KONTINUUMOK MECHANIKÁJA II.

Az előadások a következő témára: "KONTINUUMOK MECHANIKÁJA II."— Előadás másolata:

1 KONTINUUMOK MECHANIKÁJA II.

2 Folyadékok mechanikája
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája A kontinuumok általános jellemzésekor említettük, hogy a folyadékok alakja könnyen, térfogatuk pedig nehezen változtatható meg. A szomszédos folyadékrétegek könnyen elcsúsztathatók egymáshoz képest, ilyenkor érintőleges vagy nyíróerők gátolják a mozgást, másképpen fogalmazva a folyadékoknak belső súrlódásuk van. Az ideális folyadék összenyomhatatlan, és nincs belső súrlódása.

3 Hidrosztatika Folyadékok mechanikája KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
A nyugvó folyadékok elméletét hidrosztatikának nevezzük. A nyugvó folyadékok szabad felszíne a felszínre ható erők eredőjére merőleges. Ez a folyadékrészecskék közötti nyíróerők hiányának következménye. Ugyanis, ha a folyadék felszínén lévő részecskére ható erőnek lenne a felszín érintőjébe eső összetevője, akkor annak hatására a folyadékrészecske a felszín mentén elmozdulna, nem lehetne nyugalomban. Ha a folyadékra mint külső erő csupán a nehézségi erő hat, a folyadék szabad felszíne mindenütt merőleges lesz a nehézségi erőre.

4 Folyadékok mechanikája Hidrosztatika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrosztatika A hidrosztatika alaptörvénye (Pascal törvénye) szerint a folyadékok belsejében bármely dA felületelemet véve, a rá ható erő merőleges a felületelemre, nagysága pedig arányos a helyi nyomással (feszültséggel): Blaise Pascal

5 Folyadékok mechanikája Hidrosztatika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrosztatika A Föld felszínén nyugvó folyadékokban a nyomás a folyadékok súlya miatt a magassággal arányosan változik. A h magasságú r sűrűségű folyadékoszlop alaplapjának DA felületére gyakorolt hidrosztatikai nyomását az alábbiak szerint számíthatjuk ki: Amennyiben a folyadékra a külső légnyomás (p0) is hat, úgy a folyadékfelszíntől számított h mélységben a hidrosztatikai nyomás: a h mélységben a felület irányítottságától függetlenül ekkora a nyomás

6 Folyadékok mechanikája Hidrosztatika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Pascal törvénye Hidrosztatika Hidraulikus sajtó

7 Folyadékok mechanikája Hidrosztatika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Pascal törvénye Hidrosztatika

8 Folyadékok mechanikája Hidrosztatika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrosztatika Merítsünk egy r sűrűségű folyadékba egy hasáb alakú testet úgy, hogy alaplapja párhuzamos legyen a folyadék felszínével. Ekkor, mivel az egymással szemben lévő oldallapokra ható hidrosztatikai nyomások kompenzálják egymást, az alap és fedőlapokra ható hidrosztatikai nyomások különbsége miatt a testre függőleges irányú felhajtóerő hat, amelynek nagysága: Archimedes törvénye szerint a folyadékba mártott test látszólagos súlyveszteséget szenved, amelynek nagysága egyenlő a test bemerülő része által kiszorított folyadék súlyával ( ). Belátható, hogy Archimedes törvénye bármilyen alakú testre igaz. A felhajtóerő támadáspontja megegyezik a test által kiszorított folyadék súlypontjával.

9 Folyadékok mechanikája Hidrosztatika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrosztatika Archimedes törvénye

10 Arkhimédész (görög: Αρχιμήδης )
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrosztatika Arkhimédész (görög: Αρχιμήδης ) (kb. i. e. 287., - i. e. 212.,)

11 Folyadékok mechanikája Hidrosztatika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrosztatika Archimedes törvénye

12 Határfelületi jelenségek
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Felületi feszültség A kísérleti tapasztalatok szerint a folyadékok szabad felszíne másképpen viselkedik, mint azt az előzőekben megismert hidrosztatikai törvények alapján várnánk. Pl. a lapjával a víz felszínére helyezett borotvapenge (vékony acéllemez) nem merül el a folyadékban, annak ellenére, hogy sűrűsége ~7,8 -szorosa a víz sűrűségének. A víz felszíne a borotvapenge súlya alatt ˝behorpad˝, a felszín úgy viselkedik, mintha az egy rugalmas hártya lenne. Megfigyelhető továbbá, hogy a folyadékok felszíne az edény falánál vízszintes sík helyett görbült felülettel jellemezhető.

13 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Felületi feszültség
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Felületi feszültség A drótkeret függőleges helyzetében az l hosszúságú drótdarab nyugalmi állapotának az a feltétele, hogy a drótdarab és a rá függesztett kis test együttes súlya megegyezzen az Fh erő nagyságával. A mérések szerint az Fh erő független a hártya A felületétől, és arányos az l hosszúsággal: A 2-es szorzó a hártya két (elülső és hátulsó) felületének hatásából adódik. Az  arányossági tényezőt felületi feszültségnek nevezzük. Az  egysége [N/m]. Az előzőek általánosításaként elmondhatjuk, hogy a folyadék felszínét határoló görbe bármely s hosszúságú vonaldarabjára a felszín érintősíkjában a vonaldarabra merőlegesen nagyságú erő hat.

14 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Felületi feszültség
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Felületi feszültség Ugyanekkora erő hat a folyadékfelszín belsejében kijelölt görbe bármely Ds vonalelemének mindkét oldalára. A folyadékok felületi feszültsége hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet növekedésével a csökken. szobahőmérsékletű vízre: a higanyra pedig:

15 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Felületi energia
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Felületi energia Ha az ábrán látható folyadékhártyával kitöltött keret l hosszúságú mozgatható oldalát Dx úton függőlegesen lefelé elmozdítjuk, akkor a felületi feszültségéből származó erő ellenében munkát végzünk, ahol DA = 2lDx a felület megváltozását (növekedését) jelöli. A folyadék felülete a megnövelése közben végzett munka révén potenciális energiához jut. A potenciális energiának ezt az újabb fajtáját felületi energiának nevezzük. A folyadékok felszíne csak munkavégzéssel növelhető. A felszín növelésére végzett munka a folyadék felületi energiáját növeli: Dx A felületi feszültség a folyadék felszínének egységnyi növeléséhez szükséges munkát is jelenti. Ezért a -t másképpen fajlagos felületi energiának vagy fajlagos felületi munkának is nevezzük.

16 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Kohéziós és adhéziós erők A folyadék molekulái között vonzó kölcsönhatási erők, ún. kohéziós erők is hatnak. A kohéziós erők hatósugara 10-8 m nagyságrendű, ami azt jelenti, hogy egy molekulára csak egy r = 10-8 m sugarú „hatásgömbön” belüli molekulák fejtenek ki erőhatást. Egy molekulának a folyadék belsejéből a felszínre juttatásához (és ezáltal a felszín növeléséhez) a felületi rétegben befelé mutató erők ellenében pozitív munkát kell végezni. Emiatt a felszínen lévő molekulák potenciális energiája (felületi energiája) nagyobb, mint a folyadék belsejében lévőké.

17 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Kohéziós és adhéziós erők A folyadék és az edény fala (egy szilárd test) érintkezésekor is tapasztalunk felületi jelenségeket. A folyadék és a vele érintkező szilárd test részecskéi között fellépő vonzó kölcsönhatási erőket adhéziós erőknek nevezzük. A kohéziós és az adhéziós erők együttes hatásának következménye a folyadék felületének az edény falánál tapasztalható görbültsége. A nyugvó folyadék felülete mindig merőleges a rá ható erők eredőjére. Az ábra azt az esetet mutatja, mikor az adhéziós erő (Fa) nagyobb, mint a kohéziós erő (Fk) falra merőleges komponense, és így a folyadék „nedvesíti” az edény falát. (Ilyen pl. a víz egy tiszta falú üvegedény esetén.)

18 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Kohéziós és adhéziós erők Itt a kohéziós erő falra merőleges komponense nagyobb, mint az adhéziós erő és a folyadék felülete ismét merőleges a két erő eredőjére. Az ilyen folyadék „nem nedvesíti” az edény falát. (Erre az esetre példa a higany és az üvegedény érintkezése.) Megjegyezzük, hogy a folyadékmolekulákra ható nehézségi erő az adhéziós és a kohéziós erők mellett elhanyagolható, ezért az edény falánál kialakuló görbültségre nincs hatása. Az edény és a folyadék érintkezési pontján át a folyadék felszínéhez fektetett érintősík és az edény fala által bezárt szöget illeszkedési szögnek nevezzük illeszkedési szög esetén a folyadék nedvesíti az edény falát. A -vel illeszkedő folyadék nem nedvesíti az edény falát.

19 Görbületi nyomás Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Görbületi nyomás Egy üvegcsövön keresztül felfújt szappanbuborék összehúzódik, ha lehetővé tesszük a cső nyitott végén a levegő kiáramlását. A szappanbuborék belsejében a külső légnyomáshoz képest nyomástöbblet uralkodik. Görbült folyadékfelszín esetén a felületi feszültségből a felszín belseje felé mutató erő származik. A felszín belseje felé mutató erőkből származó nyomás az ún. görbületi vagy kapilláris nyomás.

20 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Görbületi nyomás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Görbületi nyomás A görbületi nyomás meghatározásához tekintsük az ábrán látható R sugarú szappanbuborék gömböt. A sugár DR-rel való megnövelésekor a gömb felületének megváltozása A felület növekedésével a felületi energia megváltozása: Itt kihasználtuk, hogy DR <<R és ezért a (DR)2 -et tartalmazó tagot a felület változásának számításakor elhanyagoltuk.

21 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Görbületi nyomás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Görbületi nyomás A gömb sugarának DR -rel való megváltozása során a belső túlnyomásból (pt) származó erő (F) a DR úton munkát végez: ahol és A felszín növelésére végzett munka egyenlő a felületi energia megváltozásával, azaz , ebből pedig adódik: Mivel a szappanbuborékot két gömbfelület határolja, így az egyik felülethez a fenti egyenlettel adott nyomás felének megfelelő görbületi nyomás (pg) tartozik A görbületi nyomás mindig a görbült felület homorú oldala felé mutató nyomóerőt eredményez.

22 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Görbületi nyomás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Görbületi nyomás

23 Kapilláris emelkedés és süllyedés
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Kapilláris emelkedés és süllyedés Ha vízzel töltött edénybe kis belső átmérőjű üvegcsövet (kapillárist) merítünk, azt tapasztaljuk, hogy a víz a csőben az edényben lévő vízszint fölé emelkedik, és a folyadék felszíne az ún. meniszkusz a csőben felülről nézve homorú lesz. Ezt a jelenséget kapilláris emelkedésnek hívjuk. Nem nedvesítő folyadék (pl. higany) esetén a folyadékszint a csőben alacsonyabb, mint az edényben, és felülről nézve a folyadék felszíne domború lesz. Ez a jelenség a kapilláris süllyedés. A kapilláris emelkedés vagy süllyedés mértékét a görbületi nyomás és a hidrosztatikai nyomás egyensúlya határozza meg.

24 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Kapilláris emelkedés és süllyedés Ha egy r sugarú kapillárisban az ábrának megfelelően a folyadékfelszín a cső falához  szöggel illeszkedik, akkor a hajszálcsőben kialakuló folyadékfelszín jól közelíthető egy R = r/cos  sugarú gömbfelület egy részével. Egy ilyen sugarú gömbfelület görbületi nyomása: Ez a nyomás tart egyensúlyt a felemelt folyadékoszlop hidrosztatikai nyomásával (ph). Ha a kapilláris emelkedés magassága h, akkor a nyomás:

25 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek Kapilláris emelkedés és süllyedés A két nyomást egyenlővé téve a kapilláris emelkedés magasságára azt kapjuk: Mivel a víz az üveget majdnem tökéletesen nedvesíti ( = 0), így ebben az esetben jó közelítéssel: A víz felületi feszültsége a kapilláris emelkedés mértékéből kiszámítható. Megjegyezzük, hogy az egyenlet a kapilláris süllyedésre is érvényes, mivel nem nedvesítő folyadékok esetén , és így a koszinusz függvény negatív előjele miatt h a süllyedésnek megfelelően negatív értékű lesz.

26 Hidrodinamika Folyadékok mechanikája KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
A folyadékok áramlását minden egyes t időpillanatban a tér folyadék betöltötte pontjaihoz rendelt sebességvektorral v = v(r,t) = v(x, y, z, t) jellemezzük. Az így definiált vektorteret áramlási térnek (sebességtérnek) nevezzük. Matematikai szempontból ez a leírásmód megegyezik a grav. tér térerősséggel való jellemzésével. Ált. esetben a folyadékok áramlásánál a sűrűség r = r(r,t) = r(x, y, z, t) és a nyomás p = p(r,t) = p(x, y, z, t) is a hely és az idő függvényei. Az áramlástan feladata a v, r, p függvények meghatározása a folyadékra ható erők és a megfelelő határfeltételek ismeretében. Az áramlást külső erők (nehézségi erő) és belső nyomások, feszültségek egyaránt létrehozhatják.

27 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Stacionárius áramlásnak nevezünk minden olyan áramlást, amelynél a sebesség, a sűrűség és a nyomás az áramlási tér minden pontjában független az időtől. (Ebben az esetben az áramvonalak időben változatlan görbék.) Ellenkező esetben nem-stacionárius áramlásról beszélünk. Stacionárius áramlások esetén a gravitációs térnél megismert erővonalakhoz hasonlóan az áramlási teret áramvonalakkal jellemezhetjük. Ezek olyan vonalak, amelyek érintői a tér minden egyes pontjában megadják a pontbeli sebesség irányát. Az áramlási térben felvett kis zárt görbe pontjain átmenő áramvonalak egy ún. áramcsövet alkotnak. Az áramcső nem más, mint az áramvonalak egy kötege. Az áramcső „falán” keresztül nincs folyadékáramlás.

28 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Az áramlási tér kialakulásában a külső erőkön kívül gyakran döntő szerepet játszik a folyadékok belső súrlódása vagy más néven viszkozitása. Ennek megfelelően a hidrodinamikában külön tárgyaljuk a súrlódásmentes folyadékok és a súrlódó folyadékok áramlását. Mindkét esetben beszélhetünk örvénymentes ill. örvényes áramlásokról aszerint, hogy az áramló folyadék részecskéi csak haladó vagy ezen kívül keringő-forgó mozgást is végeznek.

29 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Kontinuitási egyenlet folyadékok stacionárius áramlására Tekintsük az ábrán látható keskeny áramcsövet, amelyben a v1 ill. v2 sebességek az A1 ill. A2 felületekre merőlegesek és a felület mentén állandó nagyságúak. Egységnyi idő alatt ugyanannyi folyadék áramlik be az A1 felületen, mint amennyi az A2 –n ki azaz:

30 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Kontinuitási egyenlet folyadékok stacionárius áramlására Felhasználva, hogy a folyadék sűrűsége az áramlási cső egyik végén r1 a másikon pedig r2, azt kapjuk, hogy A fenti egyenlet az áramcső bármely két keresztmetszetére felírható, ezért általánosan írhatjuk, hogy ez a folyadékok stacionárius áramlására felírt kontinuitási egyenlet

31 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Kontinuitási egyenlet folyadékok stacionárius áramlására ha a r állandó:

32 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Bernoulli egyenlet
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Bernoulli egyenlet Tekintsük egy ideális folyadék gravitációs erőtérben való stacionárius áramlását. Jelölje a vékony áramcsőbe az A1 keresztmetszetre merőlegesen belépő folyadék sebességét v1, nyomását p1 és legyen a cső ezen végének magassága h1. (Az áramcső másik végén ugyanezek a mennyiségek 2-es indexszel jellemzik az áramcsövet és a kilépő folyadékot.) A tömegmegmaradásnak megfelelően egy Dt időintervallum alatt az áramcsőbe belépő Dm1 folyadéktömeg megegyezik a cső végén kilépő Dm2 tömeggel ( Dm = Dm1 = Dm2 ). Mivel a folyadék összenyomhatatlan, ez a megfelelő térfogatokra is igaz, DV = DV1 = DV2. A p1 nyomás által végzett munka , ahol Ds1 az elmozdulás az áramcső 1-es indexszel jelölt végén. Hasonló összefüggés érvényes az áramcső másik végén is: A mechanikai energia megmaradásának értelmében az áramcső végein végzett munka megegyezik az átáramlott folyadék mechanikai energiájának megváltozásával:

33 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Bernoulli egyenlet
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Bernoulli egyenlet ahol és Ebből, valamint W1 és W2 és a Dm = rDV egyenlet figyelembevételével azt kapjuk: A DV-vel való egyszerűsítés és átrendezés után kapjuk a Bernoulli törvényt:

34 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Bernoulli egyenlet
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Bernoulli egyenlet A fenti egyenlet egy áramlási cső bármely két keresztmetszetére felírható, ezért általánosságban az indexek elhagyásával írhatjuk, hogy ideális folyadék stacionárius áramlásánál egy vékony áramcső bármely pontjára igaz, hogy Ebből látható, hogy azonos feltételek mellett a p nyomás annál kisebb, minél nagyobb az áramlási sebesség és megfordítva. Ennek megfelelően egy változó keresztmetszetű, vízszintes cső legszűkebb helyén (ahol az áramlási sebesség a legnagyobb) legkisebb a nyomás.

35 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai a) Folyadék kiáramlása szűk nyíláson Ha egy edény oldalán (vagy alján) lévő szűk nyílás keresztmetszete jóval kisebb az edény keresztmetszeténél, akkor a folyadékfelszín süllyedési sebessége a nyíláson való kiáramlás v sebességéhez képest elhanyagolható. Kis szintkülönbségek esetén a légnyomás, mint külső nyomás, a nyílásnál és a folyadék felszínén azonosnak vehető, azaz p1 = p2. Ha a folyadékfelszín nyíláshoz vonatkoztatott magassága h, akkor a alapján a folyadék kiömlési sebessége: Toricelli törvény

36 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai b) Hidrosztatikai nyomás Ha a folyadék nyugalomban van (vo = v1 = 0), és külső nyomás a folyadék felszínen p0, a nyugvó felszín alatt –h mélységben pedig p, akkor Bernoulli egyenlete alapján írhatjuk, hogy Az egyenlet átrendezése után a hidrosztatikai nyomás ismert formulájához jutunk:

37 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai c) Pascal törvényének egy másik megfogalmazása Nyugvó folyadékokra ( v1 = v2 = 0 ) külső erőtér (gravitációs tér) hiányában (g = 0) a Bernoulli törvény: vagyis a súlytalannak képzelt nyugvó folyadék belsejében és határfelületén a nyomás mindenütt ugyanakkora, és független a tekintetbe vett felületelem irányítottságától.

38 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai d) Repülő Zsukovszkij profil

39 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai d) Parfümszóró, karburátor Venturi effektus

40 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika A Bernoulli törvény alkalmazásai e) Pörögve haladó labda

41 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Az eddigiek során ideális folyadékokat tanulmányoztunk, eltekintettünk a folyadékok belső súrlódásától. Az egyensúlyban lévő folyadékban nincsenek nyírófeszültségek. Az áramló folyadékokban fellépő nyíróerőket belső súrlódási erőknek nevezzük. A folyadékok mozgása közben fellépő nyíróerők meghatározására képzeljük el az alábbi kísérletet: Tfh. két egymással párhuzamos, egyenként A felületű merev síklemez között valamilyen folyadék helyezkedik el. Ha az egyik lapot rögzítjük és a másikat a lapokkal párhuzamos v0 sebességgel mozgatjuk, akkor a tapasztalatok szerint a folyadékban egymástól különböző párhuzamos sebességgel mozgó folyadékrétegek alakulnak ki. Ha két, egymástól Dz távolságban lévő szomszédos réteg sebességeit v és v + Dv jelöli, akkor a mérések szerint a rétegek közti nyírófeszültség (F/A ) arányos a rétegek sebességesésével (Dv/Dz) azaz:

42 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás h a folyadékok belső súrlódására jellemző együttható. A törvény pontosabb megfogalmazásához jutunk, ha elvégezzük a határátmenetet: Ez a Newton-féle súrlódási (viszkozitási) törvény, ahol az h tényező az ún. viszkozitási együttható vagy (dinamikai) viszkozitás. Mértékegysége a [Ns/m2=Pa s]. A gyakorlatban elterjedtebb egység a poise (P) és A víz viszkozitása 20ºC-on: A folyadékok viszkozitása növekvő hőmérséklettel erősen csökken.

43 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Réteges áramlás, Hagen-Poiseuille törvény Réteges vagy lamináris áramlásról beszélünk, ha az áramló folyadék olyan egymással párhuzamos, vékony rétegekre osztható, amelyek egymás mellett azonos irányú, de különböző nagyságú sebességekkel mozognak. Nem túl nagy sebességeknél a kör keresztmetszetű csövekben az áramlás laminárisnak tekinthető. Tekintsük az ábrán látható l hosszúságú R sugarú áramlási csövet. Egy r sugarú A = 2rpl felületű és v sebességű folyadékhengerre a hengerpalást mentén ható súrlódási erőre a Newton-féle súrlódási törvény alapján a sebességesés negatív előjelét figyelembe véve írhatjuk, hogy

44 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Réteges áramlás, Hagen-Poiseuille törvény A folyadék áramlása a cső két vége közti nyomáskülönbségből származó erő következménye: Stacionárius áramlás esetén (nincs gyorsulás) a két erő egymással egyenlő, az ennek megfelelő egyenletből átrendezés után kapjuk, hogy Ez az áramlási sebességre nézve egy közönséges diff.egyenlet. Az egyenlet megoldása adja a csőben kialakuló v = v(r) sebességprofilt. Integrálás után az általános megoldás:

45 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Réteges áramlás, Hagen-Poiseuille törvény Az itt szereplő C konstans a határfeltétel alapján határozható meg. Logikus feltételezni, hogy a cső belső falával érintkező folyadékréteg sebessége zérus, vagyis v(R) = 0, ami alapján C kiszámítható, és végül a sebességprofilra azt kapjuk, hogy A fenti egyenletből látszik, hogy az áramlási sebesség r szerinti változását egy parabola írja le, ezért ebben az esetben parabolikus sebességprofilról beszélünk. A cső keresztmetszetén időegység alatt átáramló folyadék térfogatát (I = dV/dt) áramerősségnek nevezzük. Ha egy a sebesség irányára merőleges dA felület mentén az áramlási sebesség állandó (esetünkben dA = 2rpdr, az ábrán látható r sugarú dr vastagságú körgyűrű), akkor dI = vdA. A teljes A keresztmetszeten időegység alatt átáramló folyadék térfogata pedig:

46 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Réteges áramlás, Hagen-Poiseuille törvény A határozott integrál kiszámítása után kapjuk, hogy Ez nem más, mint az eredetileg kísérleti úton talált Hagen-Poiseuille törvény. A gyakorlatban a viszkozitásmérés egyik legismertebb módszere is ezen a törvényen alapul.

47 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Gömb alakú testek mozgása folyadékban, Stokes- féle törvény Egy homogén áramlási térbe helyezett gömb környezetében is lamináris áramlás alakul ki, amennyiben az áramlási tér geometriai méretei jóval nagyobbak a gömb átmérőjénél. Az álló helyzetben tartott gömbre a különböző sebességű folyadékrétegek közti súrlódás miatt egy, az áramlási sebességgel arányos erő hat. Ugyanakkora nagyságú erő hat a gömbre, ha azt az áramlási tér sebességének megfelelő sebességgel a nyugvó folyadékban mozgatjuk. (A gömbhöz rögzített koordináta rendszerben továbbra is a folyadék áramlik.). Erre az erőre vonatkozik a kísérleti úton is igazolt Stokes-féle törvény. ahol h a folyadék viszkozitása, r a gömb sugara, v pedig a gömb sebessége. A közegellenállási erő iránya ellentétes a sebesség irányával (- jel).

48 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Súrlódó folyadékok turbulens áramlása Turbulens vagy örvénylő áramlásról beszélünk, ha a mozgó rétegek „keverednek” egymással, és a részecskék a haladó mozgás mellett forgó, keringő mozgást is végeznek. Az áramlási sebesség növekedésével a lamináris áramlás egy kritikus sebesség túllépésével turbulenssé válhat. Az áramlás jellemzésére a Reynolds-féle számot (R) használják, amely az áramlás átlagos sebessége (v), a cső sugara (r), a folyadék viszkozitása (h) és sűrűsége (r) segítségével az alábbiak szerint definiálható: Ez egy egység dimenziójú mennyiség, amely értéke lamináris áramlásnál R < 1160, turbulens áramlásnál pedig R  A kritikus áramlási sebesség (vk), amelynél a lamináris áramlás turbulenssé válhat

49 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Súrlódó folyadékok turbulens áramlása Két geometriailag hasonló áramlásnál (két hasonló test körül kialakuló áramlási viszonyok) a dinamikai hasonlóság (erőhatások hasonlósága) megvalósításához az szükséges, hogy mindkét áramláshoz ugyanakkora Reynolds szám tartozzon azaz Ezt az állítást a hidrodinamika hasonlósági törvényének nevezik, amelyet a különböző berendezések (hajók, repülőgépek) körül kialakuló áramlási viszonyok modellezési körülményeinek meghatározására használnak.

50 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Súrlódó folyadékok, viszkozitás Hidrodinamikai ellenállás Hidrodinamikai ellenálláson, más néven közegellenálláson értjük azt az erőt, amelyet a folyadék (vagy gáz) egy teljesen bemerülő, a folyadékhoz (vagy gázhoz) viszonyítva állandó v sebességgel mozgó testre a v-vel ellentétes irányban kifejt. Kis sebességeknél (lamináris áramlás) ez az ellenállás a folyadékrétegek közti belső súrlódásból származik (Stokes-törvény). Nagyobb sebességeknél, amelyeknél a test mögött erős örvényképződés mutatkozik, az ellenállás meghatározó része arányos a közeg sűrűségével (r) és a sebesség négyzetével: ahol a l arányossági tényező a test alakjától és homlokfelületének nagyságától függ. (Homlokfelületen a testnek az áramlási sebességre merőleges irányban vett legnagyobb keresztmetszetét értjük.)

51 Gázok mechanikája KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
A gázok alakja és térfogata egyaránt könnyen megváltoztatható. Fenomenológiai szempontból még abban különböznek a folyadékoktól, hogy nincs szabad felszínük és sűrűségük közönséges körülmények között jóval kisebb a folyadékokénál.

52 Gázok mechanikája Aerosztatika pV = konst. vagy
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Gázok mechanikája Aerosztatika A gázoknál is érvényes Pascal törvénye: nyugvó gázban, ha súlya elhanyagolható, mindenütt ugyanakkora a nyomás. A hidrosztatikai nyomásnak gázok esetén az aerosztatikai nyomás felel meg, és abban az esetben, ha a gázoszlopban a sűrűség állandó, az szintén a formula alapján számítható. A Föld légkörének aerosztatikai nyomása – a tengerszintnek megfelelő magasságban – átlagosan 760 mm magas higanyoszlop hidrosztatikai nyomásával egyezik meg. A viszonylag kis nyomások tartományában – állandó hőmérsékleten – a gázok jól követik a Boyle-Mariotte törvényt: pV = konst. vagy ami mindig egy adott mennyiségű gázra vonatkozik.

53 Gázok mechanikája Aerosztatika KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
A relatív térfogatváltozására felírt egyenlet alapján a Boyle-Mariotte törvény érvényességi tartományában a gázok izoterm kompresszió modulusára ill. az izoterm kompresszibilitására egyszerű számítás után az alábbi eredmények adódnak: a gázok ugyanakkora összenyomásához 5-6 nagyságrenddel kisebb nyomás szükséges, mint a szilárd testekéhez.

54 Gázok mechanikája Aerosztatika KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
A hidrosztatikai nyomásra levezetett egyenlet gázok esetén csak kis magasságkülönbségre (normális körülmények között, Dh < 100 m) igaz, mivel a gázoszlopban a gravitációs erőtér hatására megváltozik a sűrűség. Differenciálisan (kis megváltozásokra) írhatjuk: vagy Az utóbbi egy diff.egyenletnek tekinthető, amennyiben kifejezzük a jobb oldalon álló sűrűség nyomástól való függését. A pV = p0V0 egyenlet mindkét oldalát elosztva a gáz tömegével a Boyle-Mariotte törvény sűrűséggel kifejezett alakjához jutunk: ahol a 0 indexszel a h = 0 magassághoz tartozó nyomást és sűrűséget jelöltük. Az index nélküli mennyiségek a h magasságban lévő, azonos tömegű gáz nyomását és sűrűségét jelölik. A fenti egyenletből r -t kifejezve, majd azt a diff.egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy

55 Gázok mechanikája Aerosztatika KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
Ennek a differenciálegyenletnek, a kezdeti feltételhez tartozó megoldása: vagy a sűrűségre kifejezve: A fenti egyenletek szerint egy gázban – állandó hőmérsékleten – a nyomás és a sűrűség a magassággal exponenciálisan csökken. A nyomásra kifejezett egyenletet barométeres magasságformulának is nevezik.

56 Gázok mechanikája Aerodinamika KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
Közönséges sebességeknél (ha az áramlási sebesség kisebb, mint a hang terjedési sebessége, pl. normál állapotú levegőnél ez 330 m/s) és kis magasságkülönbségeknél (Dh < 100 m) a folyadékok áramlásánál megismert törvények, összefüggések a gázok áramlására is érvényesek.