Geometriai transzformációk

Az előadások a következő témára: "Geometriai transzformációk"— Előadás másolata:

1 Geometriai transzformációk
Szirmay-Kalos László

2 Geometriai transzformációk
(x’,y’) = T(x,y) (x,y) Általában az egyenlet elromlik Korlátozás: Pont, szakasz, sokszög alakzat Pont-, szakasz-, sokszögtartó transzformációk Eltolás, egybevágósági tr., hasonlósági tr. Affin transzformációk = párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe Descartes koordinátákban lineáris művelet Homogén lineáris transzformációk

3 Elemi affin transzformációk
Eltolás: r’ = r + p Skálázás: x’= Sx x; y’= Sy y; Sx Sy [x’,y’] = [x,y] r’ r Fix pont: origó

4 Forgatás [x’,y’] = [x, y] [x’,y’] x = r cosa y = r sina [x,y]
x’ = r cos(a+f) = r cosa cosf - r sina sinf y’ = r sin(a+f) = r cosa sinf + r sina cosf x’ = r cos(a+f) = x cosf - y sinf y’ = r sin(a+f) = x sinf + y cosf [x,y] f r a cos f sin f -sin f cos f Fix pont: origó [x’,y’] = [x, y]

5 Elemi transzformációk
Nyírás: x’= x; y’= y + a x; Tükrözés: a r’ = r r’ = r

6 Más algebrai alap? Idáig (2D-ben) Más lehetőség? Pont = számpár
Eltolás = számpár (vektor) Elforgatás, skálázás, nyírás, stb. = 22-s mátrix Más lehetőség? Pont = komplex szám (z) Eltolás = komplex szám (összeadás): z’ = z + v Forgatás, skálázás (forgatva nyújtás) = komplex szám (szorzás): z’ = z * f , ahol f = r eiφ

7 Összetett transzformáció
Affin transzformáció: r’ = rA + p A: lineáris transzformáció forgatás, skálázás, tükrözés, nyírás, stb. p: eltolás Amíg lineáris transzformáció: konkatenáció r’ = (...(r A1) A2)... An) = r (A1A2... An)

8 Homogén koordinátás transzformációk
Eltolás nem fér bele a 2x2-es mátrixba Dolgozzunk 3x3-as mátrixokkal A a11 a a21 a p1 p [r’, 1] = [r, 1] = [r A + p, 1] p [r’,1] = (...([r,1] T1) T2)... Tn) = [r,1] (T1T2... Tn)

9 Centrális projekció Eltűnő egyenes Ideális Vetítési pontok középpont
képsík tárgysík

10 Euklideszi geometria Axiómák:
2 pont meghatároz egy egyenest 1 ponton keresztül pontosan 1 egyenes megy át, amely nem metsz egy, a pontra nem illeszkedő másik egyenest (párhuzamosság) 2 különböző egyenes legfeljebb 1 pontban metszi egymást centrális projekcióra lyukas (nincsenek ideális pontok) algebrai alap: Descartes koordináta rendszer

11 Projektív geometria Foltozgatjuk az euklideszi geometriát Axiómák
Projektív sík = Euklideszi sík pontjai + ideális pontok Minden egyeneshez vegyünk hozzá egy ideális pontot úgy, hogy két egyenes akkor és csak akkor kapja u.a. pontot, ha párhuzamos Az egyenesek halmazát egészítsük ki az ideális pontokat tartalmazó egyenessel Axiómák 2 pont meghatároz egy egyenest 2 különböző egyenes pontosan 1 pontban metszi egymást algebrai alap: homogén koordináták

12 Homogén koordináták [Xh ,Yh ,h] [0,0,0] nem pont Yh
Összsúly: h = Xh+ Yh + w Pont homogén koordinátái: [Xh ,Yh ,h] w Xh Homogén [0,0,0] nem pont

13 Homogén-Descartes kapcsolat affin pontokra
Xh [1,0]+Yh [0,1]+w[0,0] r(Xh ,Yh ,h) = h Yh r(Xh ,Yh ,h) = ( , ) [0,1] Xh h Yh h w Xh Xh h Yh h [0,0] x = y = [1,0]

14 Következmények ( , ) Minden affin ponthoz van: [Xh ,Yh ,h]
(x, y)  [x, y,1] Ha h  0, akkor [Xh ,Yh ,h] affin pont Xh h Yh h ( , )

15 h=0 (x,y,0) (x,y,1/3) (x,y,1) (2x,2y,1) = (x,y,1/2) y x

16 Párhuzamos egyenesek metszéspontja Descartes koordinátákkal
a1 x + b1 y +c1 = 0 a2 x + b2 y +c2 = 0 x, y a x + b y + c1 = 0 a x + b y + c2 = 0 c1 - c2 = 0  nincs megoldás

17 Párhuzamos egyenesek metszéspontja homogén koordinátákkal
Descartes: a x + by +c = 0 a Xh/h + b Yh/h +c = 0, h0 Homogén: a Xh + b Yh +c h = 0 h0 a Xh + b Yh + c1 h = 0 a Xh + b Yh + c2 h = 0 (c1 - c2) h = 0  h = 0, Xh = b, Yh = -a [b ,-a ,0]

18 Pont: (Xh ,Yh , h) Egyenes: aXh + bYh + ch = 0
Dualitás: Az ideális pontok egy egyenesen vannak: h = 0  0Xh + 0Yh +1h = 0 a b c [Xh ,Yh ,h]· = 0

19 Projektív egyenes paraméteres egyenlete
Egyenes = két pont kombinációja Szakasz = két pont konvex kombinációja X1 w1 [X(t) ,Y(t) ,h(t)]=[X1 ,Y1 ,h1]·t + [X2 ,Y2 ,h2]·(1-t)

20 Homogén lineáris transzformációk
Euklideszi sík affin transzformációi: [x’, y’] = [x, y] A + p Homogén koordináták lineáris függvényei: [Xh’ ,Yh’ ,h’] = [Xh,Yh,h] T + p Homogén lineáris transzformációk bővebbek: a11 a a21 a p1 p T =

21 Homogén lineáris transzformációk tulajdonságai
Pontot-pontba, egyenest-egyenesbe (pontba), konvex kombinációkat, konvex kombinációkba visznek át Példa: egyenest egyenesbe: [X(t) ,Y(t) ,h(t)]=[X1 ,Y1 ,h1]·t + [X2 ,Y2 ,h2]·(1-t) P(t) = P1·t + P2·(1-t) // · T P*(t) = P(t)·T = (P1·T) ·t + (P2·T) ·(1-t)

22 Példa: Euklideszi geometriában nem lineáris transzformáció
q x, y x’, y’ [x, y, 1] [x, y, px+qy] x px+qy y px+qy x/y=x’/y’ és  px+qy=1

23 Veszélyek: átfordulási probléma
Ideális pont =Projektív egyenes (topológia) Szakasz ?????

24 A projektív tér, 3D pontok homogén koordinátái
Zh Összsúly: h = Xh+ Yh + Zh + w Pont homogén koordinátái: [Xh ,Yh ,Zh,h] w Yh Xh Homogén

25 A projektív tér egyenesei és síkjai
[X(t),Y(t),Z(t),h(t)]=[X1,Y1,Z1,h1]·t + [X2 ,Y2,Z2,h2]·(1-t) Euklideszi, Descartes koord: nx x + ny y + nz z + d = 0 Euklideszi, homogén koord: nx Xh/h + ny Yh/h + nz Zh/h +d = 0 Projektív: nx Xh + ny Yh + nz Zh +d h = 0 nx ny nz d [Xh ,Yh ,Zh,h]· = 0

26 Invertálható homogén lineáris transzformációk síkot síkba visznek át
P T P* = P·T T-1 (P*·T-1)·NT = 0 P*·(T-1·NT) = 0 P*·(N·(T-1)T)T = 0 P*·N*T = 0 P·NT = 0 N*=N·(T-1)T Inverz-transzponált

27 Projektív geometria a számítógépes grafikában
Projektív tér Világ: Euklideszi tér [x,y,z]  (x, y,z,1) (Xh ,Yh ,Zh ,h) (T1T2... Tn) Projektív tér Kép: Euklideszi tér [ , , ] Xh h Yh h Zh h