Egy kis lineáris algebra

Az előadások a következő témára: "Egy kis lineáris algebra"— Előadás másolata:

1 Egy kis lineáris algebra

2 Mátrix fogalma m x n –es mátrix: m sor, n oszlop
Elemek szokásos jelölése: aij i: sor száma j: oszlop száma Mátrixok elnevezése: A, B, C, stb. A = a11 a12 … a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn

3 Mátrixok összeadása + = a11 a12 … a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn b11 b12
b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmn + = a11 + b11 a12 + b12 … a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 a2n + b2n am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn

4 Mátrixok összeadása - feladat
3 8 -3 1 4 6 2 -5 9 1 2 3 -4 5 -8 7 -1 4 -2 + = 4 10 -3 -4 9 -2 8 -6 1 13 3 7

5 Mátrixok összeszorzása
… a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn b11 b12 … b1k b21 b22 b2k bn1 bn2 bnk x = c11 c12 … c1k c21 c22 c2k cm1 cm2 cmk cij = ai1 x b1j + ai2 x b2j + … + ain x bnj

6 Mátrixok összeszorzása
… a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn c11 c12 … c1k c21 c22 c2k cm1 cm2 cmk b11 b12 … b1k b21 b22 b2k bn1 bn2 bnk

7 Mátrixok összeszorzása
1 2 -1 3 1 -1 2 3 4 -2 x = Nincs megoldás!!! Első mátrix oszlopainak száma ≠ Második mátrix sorainak száma

8 Mátrixok összeszorzása
1 2 -1 3 1 -1 2 3 4 -2 x = 7 -6 4 5 -3 6 12 1 1 = (-1)x(-1) + 1 x 1 + 2 x 0 + 1 x (-1)

9 Elemi bázistranszformáció
Lineáris egyenletrendszerek megoldása Inverz keresése

10 Elemi bázistranszformáció
Generáló elemet választunk (≠0) A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből. A generáló elem oszlopa eltűnik.

11 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1

12 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1

13 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

14 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

15 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

16 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

17 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

18 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

19 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

20 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

21 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

22 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

23 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

24 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

25 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

26 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

27 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

28 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

29 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

30 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1 12

31 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1 12 ≠0 ! Lineárisan független

32 Gauss elimináció Cél: Lépcsőzetes alak Sorokat fel lehet cserélni
Sorokat egymásból ki lehet vonni, össze lehet adni, lehet skalárral szorozni

33 Gauss elimináció 1 2 3 -1

34 Gauss elimináció 1 2 3 ~ -5 -1

35 Gauss elimináció 1 2 3 ~ -5 -1 1 2 -5 12

36 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval
x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1

37 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval
x1 x2 x3 e1 e2 e3 1 2 3 -1

38 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval
x2 x3 e1 e2 e3 x1 2 1 -5 -3

39 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval
x3 e1 e2 e3 x1 2 1 x2 -5 -3 12 7 -2

40 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval
x1 -2/12 4/12 x2 -1/12 2/12 5/12 x3 7/12 1/12 x1, x2, x3 sorok sorbarendezése után kész az inverz!

41 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – feladat
x1 x2 x3 e1 -1 1 e2 2 e3 3 -2

42 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – megoldás
x1 2 -2 1 x2 1/2 x3 3 -5/2

43 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – feladat
x1 x2 x3 e1 -1 1 e2 2 e3 -2 Nincs inverze!

44 Lineárisan független Elemi bázistranszformációval minden vektor bevihető a bázisba Szabadsági foka = 0 Semelyik vektor nem írható fel a többi lineáris kombinációjaként Determinánsa ≠ 0 Létezik inverze Rend = Rang A x=0 egyenletnek csak triviális megoldása létezik

45 Lineárisan összefügg Elemi bázistranszformációval nem minden vektor vihető be a bázisba Szabadsági foka > 0 Valamelyik vektor felírható a többi lineáris kombinációjaként Determinánsa = 0 Nem létezik inverze Rend ≠ Rang A x=0 egyenletnek nem csak triviális megoldása létezik

46 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval
x1 x2 x3 b e1 1 2 e2 3 e3 -1

47 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval
x2 x3 b x1 2 1 e2 -5 -1 e3

48 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval
x3 b x1 2 1 x2 -5 -1 e3 12 4

49 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval
x1 4/12 x2 8/12 x3 4/12 8/12 x =

50 Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval
1 2 3 -1

51 Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval
1 2 3 ~ -1 1 2 -5 -1

52 Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval
1 2 -5 -1 ~ 4/12 8/12 1 2 -5 -1 12 4 x =

53 Feladat 1x1 +1x2 -1x3 +2x4 = 8 2x1 -1x2 +1x3 -2x4 -2 -3x1 -2x2 +2x3
-18 -2x1 0x4 -10

54 Feladat x1 2 x2 = 6 + 1 t x3 x4

55 Lineáris egyenletrendszer megoldása inverz segítségével
A x = b – a megoldandó feladat x = A-1 b – a feladat megoldása inverz segítségével

56 Lineáris egyenletrendszer megoldása inverz segítségével
-2/12 4/12 -1/12 2/12 5/12 7/12 1/12 1 2 4/12 8/12 x =

57 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval - feladat
x1 x2 x3 b e1 -1 1 e2 2 e3 3 -2 4 -1/2 11/2 x =

58 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval - feladat
x1 x2 x3 b e1 -3 3 6 1 e2 2 -1 e3 -2 -4 Végtelen sok megoldása van! Szabadsági foka = 1