Készítette: Péteri Dénes

Az előadások a következő témára: "Készítette: Péteri Dénes"— Előadás másolata:

1 Készítette: Péteri Dénes
A π meghatározása Készítette: Péteri Dénes

2 A π általános tulajdonságai
Valós szám (R) Irracionális (Q*) Transzcendens a kör kerületének és átmérőjének aránya ( ) Egységnyi sugarú kör kerülete

3 A π jelölése A görög ábécé tizenhetedik betűjével jelöljük (π)
Görög neve: περιφέρεια = periféria, kerület körkörös állandó Archimedes-i állandó Ludolph-féle szám

4 A π számértéke Matematikában vagy fizikában általában csak néhány tizedesjeggyel szokás számolni (3,14), de a tizedesjegyek száma végtelen. Modern számítástechnikai módszerekkel már több mint egymilliárd tizedesjegyig kiszámították az értékét. A π értéke helyiértékig:

5 A π története

6 A π története

7

8

9 A π kiszámított helyes helyiértékeinek száma 263–1949-ig

10 A π számítógéppel való kalkulációja

11

12 A π kiszámított helyes helyiértékeinek száma 1949–2004-ig

13 Archimedes sokszögesítési módszere
A körbe és a kör köré írt szabályos sokszögek vizsgálatával

14 A körbe írt szabályos 2n oldalú sokszög vizsgálata

15 A körbe írt szabályos 2n oldalú sokszög vizsgálata

16 A körbe írt szabályos 2n oldalú sokszög vizsgálata
=> n – 1 db négyzetgyök

17 A körbe írt szabályos 2n oldalú sokszög vizsgálata
A 2n oldalú beírt szabályos sokszög kerülete: n – 1 db négyzetgyök

18 Sokszögesítési módszer
Liu Hui (263) 29*6 oldalú sokszög

19 Végtelen sorozatok Leibniz-féle sor:
1400 körül - Madhava of Sangamagrama 17. sz. – Gottfried Leibniz Egy átalakított változata:

20 Végtelen sorozatok Viéte-féle sor François Viète (1593) Wallis-formula
John Wallis (1655)

21 Végtelen sorozatok Isaac Newton (1665) – 16 tizedesjegy Machin-formula
John Machin (1706) – 100 tizedesjegy ahol

22 Végtelen sorozatok Euler-féle sor Leonhard Euler (1735)
Euler egyik másik képlete:

23 Végtelen sorozatok William Brouncker lánctörtje:
Csebisev-sorok (1957): Egy szimmetrikus formula (1997):

24 Bailey-Borwein-Plouffe formula
Simon Plouffe David H. Bailey, Peter Borwein A képlet lehetővé teszi, hogy kiszámoljuk a π n-edik bináris (vagy hexadecimális) számjegyének kiszámítását anélkül, hogy ki kéne számolni az előző jegyeket.

25 PiHex Distributed computing project (1998-2000) Bellard formula:
1998. augusztus 30. – 5*1012-tól 5* ig: 1999. február 9. – 4*1013-tól 4* ig:

26 PiHex 2000. szeptember 11. – 1015-től 1015+60-ig:
A legutolsó mérés 56 különböző országban lévő 1734 számítógép felhasználásával, 1,200,000 CPU óra alatt történt. A 1,000,000,000,000,060. helyen álló 1-es a π kiszámított legkisebb helyiértéken álló számjegye.

27 Ramanujan-képletek Srinivasa Ramanujan (1910):
Ramanujan képleteivel 14 tizedesjegyet lehet generálni számításonként. Chudnovsky testvérek - 1,011,196,691 tizedesjegy

28 Brent–Salamin algoritmus
Richard Brent, Eugene Salamin 25 iteráció kell ahhoz, hogy 45 millió helyes tizedesjegyhez jussunk. Yasumasa Kanada - 206,158,430,000 tizedesjegy

29 K. Takano és F. C. W. Störmer algoritmusa
Machin algoritmusát fejlesztették tovább K. Takano (1982): F. C. W. Störmer (1896): E két képlet alapján számolta ki Yasumasa Kanada 2004-ben 1,351,100,000,000 tizedesjegyig a π-t. Ez a legtöbb tizedesjegy, amit valaha kiszámítottak.

30 Programok a π kiszámítására
PiFast - Xavier Gourdon (2003) QuickPi - Steve Pagliarulo PdPi – Péteri Dénes (2009)

31 PdPi Leibniz-féle sor spi: számított π értéke n: számítások száma
el: előjel spi:=spi+4*el/(2*n-1)

32 PdPi A program letöltehtő: http://petden_wow.extra.hu/pdpi.exe
A forráskód letölthető: További információk: