Fejezetek a matematikából

Az előadások a következő témára: "Fejezetek a matematikából"— Előadás másolata:

1 Fejezetek a matematikából
Kovácsné Lakatos Szilvia

2 NEVEZETES SZÁMHALMAZOK
Természetes számok Egész számok Racionális számok Irracionális számok Valós számok

3 Természetes számok Összeadás Szorzás
0 és a pozitív egészek, melyeket számlálással kapunk. (0,1,2,3 …) A halmazon értelmezett műveletek, melyre nézve zárt a halmaz: Összeadás Szorzás

4 Természetes számok Műveletek tulajdonságai: Asszociatív Kommutatív
(a+b)+c=a+(b+c) (a*b)*c=a*(b*c) Kommutatív a+b=b+a A*b=b*a Disztributív (a+b)*c=ac+bc a*(b+c)=a*ab+ac

5 Egész számok Összeadás Kivonás (Az összeadás inverz művelete) Szorzás
Nulla és a pozitív, negatív egész számok halmaza. A halmazon értelmezett műveletek, melyre nézve zárt a halmaz: Összeadás Kivonás (Az összeadás inverz művelete) Szorzás

6 Egész számok Műveleti tulajdonságok:
Kommutativitás Disztributivitás Asszociativitás Továbbá: a+(-b)=a-b A-(-b)=a+b A*b=b*a (-a)*(-b)=a*b (-a)*b=-a*b A*(-b)=-a*b Az egész számok halmaza zárt a három műveletre nézve.

7 Racionális számok Összeadás Kivonás (Az összeadás inverz művelete)
Azon számok halmaza, melyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos. A halmazon értelmezett műveletek, melyre nézve zárt a halmaz: Összeadás Kivonás (Az összeadás inverz művelete) Szorzás Osztás (a szorzás inverz művelete)

8 Racionális számok Műveleti tulajdonságok:
Kommutativitás Disztributivitás Asszociativitás A következők figyelembe vételével:

9 Racionális számok Összeadásnál és kivonásnál: FONTOS:
Csak azonos nevezőjű törteket lehet összeadni (kivonni): FONTOS: Nullával való osztás értelmetlen! Ezért kikötést teszünk: b,c,d ≠0 Szorzásnál: Osztásnál:

10 Racionális számok Törtbővítés, tört egyszerűsítés:
A tört értéke nem változik, ha a számlálót és a nevezőt is ugyan azzal a számmal osztjuk, vagy szorozzuk. A racionális számok halmaza zárt a négy műveletre nézve.

11 Irracionális számok Két egész szám hányadosaként fel nem írható számok. Tizedes tört alakja végtelen, nem periodikus. Pl: e, , Az irracionális számok halmaza nem zárt egyik műveletre sem.

12 Valós számok A racionális és az irracionális számok együtt alkotják a valós számokat. A valós számok halmaza a négy műveletre nézve zárt. A valós számok és a számegyenes között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés definiálható. A valós számok összefüggő részhalmazait intervallumnak nevezzük. Ez a számegyenesen egy szakaszt jelent.

13 Valós számok abszolút értéke
|a|= a, ha a>0 0, ha a=0 -a, ha a<0

14 VALÓS SZÁMOK NORMÁL ALAKJA
Szorzat, első tag abszolút értéke [1,10) intervallumba esik, a második tényező 10 egész kitevőjű hatványa. Pl. 1,4×1023 Összeadni és kivonni csak azonos nagyságrendű számokat lehet.

15 HATVÁNYOZÁS Azonosságok:
an kifejezést hatványnak nevezzük, ahol a a hatvány alap, n a kitevő. Ha n>1, pozitív egész, akkor an olyan n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. Azonosságok: Bármely szám nulladik hatványa 1. a1=a an×am=an+m an/am=an-m an×bn=(ab)n an/bn=(a/b)n (an)m=anm a-n=1/an (a≠0)

16 GYÖKVONÁS a jelenti azt a nem negatív számot, aminek a négyzete a.
Azonosságok: ab = a b a/b = a / b an = ( a )n ap/q = q ap

17 LOGARITMUS Loga b jelenti azt a számot, amelyre a-t emelve b-t kapunk.
Loga b = c → ac=b Azonosságok: Ha a,b,c >0 és a≠1: Loga (b×c)=loga b + loga c Loga b/c = loga b – loga c Loga bk = k×loga b Loga b = logc b/logc a c≠1 VÉGE