Regresszió és korreláció

Az előadások a következő témára: "Regresszió és korreláció"— Előadás másolata:

1 Regresszió és korreláció
.

2 Lineáris regresszió Regressziós vizsgálatok Korrelációs együttható Korreláció és függetlenség

3 Bizonyos esetekben tudjuk/gyanítjuk, hogy az adatok ingadozásáért egy másik, ugyancsak változó tényező a felelős Pl.: RR különböző életkorokban más értékek Laboratóriumi mérést helyiség hőmérséklete befolyásol, növeli a szórást

4 Kézenfekvő lenne ennek a külső változónak az ingadozását megszüntetni, értékét azonos szinten tartani – nem mindig lehetséges Másik megoldás, hogy a zavaró változó hatását igyekszünk felderíteni, és számítással kiküszöbölni.

5 Pl.: Hogyan változik (és változik-e egyáltalán)
Bizonyos esetekben ennek a hatásnak a természete jobban érdekel minket, mint magának a szórásnak a csökkentése Pl.: Hogyan változik (és változik-e egyáltalán) a korral a vérnyomás a koncentrációval a törésmutató Eredeti változónkat tehát mintegy a másik függvényében vizsgáljuk – regressziós vizsgálatok

6

7 Adrenalin hatására vizsgáljuk az izomrángást
Adrenalin dózis növekedésével a rángásidőt vizsgáljuk Próbáljuk egyenessel megközelíteni a hatás jellemzését

8

9 x változó vizsgált értékeit mi választjuk ki,
yi adatok eltérését az egyenestől rögzített xi értéknél (tehát a függőlegesen vizsgáljuk) Célunk, hogy a függőleges egyenesekből számolt szórás a lehető legkisebb legyen y=a+bx ahol b a meredekség, a tengelymetszet

10

11

12 Regressziós vizsgálatok
A regressziós összefügéseket nem mindig egyenes ábrázolja a legjobban Sokszor görbe jellemzi: parabola, hiperbola vagy exponenciális görbe Előfordul, hogy a dózis logaritmusa áll lineáris kapcsolatban a hatással

13 Valóságos regressziós egyenlet:
1., x és y tengelyen ábrázolt adatokra rátekintve mondhatjuk meg, hogy milyen görbe jellemzi 2., Megmérjük az összefüggés szorosságát, ezt a célt szolgálja a korrelációs együttható

14 Kovariancia (sxy): az együttes ingadozás mértékszáma
Korelációs együttható (r): a kovariancia a szórások szorzatával osztva

15 Pozitív hajlásszögű egyenes: b>0, a korrelációs együttható (r) is pozitív lesz, ezt pozitív korrelációnak nevezzük. Negatív hajlásszögű egyenes: a korrelációs együttható is negatív, negatív korrelációról beszélünk r=0 korrelálatlanságról beszélünk, ilyenkor regressziós egyenes vízszintes (b=0) (ilyenkor y átlagos értéke ugyanaz marad, akárhogyan is változik x)

16 A korrelációs együttható csak -1 és +1 közti értékeket vehet fel
A együttható abszolút értéke jellemzi a kapcsolat szorosságát (mennél jobban tömörülnek a pontok az egyenes körül annál nagyobb r abszolút értéke) +1 vagy -1 értéket akkor és csak akkor éri el az együttható, ha a pontok valamennyien rajta fekszenek az egyenesen

17 Két változó együttváltozása lehet, hogy csak egy harmadik változó hatásának eredménye: mindkettejük alakulását az szabályozza, maguk a vizsgált változók azonban semmiféle befolyással nincsenek egymásra Pl.: gyulladásos folyamat lázat és fvs szám növekedést okoz. De sem a láztól a fvs, sem a fvs növekedéstől a testhőmérséklet nem változik

18 Még ha ok-okozati összefüggés áll is fenn a két vizsgált változó között, pusztán korrelációs együttható segítségével akkor sem tudjuk eldönteni hogy melyik befolyásolja a másikat Az ok megkeresése biológiai probléma nem pedig biometriai

19 A korreláció hiánya, a korrelálatlanság (r=0) hasonlóképpen hibás következtetésekre indíthat – mivel a változók közötti kapcsolat hiánya miatt könnyen értelmezhetjük úgy, hogy az adatok függetlenek egymástól Pl.: az életkor függvényében vizsgált összefüggések

20

21 Erre a legjobban közelítő egyenes a vízszintes lesz
Erre az eredményt azonban a legjobban nem az egyenes reprezentálja hanem egy görbe.

22 Nem minden görbevonalú kapcsolat esetén ennyire félrevezető az r együttható segítségével szerzett információ, de ajánlatos azzal mindig óvatosan bánnunk A normális eloszlás fontos kivétel: elméletileg igazolható, hogy ilyenkor vagy lineáris kapcsolat van a változók között vagy semmilyen Normális eloszlás esetén tehát a korrelálatlanság (lineáris kapcsolat hiánya) már biztosítja a függetlenséget.

23 Fordított irányú következtetés viszont mindig helyes: a változók függetlensége esetén a korrelációs együttható mindenképp nulla

24 Bizonyos esetekben az r becsaphat: korrelációt találhatunk ott is ahol valójában függetlenség van, máskor meg kétségkívül fennálló lineáris kapcsolatot „nem veszi észre” a mintából számított r együttható, a mintaelemek speciális elhelyezkedése miatt

25 A körben elhelyezkedő végtelen sok érték közül választunk ki néhányat – a változóból a mintát -, és ezekből határozzuk meg a korrelációs együtthatót. Mivel a kiválasztott pontok véletlenül egy egyenes mentén helyezkednek el, a korrelációs együttható értéke közel lesz az 1-hez . Emiatt arra a következtetésre jutunk, hogy a változók közt szoros kapcsolat van.

26

27 Más esetben a változók értékeit ábrázoló pontokból a köztük lévő lineáris összefüggés nyilvánvaló; a kiválasztott pontok – ismét csak véletlenül – azonban úgy helyezkednek el, hogy rajtuk vízszintes egyenest fektethetünk át. Az így kapott r=0 alapján a változók korrelálatlanságára (sőt gyakran függetlenségére) következtethetünk

28

29 A fenti ellentmondásokat az eddigi módszerekkel már nem tudjuk feloldani.
Statisztikai következtetés módszereinek helyes alkalmazása megvéd az utóbbi kettő tévedéstől.

30 Az eloszlások paramétereire vonatkozó próbák
U próba T (student) próba F próba

31 u-próba He egy ismert σ szórású (normális eloszlású) alapsokaságból vett n elemszámú minta átlagára vonatkozó nullhipotézisünket akarjuk ellenőrizni

32 Átlagsúly kg A súlyok szórása 0.060kg Szignifikancia szint 5% (μp=0.05) Ehhez tartozó kritikus érték: 1.96

33 t-(student) próba T-próbával ellenőrizhetjük két ismeretlen minta középértékeire vonatkozó hipotézisünket, a két mintaátlag különbségének szignifikanciáját. A két mintaátlag különbözősége önmagában nem bizonyítja a két várható érték eltérését, erre a t-próba ad felvilágosítást

34 t-(student) próba A t-próba alkalmazásának előfeltétele, hogy a két valószínűségi változó követi a normális eloszlást, és szórása egyenlő

35

36 F-próba Mind az u-próbánál, mind a t-próbánál feltéteteleztünk valamit a sokaság szórásáról: Az u-próbánál azt, hogy ismert, t-próbánál pedig azt, hogy az összehasonlított sokaságok szórása azonos. A szórással kapcsolatos ezen hipotéziseink ellenőrzésére alkalmas az F-próba

37 F-próba A nullhipotézis itt azt jelenti, hogy két normális eloszlású ismeretlen várható értékű sokaság szórása azonos (σ1=σ2) A két sokaságból vett minta szórásnégyzeteinek hányadosa F-eloszlást követ

38 KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!