Szabályozási Rendszerek

Az előadások a következő témára: "Szabályozási Rendszerek"— Előadás másolata:

1 Szabályozási Rendszerek
Automatizálási tanszék Szabályozási Rendszerek 2013/2014, őszi szemeszter Előadás

2 Alapkapcsolások Párhuzamos kapcsolás
𝑌= 𝑌 1 + 𝑌 2 = 𝑊 1 𝑈 + 𝑊 2 𝑈 = 𝑊 1 + 𝑊 2 𝑈= 𝑊 er 𝑈 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 + 𝑊 2 𝑠

3 Alapkapcsolások Soros kapcsolás 𝑌= 𝑊 1 ( 𝑊 2 𝑈) = 𝑊 er 𝑈

4 Visszacsatolásos kapcsolás
Alapkapcsolások Visszacsatolásos kapcsolás 𝑌= 𝑊 1 (𝑈− 𝑊 2 𝑌) = 𝑊 1 𝑈− 𝑊 1 𝑊 2 𝑌 1+ 𝑊 1 𝑊 2 𝑌= 𝑊 1 𝑈 𝑌= 1+ 𝑊 1 𝑊 2 ) −1 𝑊 1 𝑈= 𝑊 er 𝑈 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 1+ 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠

5 Elágazási és összegzési pontok szabályai
Alapkapcsolások Elágazási és összegzési pontok szabályai

6 Alapkapcsolások 1. példa

7 Alapkapcsolások 2. példa

8 Alapkapcsolások 2. példa

9 Alapkapcsolások 2. példa

10 Alapkapcsolások 2. példa

11 Alapkapcsolások 2. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠

12 Alapkapcsolások 2. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠

13 Alapkapcsolások 2. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠

14 Alapkapcsolások 2. példa

15 Alapkapcsolások 2. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 1+ 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠 𝑊 er = 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1− 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 𝐻 7 𝐻 4 𝑊 er = 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1− 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 𝑊 er = 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1− 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 + 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 𝑊 er = 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1− 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 + 𝐻 7 𝐻 2 𝐻 3

16 Alapkapcsolások 2. példa

17 Alapkapcsolások 2. példa

18 Alapkapcsolások 3. példa

19 Alapkapcsolások 3. példa

20 Alapkapcsolások 3. példa

21 Alapkapcsolások 3. példa

22 Alapkapcsolások 3. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 1+ 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠

23 Lineáris tagok leírási módszerei közötti áttérési lehetőségek
Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei Lineáris tagok leírási módszerei közötti áttérési lehetőségek W(t) DE W(s) SE v(t)

24 Differenciálegyenletről az átviteli függvényre való áttérés
Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei Differenciálegyenletről az átviteli függvényre való áttérés 𝑎 𝑛 𝑦 (𝑛) +…+ 𝑎 1 𝑦 (1) + 𝑎 0 𝑦 = 𝑏 𝑚 𝑢 (𝑚) +…+ 𝑏 1 𝑢 (1) + 𝑏 0 𝑢 𝑊 𝑠 = 𝑗=0 𝑚 𝑏 𝑗 𝑠 𝑗 𝑖=0 𝑛 𝑎 𝑖 𝑠 𝑖 Kimenő jel: 𝑌 𝑠 =𝑊 𝑠 𝑈(𝑠)

25 A súlyfüggvény és az átviteli függvény közötti kapcsolat
Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei A súlyfüggvény és az átviteli függvény közötti kapcsolat 𝑤 𝑡 =ℒ −1 𝑊(𝑠) = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ℒ 𝑤(𝑡) =𝑊(𝑠) Kimenő jel: 𝑦 𝑡 = 0 𝑡 𝑢 𝑡−𝜏 𝑤 𝜏 𝑑𝜏

26 Az átviteli függvény és az átmeneti függvény közötti kapcsolat
Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei Az átviteli függvény és az átmeneti függvény közötti kapcsolat ℒ 𝑣(𝑡) =𝑊(𝑠) 1 𝑠 𝑣 𝑡 =ℒ −1 𝑊(𝑠) 1 𝑠 = 0 𝑡 𝑤 𝜏 𝑑𝜏 Kimenő jel: 𝑦 𝑡 = 0 𝑡 𝑢 𝑡−𝜏 𝑑𝑣 𝜏

27 Az állapotegyenletről az átviteli függvényre való áttérés
Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei Az állapotegyenletről az átviteli függvényre való áttérés 𝑥 =𝐴𝑥+𝐵𝑢, 𝑥 0 =0, 𝑦=𝐶𝑥+𝐷𝑢. 𝑊 𝑠 =𝐶 (𝑠𝐼−𝐴) −1 𝐵+𝐷. Az átviteli függvényről az állapotegyenletre való áttérés: szabályozó alak 𝑌 𝑠 = 𝐵 𝑠 𝐴 𝑠 𝑈 𝑠 = 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 +…+ 𝑏 1 𝑠+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑠+ 𝑎 0 . 𝑥 = − 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−2 𝑎 𝑛 … − 𝑎 1 𝑎 𝑛 − 𝑎 0 𝑎 𝑛 … … 0 0 ∶ ∶ ∶ ∶ 0 0 … 1 0 𝑥 𝑎 𝑛 ∶ 0 𝑢, 𝑦= 𝑏 𝑛− 𝑏 𝑛− … 𝑏 𝑏 𝑥.

28 Ideális alaptagok Arányos tag
Differenciálegyenlete: 𝑎 0 𝑦 𝑡 = 𝑏 0 𝑢 𝑡 , Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 =𝐴, Súlyfüggvénye: w t = 𝐴𝛿 𝑡 , Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 =ugrásfüggvény, Nyquist: Egy pont a valós tengelyen, Amplitúdó-diagram: Frekvenciatengellyel párhuzamos, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián zérus. Pl.: - elektronikus erősítő a lineáris tartományban

29 Ideális alaptagok Integráló tag
Differenciálegyenlete: 𝑇 𝐼 d𝑦 𝑡 d𝑡 =𝑢 𝑡 , A differenciálegyenlet megoldása: 𝑦 𝑡 = 1 𝑇 𝐼 0 𝑡 𝑢 𝑡 d𝑡+𝑐, Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 = 1 𝑠 , Súlyfüggvénye: w t =ugrásfüggvény, Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 =sebességugrás, Nyquist: pozitív ω -ra a negatív Im tengelyre eső egyenes, Amplitúdó-diagram: −20dB/dekád, metszéspont: 1/𝑇 𝐼 -nél, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián -90∘. Pl.: - folyadéktartály beáramló folyadék és a szintmagasság közti összefüggés, vagy egy kondenzátor kapocsfeszültsége és a töltőárama közti összefüggés, vagy - motor szögelfordulás-változása a fordulatszám függvényében

30 Ideális alaptagok Differenciáló tag
Differenciálegyenlete: y t = d𝑢 𝑡 d𝑡 , y t = 𝜏 D d𝑢 𝑡 d𝑡 , Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 =𝑠, 𝑊 𝑠 = 𝜏 D 𝑠, Súlyfüggvénye: w t =2 ellentétes irányú 𝛿(𝑡), Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 = 𝜏 d területű 𝛿 𝑡 , Nyquist: pozitív ω -ra a pozitív Im tengelyre eső egyenes, Amplitúdó-diagram: +20dB/dekád, metszéspont: 1/𝑇 𝐷 -nél, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián +90∘ Pl.: - nyitott szekunderkörű transzformátor primer áramának és szekunder oldali indukált feszültségének kapcsolata, ha a primer körben a primer áram nem változik ugrásszerűen

31 Ideális alaptagok Holtidős tag
𝑦 𝑡 = 0, ha 𝑡< 𝑇 d , 𝑢 𝑡− 𝑇 d , ha 𝑡≥ 𝑇 d , Differenciálegyenlete: 𝑎 0 𝑦 𝑡 = 𝑏 0 𝑢 𝑡− 𝑇 d , vagy 𝑦 𝑡 =𝐴𝑢 𝑡− 𝑇 d , Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 =𝐴 𝑒 −𝑠 𝑇 d , Súlyfüggvénye: w t = 𝑇 d −vel eltolt 𝐴 területű 𝛿(𝑡), Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 = 𝑇 d −vel eltolt 𝐴 amplitúdójú ugrás, Nyquist: Egymást fedő körök, 𝜔 növelésével -𝜔 𝑇 𝑑 szöggel fordul el, Amplitúdó-diagram: Frekvenciatengellyel párhuzamos, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: lineárisan változik a frekvenciával. Pl.: - minden reális rendszerben jelen van. Energiaáramlási jelenségeknél (pl. szállítószalagon, vagy csővezetéken történő anyagtovábbítás, hőáramlás) nem hanyagolható el

32 Egytárolós (arányos) tag
Tárolós tagok Egytárolós (arányos) tag Differenciálegyenlete: 𝑇 d𝑦(𝑡) d𝑡 +𝑦 𝑡 =𝐴𝑢 𝑡 , Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 = 𝐴 1+𝑠𝑇 , Súlyfüggvénye: 𝑤 𝑡 = 𝐴 𝑇 𝑒 −𝑡/𝑇 , Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 =𝐴(1− 𝑒 −𝑡/𝑇 ), Nyquist: pozitív ω -ra egy félkör, ω = 0-tól, ω →∞-ig, Amplitúdó-diagram: 0dB 1/T-ig, utána -20dB/dekád, Frekvencia-diagram: −arctg 𝜔𝑇 . Pl.: - soros RL kör