Differenciál számítás

Az előadások a következő témára: "Differenciál számítás"— Előadás másolata:

1 Differenciál számítás
Definíció. Legyen , és . Az hányadost, ahol és , az f függvény pontjához tartozó differencia (különbségi) hányadosának nevezzük. Ha az pontban létezik a differenciahányados határértéke, akkor ezt az f függvény ponthoz tartozó differenciálhányadosának nevezzük. Ha a fenti határérték létezik és véges akkor az f függvényt az pontban differenciálhatónak nevezzük.

2 Differenciál számítás
Jelölés: Az f függvény pontbeli differenciálhányadosának jelölése: Definíció. Az f valós-valós függvény differenciálhányados függvénye, vagy derivált függvénye ( röviden deriváltja ) az az -vel jelölt függvény, amelynek értelmezési tartománya D( f )-nek mindazon elemeiből áll, amely helyeken f differenciálható, és értéke egy ilyen x helyen f -nek az x helyhez tartozó differenciálhányadosa. Az et így nevezhetjük az f függvény x helyen vett deriváltjának. Megjegyzés: A differenciálhányados definíciója átfogalmazható.   Legyen és Ekkor , vagy általánosan

3 Differenciál számítás
Tétel. Legyen . Ha f differenciálható helyen, akkor f folytonos -ban. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés: A tétel megfordítása nem igaz. (Úgy is fogalmazhatunk, hogy a differenciálhatóság kikötése erősebb, mint a folytonosság.) Ennek belátásához tekintsük az függvényt. Ez, mint tudjuk, az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Állítás. az pontban nem differenciálható.

4 Differenciál számítás
Definíció: Ha az f függvény differenciálható az pontban, akkor az kifejezést az f függvény pontbeli differenciáljának nevezzük. Jelölés: Tétel: 1./ , , deriváltja 2./ , deriváltja 3./ , , deriváltja 4./ , R \ { 0 } , deriváltja Bizonyítás: előadáson.

5 Deriválási szabályok Tétel. Legyen , , , és
Ha f differenciálható az pontban, és g differenciálható az pontban, akkor is differenciálható az pontban, és 1./ 2./ 3./ 4./ , ha a fenti feltételek mellett még teljesül, hogy 5./ , az előbbi feltétel mellett. Bizonyítás: előadáson.

6 Összetett függvény deriválása
Tétel. Legyen g differenciálható az pontban, és f differenciálható a pontban, akkor is differenciálható az pontban, és Bizonyítás: előadáson. Példa: Határozzuk meg a következő függvények deriváltját! 1./ 2./ 3./ 4./ 5./

7 Elemi függvények deriválása
Definíció. Legyen Ha az f függvény előállítható az x, exp és sin függvényekből a következő műveletek véges sokszor történő alkalmazásával, akkor f-et elemi függvénynek nevezzük. 1./ Állandóval való szorzás 2./ Összeadás, szorzás 3./ Reciprokképzés 4./ Nyílt halmazra való leszűkítés 5./ Olyan, intervallumra vonatkozó leszűkítés invertálása, ahol a derivált függvény nem veszi fel a 0 értéket. 6./ Kompozíció.

8 Elemi függvények deriválása
Trigonometrikus függvények deriválása Tétel. Bizonyítás: előadáson. Példa: Határozzuk meg a következő függvények deriváltját! 1./ 2./

9 Elemi függvények deriválása
Exponenciális függvények deriválása Tétel. Speciális eset: Bizonyítás: előadáson Implicit alakban adott függvények deriválása: (példákon keresztül) Példa: Határozzuk meg az alábbi implicit alakban adott függvények x változó szerinti első deriváltját! 1./ 2./

10 Elemi függvények inverzeinek deriválása
Arkuszfüggvények deriválása: Tétel. Bizonyítás: előadáson Logaritmikus deriválás : típusú függvények deriválása és a deriválás elvégezhető, vagy és implicit alakban adott függvényként deriváljuk.

11 Logaritmikus deriválás
Példa: Határozzuk meg az alábbi függvények x változó szerinti első deriváltját! 1./ 2./ 3./ Tétel: Ha tetszőleges valós szám és , akkor Bizonyítás: előadáson.