A matematikai logika alapjai

Az előadások a következő témára: "A matematikai logika alapjai"— Előadás másolata:

1 A matematikai logika alapjai

2 1. feladat Amikor Kati, Mari és Zsuzsi találkoznak, nevetve állapítják meg, hogy blúzuk fazonja teljesen egyforma, csak mindenkié más színű: piros, kék illetve zöld. Melyiküknek milyen színű a blúza, ha - Kati blúza nem kék - Mari blúzának színe vagy zöld vagy kék - Zsuzsi blúza se nem piros, se nem zöld.

3 2. feladat Andrásnak, Bélának, Krisztiánnak és Dánielnek együtt van egy cicájuk, egy kutyájuk, egy haluk és egy kanárijuk. Bélának egy bundás állata van, Dánielnek egy négylábú állata, Krisztiánnak egy madara, míg András és Béla nem szereti a cicákat. Kinek milyen állata van?

4 3. feladat Négy gyerek ajándékot vásárolt az édesanyjának. Az egyikük eldugta az ajándékot. András: Nem én dugtam el! Borbála: Nem én dugtam el! Cecilía: Dani dugta el! Dani: Borbála dugta el! Ki dugta el az ajándékot, tudva, hogy csak egyikük hazudik.

5 4. feladat Sherlock Holmes egy gyilkosság tettesét keresi. A nyomozás során négy gyanúsítottat hallgat ki, akik közül az egyik hazudik, a másik három igazat mond: Smith: - Nem én voltam, az biztos. Jones: - Robinson volt a gyilkos. Robinson: - Howard tette. Howard: - Robinson hazudik, ha azt állítja, hogy én voltam. Kit vádolt meg a kihallgatás után Sherlock Holmes? Írd le, hogyan gondolkoztál!

6 5. feladat Négy szerénység – Szeréna, Szergej, Szervác, Szeráf – szerényen következőket mondták: Szeréna: Szergej a legszerényebb. Szergej: Szervác a legszerényebb. Szervác: Nem én vagyok a legszerényebb. Szeráf: Nem én vagyok a legszerényebb. A négy állítás közül csak egy volt igaz. A négy szerénység közül ki a legszerényebb?

7 6. feladat Egy matematikaverseny előtt így nyilatkozott az öt résztvevő: Anna: Dóri a második lesz, én a harmadik. Bea: Első leszek, Cili a második. Cili: Harmadik leszek, Bea lesz az utolsó. Dóri: Második leszek, Eszter lesz a negyedik. Eszter: Negyedik leszek, Anna lesz az első. Állítsátok össze a verseny helyezési listáját, ha mindegyik lánynak csak az egyik jóslata vált be, és nem alakult ki holtverseny. Indokold meg a választ!

8 7. feladat Okoska, Tréfi, Ügyi és Törpilla egy verseny után a következőket mesélik Törpapának: Tréfi: Nem én lettem az első. Okoska: Törpilla nyert. Ügyi: Tréfi nyert. Törpilla: Nem tréfi nyert. Ki nyerte a versenyt, ha a négy törpe közül pontosan egy mondott igazat, és nem alakult ki holtverseny? Indokold meg a választ!

9 Kijelentés Értelmezés: A matematikai kijelentés olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen eldönthető logikai értéke. Logikai érték: igaz (1) vagy hamis (0) Példák: A Föld a Nap körül kering. A bálna emlősállat. 4 osztható 3-mal. - Az x szám osztható 2-vel. A gyerekek szeretik a spenótot.

10 Logikai műveletek Kijelentések tagadása A Mars a Nap körül kering.
A Mars nem a Nap körül kering. p ┐p 1

11 Logikai műveletek Kijelentések konjunkciója A Föld a Nap körül kering.
A Hold a Nap körül kering. A két kijelentés konjunlciója: A Föld a Nap körül kering és a Hold a Nap körül kering. p q pq 1

12 Logikai műveletek Kijelentések diszjunkciója
A Föld a Nap körül kering. A Hold a Nap körül kering. A két kijelentés diszjunkciója: A Föld a Nap körül kering vagy a Hold a Nap körül kering. p q pq 1

13 Logikai műveletek Kijelentések implikációja A Föld a Nap körül kering.
A Hold a Nap körül kering. A két kijelentés implikációja: Ha Föld a Nap körül kering, akkor a Hold a Nap körül kering. p q pq 1

14 Logikai műveletek Kijelentések ekvivalenciája
A Föld a Nap körül kering. A Hold a Nap körül kering. A két kijelentés ekvivalenciája: Ha Föld a Nap körül kering, akkor és csak akkor, ha a Hold a Nap körül kering. p q pq 1

15 8. feladat Igazold, hogy: a) ┐(┐p)  p b) ┐(p  q)  (┐p)  (┐q)
c) ┐(p  q)  (┐p)  (┐q) d) (p  q )  r ≡ (p  r )  (q  r) e) pq ≡ (┐q)  (┐p) f) (pq)  (qr) ≡ pr