Folyadékok és gázok mechanikája

Az előadások a következő témára: "Folyadékok és gázok mechanikája"— Előadás másolata:

1 Folyadékok és gázok mechanikája
Balázs Zoltán MTI.

2 Folyadékok és gázok mechanikája
A folyadék olyan deformálható test, amelynek a térfogata, az alakja, vagy mindkettő könnyen megváltoztatható. Dinamikai szempontból a folyadék belsejében, mozgás során tapasztalt hatások szempontjából két csoportot különböztetünk meg: az ideális és a súrlódó folyadékot. Ideális folyadék az olyan deformálható test, amelynél még mozgás közben sem lépnek fel érintőleges feszültségek (G=0). Súrlódó (viszkózus) folyadék, amelynél mozgás közben a deformációs sebességekkel arányos, érintőleges feszültségek lépnek fel.

3 Folyadékok és gázok mechanikája
A folyadék mechanikában a tömeg fogalom szerepét a sűrűség veszi át, míg az erő fogalom szerepét pedig a nyomás. (Mechanikai) sűrűség (jele: ) a test tömegének (m) és a test térfogatának (V) hányadosával definiált fizikai mennyiség. (Egysége: kg/m3): =m/V, vagy =dm/dV

4 Folyadékok és gázok mechanikája
Nyomás (jele: p, pressure) az erő (F) és a felület (A) hányadosával definiált fizikai mennyiség, a folyadék normális feszült-ségeivel ellentétes hatás (a tekintetbe vett térfogat elem belső normálisa irányába számítjuk pozitívnak) (Egysége a feszültség egységével egyezik meg, tehát: N/m2): p=F/A, vagy p=dF/dA

5 Folyadékok és gázok mechanikája
Az ideális folyadékok osztályozása során, aszerint, hogy a folyadék megtartja-e térfogatát, két csoportot különböztetünk meg. Folyékony halmazállapotú testek (mint a víz, olaj, stb.), amelyek erőtérben nem töltik ki a rendelkezésükre álló teret, ("összegyűlnek az edény alján") Légnemű halmazállapotú testek (pl. a levegő), amelyek kitöltik a rendelkezésére álló teret, erőtérben pedig "felfelé" csökkenő sűrűséget mutatnak.

6 Folyadékok és gázok mechanikája
Az ideális folyadékok osztályozása során, aszerint, hogy a folyadék sűrűsége függ-e a rá nehezedő nyomástól, szintén két csoportot különböztetünk meg: Összenyomhatatlan (inkompresszibilis) folyadék az olyan folyadék, amelynek a sűrűsége nem függ sem a helytől, sem az időtől (=konst.). Összenyomható (kompresszibilis) folyadék az olyan folyadék, amelynek a sűrűsége valamilyen függvénye a nyomásnak. p/ κ =állandó κ>1

7 Folyadékok és gázok mechanikája
(Nyugvó folyadék anyagegyenlete) A nyugvó folyadékot csak egy anyagegyenlet és ezzel egy anyagállandó a K kompresszió modulus jellemzi. Az anyagegyenlet megadja a nyomásnövekedés (p) okozta relatív térfogatcsökkenést (V/V). V/V=-(1/ κ) p

8 Folyadékok és gázok mechanikája
Pascal-tétele: Tömegerők hiányában, nyugvó, összenyomhatatlan folyadékban a nyomás bármely pontban független az iránytól (a nyomás izotróp). Folyadékok egyensúlyának tétele: Ha a térfogati (v. tömeg) erők konzervatívok és a sűrűség csak a nyomás függvénye, a folyadékok egyensúlyban vannak, szabad felszínük minden része merőleges az ott uralkodó erőtér irányára.

9 Folyadékok és gázok mechanikája
Pascal-tétele:

10 Folyadékok és gázok mechanikája
Pascal-tétele:

11 Folyadékok és gázok mechanikája
Hidrosztatikai nyomás, Torricelli tétele: A nehézségi erő (térerőssége = g) hatása alatt álló, összenyomhatatlan (=konst.) folyadékban, a felszíntől mérve a nyomás (p) a mélységgel (h) lineárisan növekszik: p(h)=po+ gh

12 Folyadékok és gázok mechanikája
Hidrosztatikai nyomás, Torricelli tétele: p(h)=po+ gh

13 Folyadékok és gázok mechanikája
Archimédesz törvénye: Minden folyadékban, gázban levő szilárd testre, ha a folyadék, gáz a nehézségi erő hatása alatt áll, felhajtó erő hat (Ff), - melynek iránya felfelé mutat, - nagysága megegyezik a test által kiszorított folyadék mennyiség súlyával (a folyadék sűrűsége, f, a test bemerülő részének térfogata Vt), -támadáspontja pedig a kiszorított folyadék mennyiség súlypontja: Ff= f Vt g

14 Folyadékok és gázok mechanikája
Archimédesz törvénye: Ff= PA-(P+dP)A=f Vt g

15 Folyadékok és gázok mechanikája
Barometrikus magasságformula: A nehézségi erőtérben (Föld felszíne közelében) levő gázban (izotermikus eset-ben) a nyomáseloszlást következő összefüg-gések írják le: p(h)=poe-(o gh/po) Ebben a po és a o a tengerszinten mért nyomás és sűrűség (levegő esetében 1, Pa és 1,3 kg/m3).

16 Folyadékok és gázok mechanikája
Barometrikus magasságformula:

17 Folyadékok és gázok mechanikája
Felületi energia. felületi feszültség. A folyadék belsejében a molekulákra a szomszédos molekulák által gyakorolt vonzóerők eredője nulla. A molekuláris erők hatótávolsága 10-9 m. Ekkora sugara van a molekula un. hatásgömbjének. Azokra a molekulákra, melyeknek távolsága a folyadék felszínétől kisebb a hatásgömb sugaránál, a kohéziós erők olyan eredőt adnak, amely a folyadék belseje felé irányul.

18 Folyadékok és gázok mechanikája
Ha a folyadék belsejéből egy molekulát a határrétegen át a felszínre akarunk vinni, le kell győzni az említett erőt, munkát kell végeznünk. A felületi molekuláknak tehát potenciális energiatöbbletük van, a belsőkhöz viszonyítva. A felületre vitt molekulákon végzett munka arányos a felület növekedésével: dW = αdA . Az α arányossági tényezőt fajlagos felületi energiának nevezzük, értéke anyagonként változó. Mértékegysége: [α] = J / m2 = N/m. α = dW /dA

19 Folyadékok és gázok mechanikája
Ha más erők nem akadályozzák meg, a felszíni molekula a lehetőséghez képest igyekszik a folyadék belsejébe jutni, ezzel csökken a folyadék felszíne, a felszín összehúzódik, tehát úgy viselkedik, mint egy rugalmas hártya. A magára hagyott folyadék gömbalakot ölt, mert az adott térfogat mellett a gömbfelület a legkisebb. A folyadék felszínét határoló görbe bármely dS darabjára a felszín érintősíkjában a vonaldarabra merőleges dF = αds nagyságú erő hat. Az arányossági tényezőt felületi feszültségnek nevezzük: α = dF /ds

20 Folyadékok és gázok mechanikája
Felületi energia. felületi feszültség.

21 Folyadékok és gázok mechanikája
Az α állandó mindkét esetben azonos, vagyis kétféleképpen értelmezhető. Az α értéke hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet emelkedésével csökken, és nagy mértékben függ a folyadék szennyezettségétől is. A víz felületi feszültsége 0 oC-on 7, N/m.

22 Folyadékok és gázok mechanikája
A hidro- és aerodinamika elemei: Az áramló folyadékok és gázok törvényei együtt tárgyalhatók mindaddig, míg a fellépő térfogatváltozások elhanyagolhatók. Ha a gázoknál 1 %-os a térfogatváltozás, vagy ennél kisebb, akkor az áramló folyadék törvényszerűségei, pl. 105 Pa nyomású levegőre addig alkalmazhatók, míg a sebesség 50 m/s-ot, az előforduló magasságkülönbségek, pedig 100 m-t túl nem lépnek.

23 Folyadékok és gázok mechanikája
Egy folyadék mozgását (áramlását) úgy írhatjuk le, ha minden t időpontra vonatkozóan a folyadék minden r helyvektorú pontjában megadjuk a folyadékrészecskék v=v(r,t) sebességét. A v(r,t) függvénnyel jellemzett áramlási tér (sebességtér) matematikai szempontból vektortér. Szemléltetése az áramvonalakkal történik, ezek azok a görbék, amelyeknek érintője a tér minden pontjában az ottani sebesség irányába esik.

24 Folyadékok és gázok mechanikája
Forrásoknak nevezzük a tér azon részét, ahonnan folyadék jut az áramlási térbe, vagy onnan folyadék távozik el (negatív forrás). Ha a vizsgált áramlási térben van forrás, akkor az áramlási tér forrásos, ellenkező esetben forrásmentes. Ha az áramlási térben nincsenek források (forrásmentes), akkor egy zárt felületen áthaladó fluxus nulla:

25 Folyadékok és gázok mechanikája
Ha az áramlásnál a folyadékrészecskék csak haladó mozgást végeznek, akkor súrlódásmentes áramlásnál örvénymentes áramlásról beszélünk. Ha a folyadék-részecskék „forgó” mozgást is végeznek áramlás közben, akkor örvények alakulnak ki, az áramlási vonalak zárt görbékké válhatnak, az áramlás örvényes. Az örvényesség mértéke az áramlási tér cirkulációja. Ha az áramlás örvénymentes:

26 Folyadékok és gázok mechanikája
Nem nagy sebességek esetén a gázok is össze-nyomhatatlan folyadéknak tekinthetők. Az összenyom-hatatlan és homogén folyadéknál (vagyis az áramlási térben egyidejűleg csak egyfajta folyadék van) a sűrűség sem az időtől, sem a helytől nem függ, vagyis p = állandó. Ha a nyomás, a sűrűség és a sebesség az áramlási tér minden helyén független az időtől, csak a hely függvényében változik, akkor stacionárius áramlásról beszélünk, ellenkező esetben az áramlás instacionárius. Fontos fogalom az áramlási cső, amely az áramlási térben egy zárt görbén áthaladó áramvonalak által határolt tartomány.

27 Folyadékok és gázok mechanikája
Az áramlási cső falán részecske nem lép át, mert a folyadékrészecskék sebessége érintő irányú. Az áramlások jellemzésére szolgáló mennyiség az áramlás erőssége: az áramlási cső kereszt-metszetén (A) dt idő alatt merőlegesen átfolyó folyadék mennyiségével (térfogatával) arányos mennyiség. Jele: I. I=dV/dt

28 Folyadékok és gázok mechanikája
Stacionárius áramlásnál I = állandó, tehát I=A1 v1 = A2v2, ahol: A1 és A2 a v1 és v2 sebességhez tartozó keresztmetszetek. Ebből következik, hogy a cső szűkületénél a sebesség nagyobb, és az áramvonalak sűrűbbek. Ez az egyenlet az áramlás folytonosságát fejezi ki, folyto-nossági (kontinuitási) egyenletnek nevezzük.

29 Folyadékok és gázok mechanikája
Stacionárius áramlásnál I = állandó, tehát A1 v1 = A2v2,

30 Folyadékok és gázok mechanikája
Az áramlást létrehozó erők lehetnek külső erők - elsősorban a nehézségi erő, - vagy a hellyel változó belső nyomóerők. Például a folyadéknak az edény nyílásán való kiömlése főleg a nehézségi erőre, a gáznak az edényből való kiáramlása viszont az edényben levő gáz túlnyomására vezethető vissza. Ezeken az erőkön kívül sokszor lényeges szerepet játszanak a belső súrlódási erők. Sok esetben a súrlódási erők elhanyagolhatók, ezért a hidrodinamikát két nagy részre oszthatjuk: Súrlódásmentes vagy ideális folyadékok dinamikájára és súrlódó folyadékok dinamikájára.

31 Folyadékok és gázok mechanikája
A folyadékokat sok esetben (ha nem túlságosan alacsony a hőmérséklet és nem túl nagy az áramlási sebesség) ideálisnak tekinthetjük. Ideális folyadékok stacionárius áramlására vonatkozik a Bernoulli-egyenlet. Az alábbiak szerint vegyünk fel egy áramcsövet.

32 Folyadékok és gázok mechanikája
A Bernoulli-egyenlet az energiamegmaradás tételét mondja ki a folyadékokra: Δmv2/2+ Δmgh+pΔV=állandó Az áramlás folyamán a folyadék mozgási, helyzeti és nyomási energiájának összege állandó, ha nincs súrlódás. A Bernoulli-egyenlet egységnyi térfogatú folyadékra: ρv2/2+ ρgh+p=állandó Vízszintes áramlásnál szűkületben a sebesség nagyobb, a nyomás viszont kisebb.

33 Folyadékok és gázok mechanikája
A Bernoulli-egyenlet alkalmazása:

34 Folyadékok és gázok mechanikája
A Bernoulli-egyenlet alkalmazása:

35 Folyadékok és gázok mechanikája
A Bernoulli-egyenlet alkalmazása:

36 Folyadékok és gázok mechanikája
A Bernoulli-egyenlet alkalmazása:

37 Folyadékok és gázok mechanikája
Valódi folyadékok áramlása: A valódi folyadékok abban különböznek az ideális folyadéktól, hogy áramlásuk közben nemcsak külső erők (nehézségi erő, nyomó erők) hatnak, hanem a molekulák által egymásra gyakorolt belső erők is, amelyek a súrlódáshoz hasonlóan a mozgást gátolják. A szilárd testtel érintkező áramló folyadék egy vékony rétege a szilárd testhez tapad, ezért csak folyadék és folyadék között jön létre súrlódás. Ez a belső súrlódás.

38 Folyadékok és gázok mechanikája
Réteges (lamináris) áramlás az olyan, amikor az áramló folyadék egymással párhuzamos vékony rétegekre osztható, amelyek egymás mellet különböző sebesség-gel mozognak. Newton a folyadékok belsejében mozgás közben ható erőhatást, a belső súrlódást erőtörvény formában írta le (ez a Newton-féle súrlódási törvény), és ebben a formában értelmezte a súrlódási állandót. A belső súrlódást csak réteges áramlásnál értel-mezzük.

39 Folyadékok és gázok mechanikája
Ha a folyadék egy csőben áramlik, akkor az ábra szerint a folyadékot felbontva dz vastagságú csövekre, azt tapasz-taljuk, hogy a cső keresztmetszete mentén az egyes "csőrétegek" sebessége más és más, vagyis az áramlási sebesség nagysága változó a z irányban. A dz távolságon belül a sebesség nagyságának változása dv. A dv/dz mennyiséget a sebesség gradiensének nevezzük.

40 Folyadékok és gázok mechanikája
Belső súrlódásról áramló folyadékoknál akkor beszélünk, amikor az A felülettel szemben, egymástól z távolságban levő, u sebességgel egymáson elcsúszó rétegek között ható F erő a következő összefüggés szerint számolható. (ez a felfogás egyébként Newton-féle súrlódási törvényként ismert): F=ηA(dv/dz) A belső súrlódást (dinamikai viszkozitás) (jele: ) csak réteges áramlásnál értelmezzük. Az  anyagállandó, amelynek a mértékegysége (Ns/m2), azaz Pa s (pascal secundum).

41 Folyadékok és gázok mechanikája
Réteges áramlás csőben: (Hagen-Poiseuille-féle törvény, 1839) (Ohm-törvény alakban megfogalmazva) összenyomhatatlan, súrlódó folyadék, stacionárius áramlásakor, kör keresztmetszetű csőben (sugara: R, hossza: l) az áramerősség (I=V/t) a nyomástól (p) a következő összefüggés szerint függ:

42 Folyadékok és gázok mechanikája
A Hagen-Poisseuille törvény" .megadja, hogy a csövön átfolyó folyadék mennyisége milyen mértékben függ a cső sugarától. A cső tengelyétől r távolságban levő dr falvastagságú, v sebességű folyadékhenger t idő alatt dV=vt2rπdr térfogatú folyadékot visz át valamely keresztmetszeten. A hengeres csőben lamináris áramlás esetén t idő alatt áthaladó folyadék térfogata:

43 Folyadékok és gázok mechanikája
Gomolygó (turbulens) áramlás az olyan, amikor: az áramlás nem stacionárius, a sebesség és a nyomás egy meghatározott helyen nem állandó, hanem gyorsan ingadozik egy átlagérték körül, a folyadék részecskék pályái nemcsak, hogy nem egyenesek, nem is egyszerű görbék, hanem igen bonyolult módon egymásba fonódnak, a folyadék erősen összekeveredett, a cső végén az időegység alatt kiáramló folyadék térfogat sokkal kisebb, mint ami a p1-p2 nyomáskülönbség mellett a Hagen-Poiseuille törvény szerint adódna, - a turbulens áramlásnál a cső "ellenállása" nagyobb, a folyadék viszkozitása látszólag megnövekedett.

44 Folyadékok és gázok mechanikája
Az áramló ideális folyadékba helyezett r sugarú gömbre nem hat erő. Valódi folyadék lamináris áramlása esetén viszont F = -6πηrv erő hat. A gömb mozgását akadályozó erő a test sebességével lineárisan arányos. Ez a Stokes törvény.

45 Folyadékok és gázok mechanikája
Lamináris áramlás csak abban az esetben állhat fenn, ha a folyadék sebessége kicsiny. Nagyobb sebességek mellett az áramlás képe megváltozik. Az egyes folyadékrétegek keverednek, örvények keletkeznek. Ilyen esetben turbulens áramlásról beszélünk.

46 Folyadékok és gázok mechanikája
A gömb környezetében lejátszódó sebesség-változás nem szimmetrikus. A gömb mellett mozgó, közben felgyorsult folyadékrészecskék nagyobb sebességük miatt nagyobb energia veszteséget szenvednek, mint a távolabb haladók, így a gömb mögötti nyomás kisebb az eredeti nyomásnál. A környezet visszafelé nyomja a folyadék-részecskéket, forgómozgás, örvény keletkezik. Az örvények a gömb mögött párosával képződnek, ellenkező forgásiránnyal, majd leválnak a testről, un. örvényút képződik.

47 Folyadékok és gázok mechanikája
A folyadékban mozgó test esetén ugyanilyen hatás keletkezik nagyobb sebességek esetén. Az örvények következtében keletkező, a mozgást akadályozó erő a közegellenállás. Közepes sebességek esetén kis viszkozitású közegekben a közegellenállás nagysága: ahol v a test és a közeg relatív sebessége, p a közeg sűrűsége, A a test maximális keresztmetszete a mozgásra merőleges irányba, c az alaki tényező.

48 Folyadékok és gázok mechanikája
A lamináris áramlás egy kritikus sebességértéknél turbulenssé válik. Reynolds szerint definiált számérték (dimenzió nélkül): Ahol l a cső hossza, μ=η/ρ a kinetikus viszkozitás, v a test sebessége. A Reynolds szám nagyságával eldönthető, hogy milyen típusú az áramlás. Ha Re <1160 az áramlás lamináris <Re< 2320 lehet lamináris, de lehet már turbulens is <Re esetén az áramlás biztosan turbulens.

49 Folyadékok és gázok mechanikája
Egy locsolócső belső átmérője d1=20 mm, a végére helyezett locsoló fej kimeneti átmérője d2=4 mm. A cső egy keresztmetszetén másodpercenként I=0,25 l s víz áramlik át. Milyen távolságra tud a kertész ellocsolni a fejjel, ha azt a Föld felszínén, α=45o-os szögben tartja? Megoldás: A vezetékből másodpercenként kiömlő víz térfogata:I=0,25dm3/s=2, m3/s A kontinuitási egyenlet alapján: I=A1v1=A2v2 A locsolófej kiömlési keresztmetszete: A2=d22π/4=1, m2 A kiömlő víz sebessége: v2=I/A2=20 m/s A víz sebességének x irányú összetevője: vx=v2cos45o=14,14 m/s A víz sebességének y irányú összetevője: vy=v2sin45o=14,14 m/s A víz cseppek emelkedési ideje v(te)=0=-gte+vy Összefüggésből: te=1,414 s A víz földet érési ideje: tf=2te=2,828 s A tf idő alatt vízszintesen megtett út: x=vxtf=40 m

50 Folyadékok és gázok mechanikája
Egy locsolócső belső átmérője d1=20 mm, a végére helyezett locsoló fej kimeneti átmérője d2=4 mm. A d1 átmérőjű csőben a nyomás p1=3 105 Pa, a locsolófejben p2=2 105 Pa. Hány liter víz áramlik át percenként a szűkületen?   Megoldás: A kontinuitási egyenlet alapján: I=A1v1=A2v2 v1= A2v2/A1 A locsolófej kiömlési keresztmetszete: A2=d22π/4=1, m2 A locsolócső keresztmetszete: A1=d12π/4=3, m2 A Bernoulli törvény vízszintes vezeték esetén: Innen: A v1 értékét behelyettesítve Az egyenletből v2-öt kifejezzük: A kiömlő víz másodpercenkénti mennyisége: I=A2v2=1, m3/s A kiömlő víz percenkénti mennyisége: Imin=I 60=1, m3/min=10,8l/min

51 Folyadékok és gázok mechanikája
Víz áramlik egy l=200 m hosszú csövön I= m3/s térfogat árammal. A víz viszkozitása η=1, Ns/m2. Szeretnénk elérni, hogy az áramlás lamináris legyen. a) Milyen átmérőjű csövet kell választanunk? b) Mekkora nyomáskülönbség kell a létrehozásához?  Megoldás: a) A lamináris áramlásnál Reynold szám maximuma Rmax=1160. A kritikus sebesség: A kontinuitási egyenletből: I=Av=r2πv v=I/r2π Az áramlási sebességet behelyettesítve: A cső sugarát kifejezve: A cső minimális átmérője: d=2r=0,164 m b) A Hagen Poiseuille-féle törvény adja meg az folyadékáram és a nyomáskülönbség között: A nyomáskülönbséget kifejezve és helyettesítve:

52 Folyadékok és gázok mechanikája
A tengerszinten a légnyomás po=1, Pa a levegő sűrűsége ugyanott ρo=1,28 kg/m3. a) Mekkora a légnyomás a h1=110 m magasan lévő Budapesten? b) Mekkora a világ legmagasabban fekvő városában a h2=4800 m magasságban épült bolíviai Potosiban.   Megoldás: A barometrikus magasságformula határozza meg a magasság és a légnyomás kapcsolatát: a) A légnyomás Budapesten: b) A légnyomás Potosiban:

53 Folyadékok és gázok mechanikája

54

55