Algebra a matematika egy ága

Az előadások a következő témára: "Algebra a matematika egy ága"— Előadás másolata:

1 Algebra a matematika egy ága
Mit csinálunk az algebrában? Miért tanuljuk az algebrát? Például szöveges feladat megoldása során egyenleteket írunk majd fel. Ezeknek a megoldása során betűs kifejezéseket használunk. A betűs kifejezésekkel műveleteket végzünk. Pl. x + 5 ·(3·x -4). Ez egy többtagú algebrai kifejezés, azaz polinom.

2 Ha az algebrai kifejezésben szereplő tört nevezőjében van változó, akkor azt algebrai törtnek nevezzük. Pl. Ha betűk helyére az alaphalmazból behelyettesítünk számokat és elvégezzük a kijelölt műveleteket, akkor a kifejezés helyettesítési értékét kapjuk. Pl. 3·m-2 esetén, ha m=4, akkor a helyettesítési érték: 10.

3 Az algebrai törteknél előfordul, hogy nincs mindenhol értelmezve a kifejezés. Ugyanis nullával nem osztunk! Azt a legbővebb részhalmazt, ahol az algebrai tört értelmezve van, értelmezési tartománynak nevezzük. Pl. Az alaphalmaz a valós számok halmaza. algebrai tört esetén x – 3 nem lehet nulla. Azaz x nem lehet 3. Így az értelmezési tartomány : A halmazelméletben tanult jelöléssel.

4 Hatványozás A négy alapműveleten kívül van más művelet is. Ilyen a hatványozás. an = a· a· a· a· … ·a ·a (a szorzatban n db tényező van) Bármely nullától különböző szám nulladik hatványa 1, azaz a0 = 1. Negatív kitevő esetén: Pl.

5 A hatványozás azonosságai

6 Két egytagú kifejezést egynemű kifejezésnek nevezünk, ha csak együtthatóikban térnek el egymástól. Pl. 5xy2, -xy2 egyneműek 3xyz, -yzx, 5zxy egyneműek 5a2, 13a2 , -21a2 egyneműek Az egynemű tagokat összevonjuk, azaz az együtthatóikat összeadjuk, és az így kapott együtthatóval leírjuk a kifejezést. Pl. 3xy – (2 - 5xy) = 3xy-2+5xy= 8xy-2

7 Többtagú kifejezések szorzása
Többtagú kifejezések összeszorzását tagonként végezzük el. Minden tagot minden taggal összeszorzunk. Vannak azonban olyan nevezetes azonosságok, amelyek megkönnyítik ezt a szorzást. Két tag összegének négyzete: (a+b)2=a2+2ab+b2 Két tag különbségének négyzete: (a-b)2=a2-2ab+b2 Két tag összegének és különbségének a szorzata: (a+b)(a-b)=a2-b2

8 Kifejezések szorzattá alakítása
Az előbb említett nevezetes azonosságok felhasználásával többtagú kifejezéseket szorzattá tudunk alakítani. Pl. 4x2+12x+9=(2x)2+2·2x·3+32=(2x+3)2 16x4- 9=(4x2)2 – 32=(4x2+3)(4x2-3) Másik lehetőség a szorzattá alakításra a kiemelés. Pl. 12x2-6x=6x(2x-1) Miért jó ez? Mire lehet ezt használni?

9 Polinom gyökeinek meghatározása
A feladat az,hogy egy polinom (2x2-4x) esetén határozzuk meg azokat a valós számokat, amelyeket az x változó helyére helyettesítve a kifejezés értéke nulla lesz. Ezek lesznek a polinom gyökei. Itt jön a szorzattá alakítás felhasználása. Ha szorzattá alakítjuk a polinomot, akkor tudjuk azt használni, hogy egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Pl. 2x2-4x=2x(x-4)=0 . Ebből következik, hogy x=0 vagy x-4=0,azaz x=4. Tehát a polinom gyökei 0 és 4.

10 Műveletek algebrai törtek között
Ha az a feladat, hogy hozzuk egyszerűbb alakra a kifejezést, akkor egyszerűsíteni kell a törtet. Pl. esetén az 1. lépés: Az értelmezési tartomány meghatározása. Ugyanis egy tört nevezője nem lehet nulla! 9a2-4=(3a+2)(3a-2) nem lehet nulla,azaz és Tehát az értelmezési tartomány :

11 2. lépés: A számlálót is szorzattá kell alakítani
2.lépés: A számlálót is szorzattá kell alakítani! Mivel (3a-2) nem lehet nulla, így lehet vele egyszerűsíteni.

12 Műveletek algebrai törtek között
Van amikor algebrai törteket kell összevonni a változók lehetséges értékei mellett, azaz amikor értelmezve van a tört. Pl. 1.lépés: Az értelmezési tartomány meghatározása. Tehát az értelmezési tartomány : 2.lépés Közös nevezőre hozás:

13 Műveletek algebrai törtek között
Az algebrai törtek szorzásánál a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel szorozzuk. Ha lehet egyszerűsítsünk a szorzás előtt. Pl. 1.lépés: Az értelmezési tartomány meghatározása. Tehát az értelmezési tartomány : 2.l.: Végezzük el az egyszerűsítést, majd a szorzást.

14 Az algebrai törtek osztásánál az osztó reciprokával szorzunk
Az algebrai törtek osztásánál az osztó reciprokával szorzunk. Ha lehet egyszerűsítsünk a szorzás előtt. Pl. 1.lépés: Az értelmezési tartomány meghatározása. Az osztó számlálója sem lehet nulla!! Értelmezési tartomány :

15 2. lépés: Tehát az osztó reciprokával szorzunk
2.lépés: Tehát az osztó reciprokával szorzunk. Végezzük el az egyszerűsítéseket is.

16 Egyenlőre ennyit az algebráról
Egyenlőre ennyit az algebráról. A második félévben folytatjuk az egyenletekkel. Jó tanulást!