TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSA ALAPFOGALMAK.

Az előadások a következő témára: "TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSA ALAPFOGALMAK."— Előadás másolata:

1 TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSA ALAPFOGALMAK

2 A SÍKBELI ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK
ex: x irányú abszolút eltolódás ux, A->B: B-nek A-hoz viszonyított, x irányú relatív eltolódása f(z): z tengely körüli abszolút elfordulás q(z) A->B: B-nek A-hoz viszonyított, z tengely körüli relatív elfordulása SZE - SZT. Agárdy Gyula

3 A SÍKBELI ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK
Az elfordítás az idom minden pontjában azonos elfordulást és a forgásponttól mért távolság és az elfordulás szorzataként adódó eltolódást okoz. Az eltolás az idom minden pontjában azonos eltolódást és zérus elfordulást okoz B C B B’ C C’ B’ C’ A D A=A’ D D’ A’ D’ A pontok elfordulását a ponthoz rögzített lokális koordinátarendszer megfelelő tengelyei közötti szöggel jellemezhetjük. SZE - SZT. Agárdy Gyula

4 AZ ELMOZDULÁSOK „KICSISÉGE”
eAx=k×(1-cosf)~0 eAy=k×sinf~k×tanf~k×frad k A-K e A, x A f K e A e A, y k A-K ×f rad SZE - SZT. Agárdy Gyula

5 A SÍKBELI ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK
A HALADÁSI IRÁNY MEGFORDÍTÁSA A RELATÍV ELMOZDULÁSOK ELŐJELÉT MEGFORDÍTJA! HALADÁSI IRÁNY HALADÁSI IRÁNY SZE - SZT. Agárdy Gyula

6 LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA
Egy láncolat eredeti alakja (az állászögekre nincs korlátozás!) SZE - SZT. Agárdy Gyula

7 LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA
A kezdőpont (abszolút) elfordítása utáni alak f 0 SZE - SZT. Agárdy Gyula

8 LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA
Az 1. pont (relatív) elfordítása utáni alak q 1 SZE - SZT. Agárdy Gyula

9 LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA
A 2. pont (relatív) eltolása utáni alak u 2 SZE - SZT. Agárdy Gyula

10 LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA
A 3. pont (relatív) elfordítása utáni alak q 3 SZE - SZT. Agárdy Gyula

11 LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA
A 4. pont (relatív) eltolása utáni alak u 4 SZE - SZT. Agárdy Gyula

12 LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA
Az 5. pont (relatív) elfordítása utáni alak q 5 SZE - SZT. Agárdy Gyula

13 LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA
A végleges alak SZE - SZT. Agárdy Gyula

14 FOLYTATÁSA KÖVETKEZIK!
SZE - SZT. Agárdy Gyula

15 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
A szilárd anyagú, rugalmas tartószerkezeteken az igénybevételek és az alakváltozások mindig kölcsönösen egyértelmű (függvény)kapcsolatban vannak. Ha tehát valamely tartószakaszon VAN valamilyen belső erő, ott a neki megfelelő DEFORMÁCIÓNAK is lennie kell. (ne feledjük: egy tartószakasznak igénybevétel NÉLKÜL is lehet merevtest-szerű ELMOZDULÁSA de ALAKVÁLTOZÁSA NEM!) SZE - SZT. Agárdy Gyula

16 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
Egy rúdszerkezet infinitezimális szélességű lamelláján a következő (síkbeli) elmozdulás-összetevők értelmezhetők: dz dz dz N T M duy duz dq SZE - SZT. Agárdy Gyula

17 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
Az elmozdulás-összetevők a fajlagos (relatív) elmozdulások segítségével is kifejezhetők: dz dz dz N T M duz=e×dz duy=g×dz dq=k×dz SZE - SZT. Agárdy Gyula

18 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
A fajlagos (relatív) elmozdulások pedig a keresztmetszetre ható igénybevételekből állíthatók elő: dz dz dz N T M duz=(N/EA×dz duy=(rT/GA)×dz dq=(M/EJ)×dz (a T/A az átlagos t feszültséget adja, a km. alakjának eltéréseit a r tényezővel vesszük figyelembe) SZE - SZT. Agárdy Gyula

19 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
Az elemi (infinitezimális szélességű lamellán meghatározott) elmozdulások összetételével az elmozdulás-összetevők véges hosszúságú tartószakaszra is meghatározhatók: uzK1→K2 =K1∫K2 duz= K1∫K2(N/EA)×dz (a T/A az átlagos t feszültséget adja, a km. alakjának eltéréseit a r tényezővel vesszük figyelembe) uyK1→K2 = K1∫K2 duy= K1∫K2(rT/GA)×dz qK1→K2 = K1∫K2 dq= K1∫K2(M/EJ)×dz SZE - SZT. Agárdy Gyula

20 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
Amennyiben a rúd állandó keresztmetszetű és anyaga is homogén, izotrop, a merevségi adatok az integrálásból kiemelhetők, a bentmaradó mennyiség pedig az aktuális igénybevételi ábrának a vizsgált szakaszon vett területe: uzK1→K2=K1∫K2duz= K1∫K2(N(z)/EA)×dz=AN/EA uyK1→K2= K1∫K2duy= K1∫K2(rT(z)/GA)×dz=rAT/GA qK1→K2= K1∫K2dq= K1∫K2(M(z)/EJ)×dz=AM/EJ SZE - SZT. Agárdy Gyula

21 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
A fentiek alapján tehát a relatív elmozdulás-összetevők az igénybevételi ábrák és a merevségi adatok (keresztmetszeti és anyagjellemzők) ismeretében elemi eszközökkel előállíthatók! SZE - SZT. Agárdy Gyula

22 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
A fentiekhez egy fontos tapasztalati kiegészítés: Tartótengelyre merőleges irányú eltolódás akkor is keletkezik, ha a tartószakaszon kizárólag nyomaték működik! Azaz a nyomatéki hatás IS ébreszt tengelyre merőleges eltolódásokat! SZE - SZT. Agárdy Gyula

23 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK
A nyomatéki ábra dz szélességű lamellájának a z koordinátával képzett szorzata valójában a lamella origóra (y tengelyre) vett statikai nyomatékát állítja elő. z M(z)×dz zS súlypont uyK1→K2(M)= [K1∫K2(z×M(z))dz ]/EJ=[AM×zS]/EJ SZE - SZT. Agárdy Gyula

24 FOLYTATÁSA KÖVETKEZIK!
SZE - SZT. Agárdy Gyula

25 TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSA MUNKAEGYENLETEK SEGÍTSÉGÉVEL
SZE - SZT. Agárdy Gyula

26 A MUNKA DEFINÍCIÓJA SKALÁRIS SZORZATA, ill.
A fizikában (és így a Mechanikában is) a MUNKA az ERŐ és az ELTOLÓDÁS szorzata, pontosabban az ERŐ és az irányába eső ELTOLÓDÁS szorzata, még pontosabban: az ERŐ és az ELTOLÓDÁS vektorainak SKALÁRIS SZORZATA, ill. a NYOMATÉK és az ELFORDULÁS vektorainak SKALÁRIS SZORZATA. abszolút elmozdulások esetén: W=F·e + M ·f vagy relatív elmozdulások esetén: W=F·u + M ·q SZE - SZT. Agárdy Gyula

27 WF,F: WQ,F: A MUNKA DEFINÍCIÓJA
Ha a MUNKÁT VÉGZŐ és az ELMOZDULÁST OKOZÓ hatás AZONOS, SAJÁT munkáról, ha a MUNKÁT VÉGZŐ és az ELMOZDULÁST OKOZÓ hatás NEM AZONOS, IDEGEN munkáról beszélünk. A munka W jele után felső indexben adjuk meg először a MUNKÁT VÉGZŐ hatás jelét, majd az ELMOZDULÁST OKOZÓ hatás jelét (saját munka esetében ez a kettő természetesen azonos). WF,F: az F erő által az F erő(rendszer) okozta elmozduláson végzett SAJÁT munka WQ,F: a Q erő által az F erő(rendszer) okozta elmozduláson végzett IDEGEN munka SZE - SZT. Agárdy Gyula

28 WkQ,F: WaQ,F: A MUNKA DEFINÍCIÓJA
Ha a munkát egy külső (aktív vagy passzív) erő végzi a támadáspont (megfelelő irányú és jellegű) elmozdulásán, akkor KÜLSŐ munkáról, ha egy fajlagos (belső) erő, azaz igénybevétel végzi egy dz vastagságú lamellán a fajlagos alakváltozások nyomán kialakuló elemi relatív elmozduláson, akkor ALAKVÁLTOZÁSI (belső) munkáról beszélünk. WkQ,F: a Q erő által az F erő(rendszer) okozta elmozduláson végzett KÜLSŐ munka WaQ,F: a Q erőből származó igénybevételek által az F erő(rendszer) okozta deformációkon végzett ALAKVÁLTOZÁSI munka SZE - SZT. Agárdy Gyula

29 AZ IGÉNYBEVÉTELEK ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA
Az igénybevételek (belső erők) munkája a fajlagos (relatív) elmozdulások segítségével is kifejezhető: dz dz dz T N NQ M MQ TQ duz=e×dz duy=g×dz dq=k×dz dWN=NQ×duz=NQ×e×dz dWT=TQ×duy=TQ×g×dz dWM=MQ×dq=MQ×k×dz SZE - SZT. Agárdy Gyula

30 AZ IGÉNYBEVÉTELEK ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA
Felhasználva a fajlagos belső erők (feszültségek) és a fajlagos alakváltozások közötti (az anyag rugalmassága folytán lineáris) összefüggést, az elemi (infinitezimális szélességű lamellán) az elemi alakváltozási (idegen)munkák így írhatók fel: dWa,NQ,q0=NQ×duz=NQ×e×dz=NQ×(s/E)×dz= dWa,NQ,q0=NQ(z)×N(z)/EA×dz dWa,TQ,q0=TQ×duz=TQ×g×dz= TQ×(t/G)×dz= dWa,TQ,q0=TQ (z) ×r×T(z)/GA×dz (a T/A az átlagos t feszültséget adja, a km. alakjának eltéréseit a r tényezővel vesszük figyelembe) dWa,MQ,q0=MQ×dq=MQ×k×dz= MQ (z) ×M(z)/EJ×dz SZE - SZT. Agárdy Gyula

31 AZ IGÉNYBEVÉTELEK ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA
Amennyiben a rúd állandó keresztmetszetű és anyaga is homogén, izotrop, a merevségi adatok az integrálásból kiemelhetők, a bentmaradó mennyiség pedig a tényleges teherből (q0) és a virtuális dinámból (Q) származó igénybevételi ábrák szorzatintegrálja lesz a teljes tartóhosszon. Wa,NQ,q0=K∫VdWa,NQ,q0= K∫V(NQ (z)×N(z)/EA)×dz Wa,NQ,q0=1/EA× K∫V(NQ (z)×N(z))×dz Wa,TQ,q0=K∫VdWa,TQ,q0= K∫Vr(TQ (z)×T(z)/GA)×dz Wa,TQ,q0=r/GA× K∫V(TQ (z)×T(z))×dz Wa,MQ,q0=K∫VdWa,MQ,q0= K∫V(MQ (z)×M(z)/EJ)×dz Wa,MQ,q0=1/EJ× K∫V(MQ (z)×M(z))×dz SZE - SZT. Agárdy Gyula

32 AZ IGÉNYBEVÉTELEK ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA
Ha két függvényből az egyik a vizsgált intervallumon lineáris, akkor a szorzatintegráljuk a következő lesz: z súlypont zS f(z)×dz z1 z z2 g(z1) g(zS) g(z) g(z2) g(z)=g(z1)+(g(z2)-g(z1))/L×(z-z1) z1∫z2(f(z)×g(z))dz=g(z1)×z1∫z2(f(z)dz+(g(z2)-g(z1))/L×z1∫z2z×f(z)dz-(g(z2)-g(z1))/L×z1×z1∫z2f(z)dz = g(z1)×AM z1→z2 +(g(z2)- g(z1))/L×AM z1→z2 ×zS-(g(z2)-g(z1))/L×z1×AM z1→z2 z1∫z2(f(z)×g(z))dz=AM z1→z2×[g(z1)+(g(z2)-g(z1))/L×(zS-z1)= AM z1→z2 × g(zS) SZE - SZT. Agárdy Gyula

33 ELMOZDULÁSOK MEGHATÁROZÁSA MUNKAEGYENLETEK SEGÍTSÉGÉVEL
a keresett helyen a keresett elmozdulásnak megfelelő VIRTUÁLIS DINÁMot iktatunk be elkészítjük az igénybevételi ábrákat mind az eredeti terhelésből, mind a virtuális dinámból a külső és az alakváltozási (idegen) munkák egyenlőségéből kiszámítjuk az elmozdulást SZE - SZT. Agárdy Gyula