Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
KiadtaViktor Gulyás Megváltozta több, mint 10 éve
1
1.3 Relációk Def. (rendezett pár) (a1 , a2 ) := {{a1} , {a1 , a2 }} .
Javítva!!!!!!! Def. (rendezett n-es) (a1 , ..., an ) := ((a1 , ..., an-1 ), an ) . Def. (Descartes (direkt) szorzat ) A1 A2 ... An := {(a1 , ..., an ) | ai Ai } , ahol A1, A2 , ... , An tetszőleges halmazok . Def. (n-ér reláció (n-változós)) R A1 A2 ... An . jelölés binér relációknál: ( a, b ) R , vagy a R b .
2
Def. (Homogén reláció) i, j { 1, 2, ...,n } : Ai = Aj .
Def. (R XY reláció értelmezési tartománya ) dmn(R) := { a X | b Y : (a, b) R } . Def. (R XY reláció értékkészlete ) rng(R) := { b Y | a X : (a, b) R } .
3
Def. Ha S R , akkor S az R leszűkítése, R az S kiterjesztése.
3 Def. Ha S R , akkor S az R leszűkítése, R az S kiterjesztése. Def. Az R reláció X halmazra való leszűkítése R|X := { (a, b) R | a X } . Def. Az R XY reláció inverze: R-1 = {(b, a) Y X | (a, b) R } . Észrevételek:
4
Észrevétel: R(A) = A dmn(R) = .
4 Def. Az A halmaz képe inverz (ős)képe Észrevétel: R(A) = A dmn(R) = . Def. Az S és R binér relációk kompozíciója Észrevétel: rng(S) dmn(R) = R o S = .
5
5 dmn(R) rng(S) z S R x y B A C Tehát R o S A C
6
S A B, ahol (a, b) S, ha b = 2a ,
Legyen A = { 1, 2 , 3, 4, 5}, 6 B = { 6, 8 , 10, 12, 14}, C = { 30, 36 , 42, 48, 54} , D = { 2, 3 }, S A B, ahol (a, b) S, ha b = 2a , R B C, ahol (a, b) R, ha b = 3a . Ekkor S(D) = { 6 }, S-1(S(D)) = { 3 }, S = { (3, 6) , (4, 8) , (5, 10) }, R = { (10, 30) , (12, 36) , (14, 42) }, dmn(S) = {3, 4, 5}, rng(S) = {6, 8, 10}, dmn(R) = {10, 12, 14}, rng(R) = {30, 36, 42}, R o S = { (5, 30) }.
7
7 rng(S) z dmn(R) S R rng(R) x y B A C
8
Homogén binér relációk tulajdonságai
8 Homogén binér relációk tulajdonságai Legyen R A A alakú, ekkor R 1. reflexív : a A (a R a) 2. irreflexív : a A ¬(a R a) 3. szimmetrikus : a, b A (a R b b R a) 4. antiszimmetrikus : a, b A (a R b b R a b = a)
9
5. szigorúan antiszimmetrikus (asszimmetrikus):
9 5. szigorúan antiszimmetrikus (asszimmetrikus): a, b A (a R b ¬(b R a)) 6. tranzitív : a, b, c A (a R b b R c a R c) 7. intranzitív : a, b, c A (a R b b R c ¬(a R c)) 8. trichotom : a, b A ( 1! áll fenn a R b, b R a, a=b közül ) 9. dichotom : a, b A (a R b b R a)
10
Def. ~ ekvivalenciareláció ha reflexív, tranzitív, szimmetrikus.
10 Def. ~ ekvivalenciareláció ha reflexív, tranzitív, szimmetrikus. Def. ( halmaz osztályfelbontása ) A tetszőleges X halmazt osztályozzuk (osztályokra bontjuk), ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak úniójaként állítjuk elő. Az x X elem ekvivalencia osztálya:
11
1.3.38. . Biz. 1. , azaz tfh ~ ekvivalenciareláció X –n. ~
reflexivitás x x osztályok nem üresek Mi újság két osztály metszetével ? ~ ~ tfh van nem üres: z x y tranz.+szimm. x ~ y , továbbá ~ ~ ~ ~ tranz.+szimm. w x w y és w y w x . ~ ~ ~ ~ Kaptuk: x y x = y 11
12
ρ := { (a, b) X X | a, b Xi valamely 1 i n –re } .
Tehát a következő halmaz X –nek egy osztáyfelbontását adja: 12 2. , tfh X –nek osztályfelbontása: X1 X2 ... Xn = X Legyen a relációnk: ρ := { (a, b) X X | a, b Xi valamely 1 i n –re } . reflexív ? tranzitív ? szimmetrikus ?
13
13 Def. Az R X X reláció részbenrendezés ( ), ha - reflexív, - tranzitív, - antiszimmetrikus, szigorú részbenrendezés ( < ), ha - irreflexív, - tranzitív. Def. Tetszőleges részbenrendezett halmaz esetén, ha bármely két elem relációban van, rendezésről (teljes rendezés) beszélünk . (X, ) részbenrendezett vagy rendezett struktúra, ha részbenrendezés vagy rendezés.
14
rendezés < trichotóm
Tetszőleges X, a relációval részbenrendezett halmaz bármely Y részhalmaza részbenrendezett a YY relációval. Ha (Y, YY ) struktúra rendezés, akkor lánc. Tfh R X –beli reláció. Ha S X –beli reláció olyan, hogy xSy akkor áll fenn, ha xRy és x y, akkor S az R –nek megfelelő szigorú reláció. Tfh R X –beli reláció. Ha T X –beli reláció olyan, hogy xTy akkor áll fenn, ha xRy vagy x = y, akkor T az R –nek megfelelő gyenge reláció. < szigorú részbenrendzés irreflexív, tranzitív, szigorúan antiszimmetrikus . rendezés < trichotóm 14
15
(x, y) = { z X | x < z < y } .
Zárt intervallum: [x, y] = { z X | x z y } . Nyílt intervallum: (x, y) = { z X | x < z < y } . Jel: ] , x [ 15
16
Legyen (X, ) részbenrendezett struktúra, ekkor
16 m X az X minimális eleme, ha nem létezik olyan (m ) x X, amelyre m ≥ x , legkisebb eleme, ha maximális és legnagyobb elem hasonlóan minden x X – re m x . Észrevételek: legkisebb és legnagyobb elem legfeljebb egy van minimális és maximális elem több is lehet rendezett halmazban legkisebb és minimális egybeesik
17
a A a B alsó korlátja, ha minden x B – re a x ,
Legyen B A (A részbenrendezett), ekkor a A a B alsó korlátja, ha minden x B – re a x , felső korlátja, ha minden x B – re x a . Észrevételek: lehet 0, vagy több korlát a korlát nem biztos, hogy B eleme ha egy korlát B –ben van, akkor 1! (legkisebb, vagy legnagyobb elem) 17
18
pontos felső/alsó korlát, felső/alsó határ
B infinuma (inf B), ha létezik, B legnagyobb alsó korlátja, pontos felső/alsó korlát, felső/alsó határ B supremuma (sup B), ha létezik, B legkisebbb felső korlátja. Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme. Észrevétel: jólrendezett rendezett 18
19
1.4 Függvények 19 Def. Az f reláció függvény, ha (x, y) f (x, y’) f y = y’ Kapcsolódó jelölések, fogalmak: Az összes olyan függvény halmaza, amelynek értelmezési tartománya X – nek, értékkészlete pedig Y – nak része. rng(f) Y dmn(f) = X dmn(f) X parciális függvény
20
f = g ( dmn(f) = dmn(g) ) ( x dmn(f) f(x) = g(x)).
Mikor egyenlő két függvény? f = g ( dmn(f) = dmn(g) ) ( x dmn(f) f(x) = g(x)). Def. Az f : A B függvény szürjektív, ha B = rng(f) , injektív, ha a, b dmn(f) : (a b) f(a) f(b), bijektív, ha injektív és szürjektív is. ráképezés kölcsönösen egyértelmű 20
21
1.4.11. Észrevétel: injektív függvény inverze is függvény.
21 Észrevétel: injektív függvény inverze is függvény. Ha adott egy X halmazon értelmezett ekvivalenciareláció, akkor az X elemeihez saját ekvivalenciaosztályukat rendelő leképezést (függvényt) kanonikus leképezésnek (függvénynek) nevezzük. Fordítva: ha f : X Y függvény, akkor ~ X X ekvivalenciareláció, ahol (x, y) ~ , ha f(x) = f(y)
22
x, y dmn(f) : x 1 y f(x) 2 f(y) ,
22 Legyen (A, 1 ) , (B, 2 ) részbenrendezett struktúra. Ekkor az f : A B függvény monoton növő, ha x, y dmn(f) : x 1 y f(x) 2 f(y) , szigorúan monoton növő, ha x, y dmn(f) : x <1 y f(x) <2 f(y) . Csökkenő hasonlóan! Észrevételek: ha A és B rendezettek, akkor f szigorúan monoton f injektív f injektív monoton szigorúan monoton és f inverze is monoton .
23
I indexhalmaz, rng(x) indexelt halmaz, x indexelt család.
Családok Legyen x függvény, dmn(x) = I és x(i) = y helyett írjunk x(i) = xi –t. Ekkor I indexhalmaz, rng(x) indexelt halmaz, x indexelt család. Ha rng(x) elemei halmazok, akkor halmazcsaládról beszélünk és egy Xi , i I halmazcsalád unióját így definiáljuk: I esetén halmazcsalád metszetét így definiáljuk: 23
24
24
25
alakú függvényeket, ahol iI -re xi Xi .
Descartes – szorzat 25 Def. Az Xi , i I halmazcsaládhoz tartozó kiválasztási függvénynek nevezzük azokat az alakú függvényeket, ahol iI -re xi Xi . Def. Az Xi , i I halmazcsalád Descartes – szorzata a hozzá tartozó összes kiválasztási függvény halmaza. Jel: vagy Észrevételek: ha i I : Xi = I = Def.
26
Példa (relációs adatbázis)
26 I = {személyi_szám, név, lakcím, végzettség} attribútumok (mezőnevek) Xszemélyi_szám ={11 jegyű decimális számok} olyan függvény, ahol iI -re xi Xi . Xi indexelt családhoz tartozó rekord xi a rekord i nevű mezője. Adattábla : Xi indexelt családhoz tartozó rekordok egy halmaza. Általánosítva: rekord: egy Xi indexelt családhoz tartozó kiválasztási függvény. Xi indexelt családhoz tartozó reláció: kiválasztási függvények egy halmaza.
27
f : An A az A-n értelmezet n-váltotós (n-ér) művelet.
27 f : An A az A-n értelmezet n-váltotós (n-ér) művelet. Jel: f (a1, a2, ..., an) Műveleti tábla operandusok jobboldali eredmény baloldali a1 ... ai an a1 a1 a1 ai a1 an aj aj a1 aj ai aj an an a1 an ai an an binér művelet
28
Függvénytér (műveletek függvényekkel)
28 Függvénytér (műveletek függvényekkel) Ha X, Y tetszőleges halmaz és binér művelet Y-on, akkor legyen tehát binér művelet az X-et az Y-ra képező függvények halmazán, azaz : (X Y) (X Y) (X Y) Mindkét fogalom értelmezhető nullér és unér műveletre is! Művelettató leképezés (homomorfizmus) Legyen · az A, a B halmazon értelmezett binér művelet. A : A B függvényt homomorfizmusnak nevezzük, ha művelettartó, vagyis minden a1, a2 A esetén (a1a2) = (a1) (a2). injektív és művelettartó
Hasonló előadás
© 2024 SlidePlayer.hu Inc.
All rights reserved.