalmazó vektort eredményez (Newton-módszerrel, n-lépésben) Megjegyzés: a megadott polinom zérushelyét közelíti

57 Határérték lim(u, x, a, 1)  az u függvény határértéke, ha az x változó közelít a-hoz (jobbról, ill. balról) lim(u,[x,y],[x0,y0])  u(x,y) függvény határértéke (először x, majd y szerint) lim2(u,x,y,x0,y0)  u(x, y) határértéke [x0, y0] környezetében Analízis / Hatérérték menüpont

58 Deriválás DIF(u, x, n)  az u függvény x változó szerinti (n-edrendű) (parciális) deriváltja DIF(u, x, -n)  az u függvény x változó szerinti (n-edrendű) antideriváltja Analízis / Differenciálás menüpont

59 Integrálás int(u, x, c)  u kifejezés x változó szerinti határozatlan integrálja (primitív függvénye) (c eltolási konstanssal) left_riemann(u,x,a,b,n)  u(x) bal oldali Riemann összege (a-tól b-ig), ahol n a felbontások száma int_parts(u,v,x)  u(x).v(x) integrálja parciális integrálás alkalmazásával Analízis > Integrálás menüpont

60 Sorozatok Sorozat általános tagjának megadása: Sorozat első 50 eleme:

61 Sorozatok Sorozat k-adik eleme: Sorozat első n elemének összege:

62 Sorozatok konvergenciája
lim(u, x, a, 1) Analízis / Hatérérték menüpont

63 Példa sorozatra Feladat: Definiáljuk az a(n):=(n - 1) / (n + 3) sorozatot! Adjuk meg a 25. elemét, majd adjuk meg az első 50 elem összegét!

64 Ábrázolási kérdések 2D- illetve 3D-ábrázolási ablak lépései:
ábrázolandó kifejezés kijelölése az Algebra ablakban a megfelelő Ábrázolási ablak aktívvá tétele ábrázolás a Beszúrás / Ábrázolás menüpont, vagy az F4 billentyű segítségével lehetőségeink: grafikon paramétereinek beállítása ( szín, tengelyek, rácsok, …) ábrázolási tartomány beállításai ( tengelyek beosztása ) grafikon körbejárhatósága koordináta-rendszer, képméretarány, stb. állítása

65 Középpont koordinátái
2D – ábrázolási ablak Menüsor és Eszköztár Grafikus felület Célkereszt helyzete Középpont koordinátái Lépték

66 Eszköztár ikonjai Grafikus ablak másolása Célkereszt középre Törlés
Origó középre Közelítés Algebra ablak Távolítás Windows gombok Ábra követése Ábra beszúrása Megjegyzés beszúrása Értéktartomány beállítása

67 Beállítási lehetőségeink

68 Beállítások

69 Megjelenítési lehetőségek

70 Paraméteres ábrázolás
Feladat: ábrázoljuk a x  | x | függvényt, majd vizsgáljuk meg, milyen hatással van a függvény menetére egy pozitív egész, illetve egy negatív egész szorzó ( x  a.| x |, ahol a = -5, -4, …, 5 ) ! Megoldás:használjunk Vonalzót 1. Vigyük be az algebra ablakba az a.| x | kifejezést. 2. Tegyük aktívvá a 2D-ábrázolási ablakot. 3. Válasszuk a Beszúrás / Vonalzó menüpontot: 4. Majd ábrázoljuk a függvényt. Eredmény:

71 Ábra követése A célkereszt kizárólag a grafikon pontjain mozog pontról pontra, míg az állapotsoron a megfelelő koordináták látszanak Megjelenítési lehetőségek / Ábra követése menüpont F3 gyorsbillentyű Mozgás a grafikonon:  egy képponttal balra lép  egy képponttal jobbra lép Ctrl +  egy egységgel balra lép Ctrl +  egy egységgel jobbra lép Pl. függvény zérushelyének grafikus úton való meghatározásához

72 Megjegyzés beszúrása Beszúrás / Megjegyzés menüpont F12 gyorsbillentyű
Megjelenítési lehetőségek / Új ábrákhoz megjegyzés

73 Koordináta-rendszer helyzete
3D – ábrázolási ablak Menüsor és Eszköztár Koordináta-rendszer helyzete Ábrázolási tartomány Szemünk koordinátái

74 Ábrázolás

75 Eszköztár plusz ikonjai
Minimum, maximum beállítása Ábra kicsinyítése Elforgatás Nézőpont megadása Ábra nagyítása Ábra elforgatása

76 Beállítási lehetőségeink

77 Új beállítások

78 Megjelenítési lehetőségek

79 Ábra követése ábrázolt felületén két rácsvonal más-más színnel kiemeltté válik. Ezen két vonal metszéspontjának koordinátái láthatók az állapotsoron. Megjelenítési lehetőségek > Ábra követése F3 gyorsbillentyű Mozgás a grafikonon: Shift + ← x érték csökkentése Shift + → x érték növelése Shift + ↓ y érték csökkentése Shift + ↑ y érték növelése