MÁTRIX-ELMOZDULÁS-MÓDSZER

Az előadások a következő témára: "MÁTRIX-ELMOZDULÁS-MÓDSZER"— Előadás másolata:

1 MÁTRIX-ELMOZDULÁS-MÓDSZER
TARTÓK STATIKÁJA II. MÁTRIX-ELMOZDULÁSMÓDSZER MÁTRIX-ELMOZDULÁS-MÓDSZER MÁTRIXARITMETIKAI ALAPFOGALMAK Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék Agárdy Gyula április

2 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék
A MÁTRIX DEFINÍCIÓJA Lineáris (vagy linearizálható) függvénykapcsolatban álló halmazok vizsgálatára igen alkalmas a lineáris egyenlet(rendszer). Az ebben szereplő együtthatók számtáblázatba rendezve a halmazok diszkrét elemei közötti összefüggéseket tömören és matematikailag korrekt módon írják le. Az ilyen kétdimenziós, diszkrét elemekből álló táblázatot MÁTRIXnak nevezzük. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

3 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék
A MÁTRIX DEFINÍCIÓJA Az m × n méretű mátrixnak m sora és n oszlopa van. i= 1, 2, 3, ..., n j= 1, 2, 3, ..., m Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

4 NÉHÁNY EGYSZERŰ NEVEZETES MÁTRIX
A sorok és az oszlopok felcserélésével kapott mátrix az eredeti transzponáltja. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

5 NÉHÁNY EGYSZERŰ NEVEZETES MÁTRIX
Az egydimenziós mátrix neve vektor. Alaphelyzetben a vektor oszlopvektort jelöl, a sorvektort a (neki megfelelő) oszlopvektor transzponáltjaként értelmezzük. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

6 NÉHÁNY EGYSZERŰ NEVEZETES MÁTRIX
Ha a mátrix sorainak és oszlopainak száma megegyezik, kvadratikus mátrixról beszélünk. A kvadratikus mátrix sorainak ill. oszlopainak száma a mátrix rendje. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

7 NÉHÁNY EGYSZERŰ NEVEZETES MÁTRIX
Ha a kvadratikus mátrix megegyezik a saját transzponáltjával, szimmetrikus mátrixról beszélünk. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

8 NÉHÁNY EGYSZERŰ NEVEZETES MÁTRIX
Ha a kvadratikus mátrixnak csak a főátlójában van zérustól különböző elem, a mátrixot diagonális mátrixnak nevezzük. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

9 NÉHÁNY EGYSZERŰ NEVEZETES MÁTRIX
Ha a diagonális mátrix főátlójában lévő valamennyi elem értéke 1, akkor az egységmátrixot kapjuk (ezzel szorozva a szorzat mátrix az eredeti tényező-mátrixot adja vissza). E=dij Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

10 NÉHÁNY EGYSZERŰ NEVEZETES MÁTRIX
.A kontinuáns mátrix olyan tridiagonális kvadratikus mátrix, amelyben csak a főátlóban, és annak közvetlen szomszédjaiban álló elemek különböznek zérustól. [aij=0, ha |i-j|>1] Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

11 NÉHÁNY EGYSZERŰ NEVEZETES MÁTRIX
Ha a szimmetrikus mátrixban a főátló mellett több szomszéd is zérustól különböző, sávmátrixról, vagy szalagmátrixról beszélünk. [aij=0, ha |i-j|>k, ahol a sávszélesség 2k] Ha a kvadratikus mátrixban a főátló alatt, vagy a főátló felett csak zérus elemek állnak, háromszögmátrixról beszélünk. [aij=0, ha i<j, ill. aij=0, ha i>j, ] Ha a mátrix minden eleme zérus, a mátrix neve (furcsa és meglepő módon): zérusmátrix. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

12 EGYSZERŰ MÁTRIXMŰVELETEK
ÖSSZEADÁS-KIVONÁS: a műveleteket rendre a megfelelő elemeken kell végrehajtani! Csak azonos méretű mátrixok vonhatók össze! A±B=C [aij] ± [ bij ] = [ cij] MÁTRIX SZORZÁSA KONSTANSSAL: a konstanssal minden elem külön-külön szorzandó. k×D = [k×dij] Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

13 EGYSZERŰ MÁTRIXMŰVELETEK
KÉT MÁTRIX SZORZATA A mátrix-szorzásban a tényezők NEM felcserélhetők! A szorzás csak akkor értelmezhető, ha az első tényező OSZLOPAINAK és a második tényező SORAINAK száma MEGEGYEZIK. Ilyenkor a szorzatmátrix ij indexű eleme az első tényező i-ik sorának (mint sorvektornak) és a második tényező j-ik oszlopának (mint oszlopvektornak) a SKALÁRIS SZORZATA. B r A × B = C ckl=S(akj×bjl) A C (m,r) (r,n) (m,n) j=1 Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

14 EGYSZERŰ MÁTRIXMŰVELETEK
TARTÓK STATIKÁJA II. MÁTRIX-ELMOZDULÁSMÓDSZER EGYSZERŰ MÁTRIXMŰVELETEK SOR- ÉS OSZLOPVEKTOR SZORZATA Egy sor- és egy oszlopvektor akkor szorozható össze, ha elemszámuk megegyezik. Ilyenkor (skalár)szorzatuk eredménye egy SZÁM. (1,n) aT × b = c ahol c = S (ai×bi) (n,1) (1,1) i=1 n b c a T Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék Agárdy Gyula április

15 EGYSZERŰ MÁTRIXMŰVELETEK
TARTÓK STATIKÁJA II. MÁTRIX-ELMOZDULÁSMÓDSZER EGYSZERŰ MÁTRIXMŰVELETEK OSZLOP- ÉS SORVEKTOR SZORZATA Egy oszlop- és egy sorvektor mindenképp összeszorozható, a szorzat egy MÁTRIX, amelyben a sorok száma az első tényező elemszámával, az oszlopok száma a második tényező elemszá-mával egyezik meg. Az így előálló mátrixok neve DIÁD. (m,1) a × bT = C ahol ci,j = ai×bj (1,n) (m,n) T b Minden mátrix felírható diádok összegeként. A mátrixot előállító minimális diádszám a mátrix rangja, r(A). A rang a mátrix lineárisan független sorainak ill. oszlopainak számával (is) megegyezik, tehát a sor- ill. oszlopszámnál nagyobb nem lehet. C a Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék Agárdy Gyula április

16 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék
NEVEZETES MÁTRIXOK Ha egy kvadratikus mátrix rendje és rangja azonos, a mátrix nemszinguláris (determinánsa nem zérus). Ha a mátrix nem kvadratikus, vagy rangja kisebb a rendjénél (ez esetben determinánsa zérus), a mátrix szinguláris. A nemszinguláris mátrixok esetében létezik az inverzmátrix, amelynek az eredeti mátrixszal képzett szorzata az egységmátrix: Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

17 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék
NEVEZETES MÁTRIXOK A (kvadratikus) mátrix ortogonális, ha inverze és transzponáltja azonos. Az ortogonális mátrixokra igaz, hogy: Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

18 A DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTAREND-SZER MÁTRIXELMÉLETI ALAPJAI
A pontok helyét, a vektorok állását a térben a koordinátageomet-ria eszközrendszerével kezeljük. Leggyakrabban a Descartes-féle derékszögű (ortogonális) koordinátarendszert alkalmazzuk. Ilyenkor egy pont helyét a tengelyekkel párhuzamos (egység)-vektorok, és egy-egy, az illető tengely mentén mérendő távolsá-got mérő skalárszám szorzata adja a megfelelő koordinátát. A fenti ábrázolás alapját a koordinátatengely-irányú (egység)-vektorok képezik, ezért ezeket a rendszer bázisvektorainak nevezzük. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

19 A DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTAREND-SZER MÁTRIXELMÉLETI ALAPJAI
Ortogonális (bázis) vektorrendszert alkot az az n darab, n méretű, nemzérus vektor, amelyekre igaz, hogy páronként skalárszorzatuk zérus. Ha emellett a (bázis)vektorok mindegyikére igaz, hogy a saját magával képzett skalárszorzata 1, akkor ortonormált (bázis)vektorrendszerről beszélhetünk. ha j≠k; ha j=k Ezek felhasználásával az n dimenziós (matematikai) „tér”-ben egyértelműen megadható egy pont helyzete, egy vektor állása. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

20 A DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTAREND-SZER MÁTRIXELMÉLETI ALAPJAI
Az egymásra kölcsönösen merőleges (egység)vektorokból álló mátrix mindig ortogonális. Az (n méretű) egységmátrixból egy (bármelyik) egységvek-torral képzett diádot levonva annak rangja eggyel csökken. Az olyan mátrixot, vektort, amelynek elemei maguk is mátrixok, ill. vektorok, hipermátrixnak, ill. hipervektornak nevezzük. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

21 KOORDINÁTA-TRANSZFORMÁCIÓ, TRANSZFORMÁLÓ MÁTRIX
Az xyz derékszögű koordinátarendszerben az a vektor komponensei az ax, ay, az tengelyirányú vetületnagyságokat megadó skalárszámok és az ex, ey , ez tengelyirányú egységvektorok szorzataiként állíthatók elő. A xhz derékszögű koordinátarendszerben az a vektor komponensei az ax, ah, az tengelyirányú vetületnagyságokat megadó skalárszámok és az ex, eh , ez tengelyirányú egységvektorok szorzataiként állíthatók elő. z z azez azez a axex x aheh h axex ayey x y Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

22 KOORDINÁTA-TRANSZFORMÁCIÓ, TRANSZFORMÁLÓ MÁTRIX
A vetületek skalárszámait (oszlop)vektorba rendezve az a vektor a tengelyirányú egységvektorokból képzett sorvektor és a vetületnagyságokból képzett oszlopvektor skaláris szorzataként jelenik meg. Természetesen a kétféle koordinátarendszerből előállított a vektor nem különbözhet, azaz: Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

23 KOORDINÁTA-TRANSZFORMÁCIÓ, TRANSZFORMÁLÓ MÁTRIX
Ha az előbbi egyenlőség mindkét oldalát balról megszorozzuk az ex-ey-ez egységvektorokból képzett (a sorvektor transzponáltja-ként értelmezhető) oszlopvektorral, a bal oldalon (az egységvek-torok ortonormáltsága miatt) az egységmátrix, a jobb oldalon a transzformációs mátrix lesz az a vetületvektor szorzója. (Ez a transzformáció a xhz koordinátarendszerből az xyz-be visz át.) T Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

24 KOORDINÁTA-TRANSZFORMÁCIÓ, TRANSZFORMÁLÓ MÁTRIX
A T transzformációs (vagy: forgató-) mátrix elemei az xyz ill. a xhz koordinátarendszerek tengelyirányú egységvektorainak skaláris szorzatai, amik valójában (a vektorok normáltsága miatt) a megfelelő tengelyek által bezárt szögek koszinuszai. Ha a forgatás csak egy síkban történik (pl. a z tengely körül), akkor a T transzformációs (vagy: forgató-) mátrix egyszerűbb alakba írható: Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

25 MÁTRIX-ELMOZDULÁS-MÓDSZER
A FELTÉTELI MÁTRIX-EGYENLET(RENDSZER) Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

26 AZ ELMOZDULÁSMÓDSZER MÁTRIXEGYENLETE
Ax+a0=0 Kv=q v=x, q=a0, K=-A az elmozdulásmódszer klasszikus feltételi egyenlete a mátrix-elmozdulásmódszer feltételi egyenlete a mátrix-elmozdulásmódszer és a klasszikus elmozdulásmódszer jelöléseinek megfeleltetése: v a csomóponti elmozdulások vektora q a csomópontokra ható erők-nyomatékok vektora K a szerkezet merevségi mátrixa Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

27 MÁTRIX-ELMOZDULÁS-MÓDSZER
A CSOMÓPONTI DINÁMOK-ELMOZDULÁSOK Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

28 AZ ALKALMAZOTT KOORDINÁTARENDSZEREK
A szerkezet vizsgálata során kétféle koordinátarendszert célszerű használni: a csomópontok adatait és jellemzőit (csomóponti erők-nyomatékok, csomóponti eltolódások-elfordulások) a szerkezet xyz globális koordinátarendszerében lehet jól kezelni; a rúdelemek adatait és jellemzőit (belső erő- és nyomatéki függvények, keresztmetszeti elmozdulási és alakváltozási függvények) a rúdelem saját, rudanként felvett xhz lokális koordinátarendszerében lehet jól kezelni. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

29 A CSOMÓPONTI DINÁMOK-ELMOZDULÁSOK JELÖLÉSE
Általános (térbeli) esetben a csomópontra működő erőhatások és a csomópont elmozdulásai (a csomópont elmozdulási szabadságfokának megfelelően) hatfélék lesznek: Fix, Fiy, Fiz, Mix, Miy, Miz, ill. eix, eiy, eiz, fix, fiy, fiz Síkbeli (pl. xy síkbeli) szerkezet esetében a csomóponti erők-elmozdulások a következők: Fix, Fiy, Miz, ill. eix, eiy, fiz Ezek az erő- ill. elmozdulás-összetevők (oszlop)vektor(ok)ba rendezhetők, és ezekből a csomópontonkénti „vektor-blokkok”-ból áll össze a teljes szerkezet erő- ill. elmozdulásvektora. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

30 EGY SÍKBELI RÚDELEM IGÉNYBEVÉTELEI ÉS ELMOZDULÁSAI
Miz Nix L-l Nlx z Tih j Njx Mlz h Tlh Mjz Tjh x L i A rúdelem lokális xhz koordinátarendszere és a pozitív igénybevételek-elmozdulások uiz uix z uih j ujx h ujz ujh x Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

31 A RÚDERŐK ÉS A CSOMÓPONTI ERŐK MEGFELELTETÉSE
Az i-j jelű rúdon (i<j) a rúd igénybe-vételeiként (sij,j) a nagyobbik sorszá-mú (j jelű) végen számítható belső erőket definiáljuk. Ezek megegyez-nek a rúd j végére ható külső erőkkel (sj=sij,j). A kisebbik sorszámú (i jelű) végen működő külső erők az ott értelmezett igénybevételek ellentettjeivel egyeznek meg (si=-sij,i). A rúd saját (statikai és kinematikai) terhelését külön kezeljük. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

32 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék
A CSOMÓPONTI ERŐK A csomópontokra ható erők a következők lehetnek: közvetlen csomóponti erő közvetlen csomóponti nyomaték a rúdról (rudakról) a csomópontra átadódó erő (ez származhat a rúd erőterheléséből, a rúd kinematikai terheléséből) a rúdról (rudakról) a csomópontra átadódó nyomaték Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

33 MÁTRIX-ELMOZDULÁS-MÓDSZER
A SZERKEZET MEREVSÉGI MÁTRIXA Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

34 A MEREVSÉGI MÁTRIX DEFINÍCIÓJA
A szerkezet(i elem) merevsége mindig egy elmozdulás-elmoz-dítás nyomán keletkező (belső) erőt, igénybevételt jelent (úgy is értelmezhetjük, hogy a szerkezet ellenállása az elmozdítás-sal szemben). Minthogy az elmozdulás-módszerben a csomó-ponti elmozdulás-összetevőket tekintjük ismeretleneknek, a síkbeli rúdelem merevségi mátrixa a két rúdvégen beiktatható három-három elmozdulás-komponensből ébred(het)ő három-három belső dinámot szolgáltatja, azaz egy 6×6 méretű mátrix. Ez egyúttal jelzi a mátrix struktúráját is: a négy 3×3-as méretű blokk az egyes rúdvégeken ébredő erőket adja meg, a saját ill. a másik vég lehetséges elmozdulásai hatására. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

35 MINDKÉT VÉGÉN BEFOGOTT RÚD MEREVSÉGI REAKCIÓI
L uix=1 ujx=1 i j i j EA x EA h EA/L -EA/L -EA/L EA/L EJz EJz a rúdvégek egységnyi elmozdítása során ébredő rúdvégi erők és nyomatékok uih=1 6EJz/L2 -6EJz/L2 ujh=1 12EJz/L3 12EJz/L3 6EJz/L2 -12EJz/L3 -12EJz/L3 -6EJz/L2 fjz=1 EJz fiz=1 4EJz/L 6EJz/L2 6EJz/L2 2EJz/L EJz 2EJz/L -6EJz/L2 -6EJz/L2 4EJz/L Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

36 A RÚDVÉGI ELMOZDULÁSOK ÉS IGÉNYBEVÉTELEK ÖSSZEFÜGGÉSE
i: befogott j: befogott Vi Vj vix=1 vih=1 fiz=1 vjx=1 vjh=1 fjz=1 Si -Nix EA/L -EA/L -Tih 12EJz/L3 6EJz/L2 -12EJz/L3 -Miz 4EJz/L -6EJz/L2 2EJz/L Sj Njx Tjh Mjz -6EJzL2 Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

37 EGY SÍKBELI RÚDELEM MEREVSÉGI MÁTRIXA
a mindkét végén befogott rúdelem merevségi mátrixa k ij ii jj ji Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

38 A CSUKLÓS-BEFOGOTT VÉGŰ RÚD MEREVSÉGI REAKCIÓI
uix=1 ujx=1 i j i j EA x EA h EA/L -EA/L -EA/L EA/L EJz EJz a rúdvégek egységnyi elmozdítása során ébredő rúdvégi erők és nyomatékok uih=1 3EJz/L2 ujh=1 3EJz/L3 3EJz/L3 -3EJz/L3 -3EJz/L3 -3EJz/L2 fjz=1 EJz fiz1 3EJz/L 3EJz/L2 EJz -3EJz/L2 Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

39 A RÚDVÉGI ELMOZDULÁSOK ÉS IGÉNYBEVÉTELEK ÖSSZEFÜGGÉSE
i: befogott j: befogott Vi Vj vix=1 vih=1 fiz=1 vjx=1 vjh=1 fjz=1 Si -Nix EA/L -EA/L -Tih 3EJz/L3 -3EJz/L3 3EJz/L2 -Miz Sj Njx Tjh -3EJz/L2 Mjz -3EJzL2 3EJz/L Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

40 EGY SÍKBELI RÚDELEM MEREVSÉGI MÁTRIXA
a kezdőpontban csuklós, végpontban befogott rúdelem merevségi mátrixa k ij ii jj ji Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

41 A BEFOGOTT-CSUKLÓS VÉGŰ RÚD MEREVSÉGI REAKCIÓI
uix=1 ujx=1 i j i j EA x EA h EA/L -EA/L -EA/L EA/L EJz EJz a rúdvégek egységnyi elmozdítása során ébredő rúdvégi erők és nyomatékok uih=1 -3EJz/L2 ujh=1 3EJz/L3 3EJz/L2 3EJz/L3 -3EJz/L3 -3EJz/L3 fjz=1 fiz1 EJz 3EJz/L2 EJz -3EJz/L2 3EJz/L Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

42 A RÚDVÉGI ELMOZDULÁSOK ÉS IGÉNYBEVÉTELEK ÖSSZEFÜGGÉSE
i: befogott j: befogott Vi Vj vix=1 vih=1 fiz=1 vjx=1 vjh=1 fjz=1 Si -Nix EA/L -EA/L -Tih 3EJz/L3 3EJz/L2 -3EJz/L3 -Miz 3EJz/L -3EJz/L2 Sj Njx Tjh Mjz Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

43 EGY SÍKBELI RÚDELEM MEREVSÉGI MÁTRIXA
a kezdőpontban befogott, végpontban csuklós rúdelem merevségi mátrixa k ij ii jj ji Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

44 A RÚDVÉGI ELMOZDULÁSOK ÉS IGÉNYBEVÉTELEK ÖSSZEFÜGGÉSE
i: befogott j: befogott Vi Vj vix=1 vih=1 fiz=1 vjx=1 vjh=1 fjz=1 Si -Nix EA/L -EA/L -Tih -Miz Sj Njx Tjh Mjz Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

45 EGY SÍKBELI RÚDELEM MEREVSÉGI MÁTRIXA
a mindkét végén csuklós rúdelem merevségi mátrixa k ij ii jj ji Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

46 A SZERKEZET MEREVSÉGI MÁTRIXA
A rúdelem merevségi (hiper)mátrixa (amit a rúdvégi elmozdítások és erők szerint négy al-mátrixból (blokkból) állítottunk össze) a rúd saját, lokális koordinátarendszerében készült. A csomópontok egyensúlyi vizsgálatát viszont csak a globális koordinátarendszer-ben végezhetjük el. Ehhez a rúd a saját rendszerben készült merevsé-gi mátrixot transzformálni kell, mégpedig kétszeresen: a valóságos csomóponti elmoz-dulások (az ezekből ébredő erő-ket neveztük merevségeknek) globális irányúak, tehát a rúd sa-ját, lokális rendszerében ezeknek csak a megfelelő vetülete fejt ki elmozdító hatást; a rúdvégek elmozdulásaiból szár-mazó erők viszont a lokális rend-szerben értelmezettek, ugyanak-kor a csomópontok egyensúlyá-hoz a rudakról a csomópontokra ható globális irányú erőkompo-nensekre van szükségünk. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

47 A SZERKEZET MEREVSÉGI MÁTRIXA
Az egy rúdelemre érvényes globális koordinátákon értelmezett merevségi mátrix (a lokális koordinátákon előállított merevségi mátrixhoz hasonlóan) négy blokkból áll, amelyek az i-j rúdvégek elmozdulásaiból az i-j rúdvégeken ébredő, most már globális irányú, tehát a többi rúdról adódó erőkkel skalárisan összevonható erőket adják meg. A blokkok felső indexelése a „hely-ok” konvenciót tükrözi. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

48 A SZERKEZET MEREVSÉGI MÁTRIXA
A globális koordinátarendszerben rudanként értelmezett merevségi-mátrix blokkokból állíthatjuk elő a teljes szerkezet merevségi mát-rixát, amelynek elemei (ill. blokkjai) az oszlopokhoz tartozó egység-nyi elmozdulások (csomóponti elmozdulás-csoportok) hatására ébredő csomóponti válasz-dinámokat (dinámcsoportokat) jelenítik meg. A főátlóban a hely és az ok azonos, tehát itt a csomópontba befutó rudak számával megegyező számú rudankénti (globális koordináta irányú) merevségi-mátrix blokk összege adja a teljes merevségi mátrix elemet (blokkot). A többi (hiper)mátrixelem esetében a hely és az ok nem azonos, tehát a vizsgált helyen (csomópontban) ébredő hatás egy másik csomóponti elmozdulás okán keletkezik. Minthogy azonban két pont között csak egy rúd helyezkedhet el, ezek az elemek zéruselemek (ha az illető pontpár között nincs rúd), vagy egyetlen blokkból állnak (ha az illető pontpár között van rúd). Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

49 A SZERKEZET MEREVSÉGI MÁTRIXA
A főátlóban lévő hipermátrix-elemek mindig legalább két blokk összegeként jelennek meg, a többi elem pedig vagy zérus, vagy egyetlen blokk (a csomópontok közötti valós kapcsolat lététől függően) Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

50 A SZERKEZET MEREVSÉGI MÁTRIXA
A szerkezet előbbiekben bemutatott teljes merevségi hipermátrixában egy elem a rudanként előállított és a globális koordinátarendszerbe transzformált merevségi mátrix egy-egy blokkja (vagy blokk-összege), azaz mérete síkbeli tartó esetén 3×3, térbeli szerkezet esetén 6×6. A teljes szerkezet merevségi mátrixának mérete (rendje) tehát az elmozdulóképes csomópontok számának és a blokk elemszámának szorzataként állítható elő. (Természetesen a fenti számítás során nem tekintettük a rúdelemeket nyújt-hatatlannak, de a nyírási deformáció figyelembevételétől eltekintettünk.) Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

51 A MEGOLDÁSVEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA
Az elmozdulásmentesnek feltételezett csomópontokra összegzett erők és nyomatékok szolgáltatják a csomóponti kiegyensúlyozatlan dinámok vektorát, azaz a tehervektort. A csomópontok egységnyi elmozdulásaira adott szerkezeti válaszok alapján előállított merevségi mátrix adja az együtthatómátrixot. Ezek ismeretében a mátrixegyenlet felírható és (megfelelő matematikai segédapparátus felhasználásával meg is oldható. A megoldásvektor elemei az egyensúlyi állapothoz tartozó csomóponti elmozdulás-összetevők lesznek. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

52 A RÚDIGÉNYBEVÉTELEK ELŐÁLLÍTÁSA
A csomóponti elmozdulás-összetevők ismeretében a rudak egyedi merevségi mátrixai segítségével meghatározhatók a rúdvégi erők-nyomatékok, és az ezeknek megfelelő igénybevételi függvények. Ezekhez hozzáadva a rúd saját erő- és kinematikai terheléséből adódó igénybevételeket megkapjuk a rúdelemnek, mint a határozatlan tartó egy szerkezeti elemének igénybevételi függvényeit. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

53 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék
FOLYTATÁSA KÖVETKEZIK! Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

54 A MEREVSÉGI MÁTRIX DEFINÍCIÓJA
. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

55 EGY SÍKBELI RÚDELEM MEREVSÉGI MÁTRIXA
Miz Nix z Tih j Njx h Mjz Tjh x L i uiz uix z uih j ujx h ujz ujh x Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

56 EGY SÍKBELI RÚDELEM MEREVSÉGI MÁTRIXA
a mindkét végén befogott rúdelem merevségi mátrixa Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék

57 KOORDINÁTA-TRANSZFORMÁCIÓ, TRANSZFORMÁLÓ MÁTRIX
. Tartók Statikája II. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék