Modellezés Feladatok TanórákÉrtékelés Észrevételek.

Az előadások a következő témára: "Modellezés Feladatok TanórákÉrtékelés Észrevételek."— Előadás másolata:

1 Modellezés Feladatok TanórákÉrtékelés Észrevételek

2 Mi a modellezés? Modellezés Feladatok TanórákÉrtékelés Észrevételek 2

3 1. rész Betekintés a modellezés világába 3

4 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 4 Különféle valóságalapú feladatok átgondolása Feladatok jellemző vonásainak megvitatása Kritériumok megfogalmazása, amelyek alapján megkülönböztethetjük a modellezési feladatokat más valóságalapú feladatoktól Célok

5 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 5 Kritériumok a modellezési feladatok felismeréséhez A modellezési folyamat áttekintése Eredmények

6 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 6 2. gyakorlat Az adott szituációk jellemzőinek megbeszélése 3. gyakorlat Gondolatok és vélemények megbeszélése [kis csoport] [teljes csoport] 1. gyakorlat Az adott szituációk kidolgozása 4. gyakorlat Kritériumok megfogalmazá sa [teljes csoport] Az alkalom szerkezete

7 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 7 Néhány feladat megoldása 1. gyakorlat

8 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 8 1. feladat: „Aláírással az új törvény ellen” Nemrégiben 2006 április 25-én az egyik spanyol ellenzéki párt 4.000.000 összegyűjtött aláírást nyújtott be az országgyűlésnek a kormány egy új törvény javaslata ellen. Minden spanyol újság lehozta a fotókat a hatalmas ládákról és a tíz teherautóról, amely az aláírásokkal teli papírlapokat szállította a parlamentbe. Szerinted politikai célra használták a hatalmas felhajtást, vagy a sok doboz és teherautó valóban szükséges volt a 4.000.000 aláírás elszállításához?

9 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 9 Egészségük védelme érdekében az embereknek korlátoznia kellene erőfeszítéseiket pl. sportolás közben, hogy szívük ne lépjen túl egy adott szívverési frekvenciát (vagyis szívük ne verjen túl szaporán). Éveken keresztül az egyén életkor szerinti maximális ideális pulzusszámának megállapításához a következő képletet használták: maximális ideális pulzusszám = 220 – életkor Újabb keletű kutatások eredményei szerint azonban e képlet némi módosításra szorul. Az új számítási mód a következő: maximális ideális pulzusszám = 208 – (0.7 x életkor) Egy újságcikk leszögezte: “Az új képlet használata a régi helyett azt eredményezi, hogy az életkor szerinti maximális ideális pulzusszám fiatalok esetében kissé csökken, idősebbek esetében pedig kissé emelkedik.” Mi az az életkor, amikortól kezdve a maximális ideális pulzusszám kissé emelkedni kezd az új számítási mód bevezetésének eredményeképp? Számolj be munkádról! 2. feladat: „szívdobbanás” Forrás: www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdfwww.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf

10 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 10 3. feladat: zenei fesztivál A kortárs előadóművészetek Glastonburryben rendezett fesztiválja (Glastonbury Festival of Contemporary Performing Arts) a legnagyobb szabadtéri zenei és előadó-művészeti fesztivál a világon. 2005-ben a fesztivál számára elkerített terület meghaladta a 3,6 km²-t, és a rendezvény több, mint 385 élő előadásnak adott otthont. A fesztivál látogatói közül sokan sátrat hoztak magukkal, hogy a fesztivál területén aludhassanak. A fesztivál rendezőinek korlátozniuk kellett a belépőjegyek számát, illetve a fesztivál területén felállítható sátrak számát annak érdekében, hogy garantálni tudják a helyszín biztonságát. Milyen tanácsot adnál a rendezőknek? Köszönet: Logan1138, Wikimedia Commons

11 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 11 4. feladat: Földgáz 1993-ban a világ földgáz tartalékait kb. 141,8 milliárd m 3 -re becsülték. Azóta évente átlagosan 2,5 milliárd m 3 -t használtunk fel. Számold ki, hogy várhatóan mikorra merülnek ki a földgáz tartalékok! Használj különböző feltételezéseket, s modelleket! Indokold minden lépésedet! © Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren im Unterricht. Cornelsen Verlag, Berlin Köszönet: Stan Shebs, Wikimedia Commons Feladat: © 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren

12 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 12 5. feladat: Húsvéti tojásvadászat Dániel 23 tojás talált, boldogan mosolygott, mert így kilenccel több tojása volt, mint Krisztiánnak. Janka még boldogabban mosolygott, ő ugyanis pontosan annyi tojásra lelt, mint Dániel és Krisztián együttesen. Hány tojást talált Janka?

13 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 13 6. feladat: szomszédok Szerinted hányan laknak ebben a háztömbben? © Maaß, Katja (2009): Mathematisches Modellieren im Grundschulunterricht. Cornelsen Verlag, Berlin A névtáblák a bejárati csengő mellett: Kép: © Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematikunterricht weiterentwickeln

14 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 14 Csoportokban hasonlítsák össze a megoldásaikat  Melyek a különbségek?  Melyek az azonosságok?   Ötleteiket a megadott táblázatokban jegyezzék le! (használjanak új táblázatot minden egyes feladathoz) 2. gyakorlat

15 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 15 Feladatok megbeszélésének irányelvei A feladat kontextusa Milyenatematikaiismereteket tartalmaz / igényel Várt megoldások A feladatmegoldó tevékenységének főbb jellemzői

16 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 16 Milyen azonosságokat / különbségeket tud felfedezni a fenti feladatok között? Kontextus Matematikai tudás Várt megoldások A feladatmegoldó tevékenysége 3. Gyakorlat - megbeszélés

17 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 17 A feladat kontextusával kapcsolatban A matematikai tudással kapcsolatban A várt megoldásokkal kapcsolatban A feladatmegoldó tevékenységével kapcsolatban Megállapítások

18 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 18 Milyen jellemző vonások kellenek ahhoz, hogy egy feladatot modellezési feladatnak tekintsünk? A Kontextus Matematikai tudás Várt megoldások A feladatmegoldó tevékenysége 4. Gyakorlat – kritériumok megfogalmazása vonatkozásában ?

19 2. rész A modellezési folyamat leírása 19

20 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 20 Azon problémamegoldó folyamatok áttekintése, amelyeket az első rész során használt. Ezen folyamatok összefoglalása egy közös sémába. Egy olyan lehetséges séma felvázolása, amelyet a modellezési folyamat jellemzésére használhatunk. A modellezési folyamat megismerése. Célok

21 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 21 A modellezési folyamat leírása Eredmények

22 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 22 2. gyakorlat Gondolatok és vélemények megbeszélése [kis csoport][teljes csoport] 1. gyakorlat A saját probléma- megoldási folyamatának áttekintése A foglalkozás szerkezete

23 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 23 Csoportmunka: Tekintsék át újra az eddig megoldott feladatokat! Hogyan haladtak a megoldás felé? Elemezze saját problémamegoldó tevékenységét általános szinten! Ábrázolja a (kapott) folyamatokat összesítve egyetlen ábra segítségével! [ 1. feladat – 2.feladat – 3.feladat – 4.feladat – 5. feladat – 6. feladat ]1. feladat 2.feladat 3.feladat 4.feladat 5. feladat 6. feladat 1. gyakorlat

24 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 24 Bevezetés a modellezési folyamat leírásába “Valós világ” “Matematikai világ” 1 2 3 4 5 5 Valós probléma Matematikai probléma Matematikai megoldás Valós megoldás A modellezési ciklus (A PISA tanulmányból, 2003)

25 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 25 Az ábrák áttekintése Milyen azonosságokat / különbözőségek fedezhetők fel ezek között? 2. Gyakorlat – gondolatok megosztása

26 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 26 “Valós világ”“Matematikai világ” 1 2 3 4 5 5 Valós probléma Matematikai probléma Matematikai megoldás Valós megoldás A modellezési ciklus (A PISA tanulmányból, 2003) 1.Induljunk ki egy valódi életből vett problémából. 2.Keressük meg benne a matematikai tartalmat és azonosítsuk a szükséges matematikai ismereteket. 3.Fokozatosan fejtsük le a valóság elemeit olyan folyamatok segítségével, mint pl. feltételezések, általánosítás és formalizálás, amelyek előtérbe helyezik a szituáció matematikai vonásait és a valós problémát olyan matematikai problémává alakítják, amely hitelesen reprezentálja a szituációt 4.A matematikai probléma megoldása 5.Értelmezzük a matematikai megoldást a valós szituációra vonatkoztatva 1 2 3 4 5 Bővebb leírás… Bővebb leírás… Példák… Példák…

27 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 27 Lényeges megjegyzések A modellezési ciklus nem algoritmus Sok esetben szükséges előretekinteni a következő lépésre, illetve visszanézni az előzőre Adott esetben többször is végig kell menni a cikluson (tudniillik a modellezési cikluson), hogy megoldjuk a problémát Több megoldás lehetséges Sok esetben a megoldás a feladatot megoldó személytől függ “Valós világ”“Matematikai világ” 1 2 3 4 5 5 Valós probléma Matematikai probléma Matematikai megoldás Valós megoldás

28 Extra diák 1. rész: betekintés a modellezés folyamatába 28

29 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 29 A feladat kontextusát tekintve Valós és autentikus?Érdekli a diákokat?A diákok világából való 1. feladat IgenLehetségesIgen 2. feladat Nem biztosLehetséges 3. feladat IgenLehetséges 4. feladat IgenLehetségesIgen 5. feladat NemValószínűleg nemBiztosan nem 6. feladat IgenLehetséges Vissza a megállapításokhoz

30 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 30 A felhasznált matematikai ismereteket tekintve Vissza a megállapításokhoz Különleges és előzetesen teljesen megtervezett? Elősegíti a különféle matematikai ismeretek használatát 1. feladat Nem Becslés, aritmetikai számítások, mértékegységek, geometria 2. feladat Igen Lineáris függvények 3. feladat Nem Becslés, aritmetikai számítások, mértékegységek, geometria 4. feladat Nem Becslés, aritmetikai számítások, mértékegységek, geometria, függvények 5. feladat Igen Aritmetika 6. feladat Nem Becslés, aritmetikai számítások

31 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 31 A várható megoldások tekintetében Vissza a megállapításokhoz Egy vagy több? A várható megoldás természete A kiindulási kontextus és a megoldás közti kapcsolat 1. feladatTöbb Egy szám, egy intervallum, egy állítás Releváns 2. feladatEgyEgy számReleváns 3. feladatTöbbMéretek, intervallumReleváns 4. feladatTöbb Számok, intervallumok, állítások, függvények, különféle elképzelések leírása Releváns 5. feladatEgyEgy számEgyáltalán nem releváns 6. feladatTöbbSzámok, intervallumokReleváns

32 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 32 A feladatmegoldó tevékenységét tekintve Vissza a megállapításokhoz „Egyetlen és optimális” megoldási menet Felfedezés, hipotézis alkotás, különböző munkamódszerek keresése, értelmezése és értékelése a megoldásoknak… ? 1. feladat NemIgen 2. feladat IgenNem 3. feladat NemIgen 4. feladat NemIgen 5. feladat IgenNem 6. feladat NemIgen

33 Extra diák 2. Rész: A modellezési folyamat leírása 33

34 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 34 A “való életből vett problémától” a “matematikai problémáig” (1, 2, 3) (horizontal mathematization, De Lange, 1987) felismerni a problémához tartozó matematikai eljárást tekintettel a való világba ágyazott problémára; másképpen bemutatni a problémát, beleértve annak matematikai fogalmak szerinti értelmezését és megfelelő feltételezések megadását. megérteni a viszonyt a probléma nyelvezete és a között a szimbolikus és formális nyelv között, amely azért szükséges, hogy matematikailag is megértsük azt; megtalálni a szabályszerűségeket, összefüggéseket és feltételrendszereket; felismerni azokat a viszonyokat, amelyek azonos szerkezetűek már ismert problémákkal; lefordítani a matematika nyelvére; azaz egy matematikai modellre. Modellezés (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 A modellezési ciklus (PISA, 2003)

35 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 35 Munka a „matematika világában” (4) (vertical mathematization, De Lange, 1987) Különböző ábrázolások használata és az azok közötti váltás Szimbolikus, formális és technikai nyelv és műveletek használata Matematikai modellek finomítása és összhangba állítása Modellek összekapcsolása és értelmezése Érvelés, indoklás; általánosítás. Modellezés (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 A modellezési ciklus (PISA, 2003)

36 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 36 Visszatérés a való életből vett szituációhoz (5) (a megoldás és a modell értelmezése, értékelése) A matematikai fogalmak kiterjedésének és érvényességi körének megértése A matematikai érvelés átgondolása, illetve az eredmények magyarázata és igazolása A megoldási folyamat és a megoldás közlése; A modell és a modell korlátainak bírálata. Vissza a prezentációhoz Modellezés (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 A modellezési ciklus (PISA, 2003)

37 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 37 Példák  1. feladat: Aláírással az új törvény ellen 1. feladat: Aláírással az új törvény ellen  2. feladat: Szívdobbanás 2. feladat: Szívdobbanás

38 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 38 1. példa: Aláírással az új törvény ellen Vissza a prezentációhozA feladat szövege Feladatok 1   Modellezés task (all the cycle and steps have to be considered) “Valós világ” “Matematikai világ” 1. feladat  Modellezési feladat (a teljes ciklust és az egyes lépéseket is át kell gondolni) “Valós világ” “Matematikai világ” 1 2 3 1 2 3 44 55 55 Real-world probléma Collecting signatures Carrying them to the Congress Are 11 vans really needed? Real-world probléma Aláírásgyűjtés Elszállítani az országgyűléshez Tényleg szükséges 11 teherautó? Matematikai probléma How may sheets of paper? What is the volume occupied bynsheets of paper? Matematikai probléma Hány papírlap? Mekkora térfogatot tesz ki npapírlap? Matematikai megoldás Arithmetic calculations Calculating a volume Matematikai megoldás Számítások Térfogatszámítás Realmegoldás Comparing volumes (nsheets of paper vs. 11 vans) Arguing about the situation Realmegoldás Térfogatok kiszámítása (n n papírlap - 11 teherautó) Vita és érvelés

39 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 39 2. Példa: szívdobbanás Vissza a prezentációhozA feladat szövege Feladatok 2   Application task (steps 2 and 3 do Nemt have to be considered: the Matematikai model is provided) “Valós világ” “Matematikai világ” 2. feladat  Alkalmazási feladat (a 2. és 3. lépést nem kell megfontolnunk: a matematikai modell adott. “Valós világ” “Matematikai világ” 1 2 3 1 2 3 44 55 55 Real-world probléma Two math. models (linear) and a qualitative statement are given. Which age onwards does the new model increase the recommended frequency given by the old Egy? Real-world probléma Két matematikai modell (lineáris) és egy értékelő állítás adott. A régi modellhez képest az új szerint mely életkortól kezdve kezd emelkedni a max. ideális pulzus szám? Matematikai probléma Comparison of two functions: x / 220–x < 208–0,7x? Matematikai probléma Két függvény összehasonlítása x / 220–x < 208–0,7x? Matematikai megoldás Solving a linear inequality: x > 40 Matematikai megoldás Egy lineáris egyenlőtlenség megoldása x>40 Realmegoldás Interpreting this inequality in terms of age and recommended max. heart rate. Realmegoldás Az egyenlőtlenség értelmezése a kor és a max. ideális pulz. szám tükrében

40 Extra diák Feladatok 40

41 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 41 1. feladat: „Aláírással az új törvény ellen” Nemrégiben 2006 április 25-én az egyik spanyol ellenzéki párt 4.000.000 összegyűjtött aláírást nyújtott be az országgyűlésnek a kormány egy új törvény javaslata ellen. Minden spanyol újság lehozta a fotókat a hatalmas ládákról és a tíz teherautóról, amely az aláírásokkal teli papírlapokat szállította a parlamentbe. Szerinted politikai célra használták a hatalmas felhajtást, vagy a sok doboz és teherautó valóban szükséges volt a 4.000.000 aláírás elszállításához?

42 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 42 Egészségük védelme érdekében az embereknek korlátoznia kellene erőfeszítéseiket pl. sportolás közben, hogy szívük ne lépjen túl egy adott szívverési frekvenciát (vagyis szívük ne verjen túl szaporán). Éveken keresztül az egyén életkor szerinti maximális ideális pulzusszámának megállapításához a következő képletet használták: maximális ideális pulzusszám = 220 – életkor Újabb keletű kutatások eredményei szerint azonban e képlet némi módosításra szorul. Az új számítási mód a következő: maximális ideális pulzusszám = 208 – (0.7 x életkor) Egy újságcikk leszögezte: “Az új képlet használata a régi helyett azt eredményezi, hogy az életkor szerinti maximális ideális pulzusszám fiatalok esetében kissé csökken, idősebbek esetében pedig kissé emelkedik.” Mi az az életkor, amikortól kezdve a maximális ideális pulzusszám kissé emelkedni kezd az új számításimód bevezetésének eredményeképp? Számolj be munkádról!. 2. feladat: „szívdobbanás” Forrás: www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdfwww.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf

43 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 43 3. feladat: zenei fesztivál A kortárs előadóművészetek Glastonburryben rendezett fesztiválja (Glastonbury Festival of Contemporary Performing Arts) a legnagyobb szabadtéri zenei és előadóművészeti fesztivál a világon. 2005-ben a fesztivál számára elkerített terület meghaladta a 3,6 km²-t, és a rendezvény több, mint 385 élő előadásnak adott otthont. A fesztivál látogatói közül sokan sátrat hoztak magukkal, hogy a fesztivál területén aludhassanak. A fesztivál rendezőinek korlátozniuk kellett a belépőjegyek számát, illetve a fesztivál területén felállítható sátrak számát annak érdekében, hogy garantálni tudják a helyszín biztonságát. Milyen tanácsot adnál a rendezőknek?

44 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 44 4. feladat: Földgáz 1993-ban a világ földgáz tartalékait kb. 141,8 milliárd m 3 -re becsülték. Azóta évente átlagosan 2,5 milliárd m 3 -t használtunk fel. Számold ki, hogy várhatóan mikorra merülnek ki a földgáz tartalékok! Használj különböző feltételezéseket, s modelleket! Indokold minden lépésedet! © Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren im Unterricht. Cornelsen Verlag, Berlin

45 Tanórák Modellezés Mi a modellezés? Miért modellezünk? 45 6. feladat: szomszédok Szerinted hányan laknak ebben a háztömbben? © Maaß, Katja (2009): Mathematisches Modellieren im Grundschulunterricht. Cornelsen Verlag, Berlin A névtáblák a bejárati csengő mellett: