TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁSA

Az előadások a következő témára: "TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁSA"— Előadás másolata:

1 TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁSA
Dr. Kovács Sándor Gazdaságmatematika

2 ÁTTEKINTÉS A feltételek egyenlőségek A feltételek egyenlőtlenségek
Lagrange módszer A feltételek egyenlőtlenségek A. Grafikus módszer B. Szimplex módszer Az előadások / gyakorlatok diáinak kidolgozása során jelöljön ki kulcsszavakat amelyeket az ellenőrző kérdésekhez hiperhivatkozásként kapcsoljon a kérdéshez. Művelet leírása BESZÚRÁS OBJEKTUM HIPERHIVATKOZÁS súgóban.

3 1) A feltételek egyenlőségek Lagrange módszer
Úgy keressük az f(x), xD(Rn) n-változós függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg a gi(x)=0 (i=1,2,...,m) formában adott egyenlőségek is teljesüljenek. Lagrange féle multiplikátorok módszere (szükséges feltétel): Ha az f(x) függvénynek feltételes szélsőértéke van az „a” pontban, akkor az f(x) függvényből, a gi(x)=0 feltételekből és a λi skalárokból (a Lagrange-multiplikátorokból) képzett F(x)= f(x)+ ∑i=1m λi gi (x) Lagrange függvény összes parciális deriváltja zérus lesz az „a”-ban: F’xi(a)= (i = 1,2,...,n)

4 Fordítva viszont nem igaz az állítás.
Ezért az f(x) függvény feltételes szélsőérték helyeit az alábbi n+m egyenletből álló egyenletrendszer megoldásai között kell keresni: F’xi(x)= (i = 1,2,...,n) gi(x) = (i = 1,2,...,m) A kapott lehetséges szélsőérték helyek közül logikai/szakmai meggondolásokkal választjuk ki a tényleges szélsőérték helyeket. Ezeket az f függvénybe helyettesítve kapjuk a feltételes szélsőértékeket.

5 Példák: Egy 36 dm2 területű, téglalap formájú lemezből maximális térfogatú, egyenes hasáb formájú etetőt készítünk. Milyenek legyenek a lemez oldalai? Mekkora szélességű sáv felhajtásával készíthető a kívánt etető? Jelölje x,y a lemez oldalait, z a felhajtás méretét! V(x,y,z)=(x-2z)(y-2z)z maximumát keressük xy-36=0 (xy=36) feltétel mellett A Lagrange függvény: F(x,y,z)=(x-2z)(y-2z)z +λ(xy-36) Innen F’x(x,y,z)= yz-2z2+ λy=0 F’y(x,y,z)= (x-2z)z+ λx=0 F’z(x,y,z)= -2(yz-2z2)+(x-2z)(y-4z)=0 xy=

6 Ebből a lehetséges szélsőértékhelyek (x,y,z>0 mellett): a1(6,6,3) és a2(6,6,1)
a1(6,6,3) helyen a szélsőérték V(6,6,3)=0 dm3, ami a függvény feltételes minimuma, a2(6,6,1) helyen a szélsőérték V(6,6,1)=16 dm3, ami a függvény feltételes maximuma A feltétel, xy=36 mindkét esetben teljesül.

7 2. Az f(x1,x2,x3)=x12+3x1x2+2x22+4x1+0.5x32+12 függvénynek hol van szélsőértéke, ha a változókra adott feltételek x1+x2+x3=4 és x1-x3=2 Az egyszerűbb írás miatt használjuk x,y,z-t változókként! A Lagrange függvény: F(x,y,z)=x2+3xy+2y2+4x+0,5z2+12+λ1(x+y+z-4)+λ2(x-z-2) A 3+2 egyenletből álló homogén egyenletrendszer: F’x(x,y,z)=2x+3y+4+ λ1+λ2=0 F’y(x,y,z)=3x+4y+ λ =0 F’z(x,y,z)= z+ λ1 -λ2=0 g1(x,y,z)= x + y+ z =0 g2(x,y,z)= x z =0 Az egyenletrendszer megoldása: a(4,-2, 2) Itt minimuma van a függvénynek: f(4,-2, 2)=30 A feltételek is teljesülnek.

8 3. Kísérleti adatokból megállapították, hogy három növény 1 ha-ra eső termelési értékét (TÉ) háromféle műtrágyakeverék függvényében az f1(x1), f2(x2) és f3(x3) függvények jellemzik. A növényeket egy gazdaság a, b, c ha-on termeszti Az össz-TÉ függvény f(x1,x2,x3)=a f1(x1)+b f2(x2) +c f3(x3). Kérdések: milyen műtrágya keverék mennyiségek mellett lesz az össz-TÉ a legnagyobb? mennyi az össz-TÉ, ha a műtrágya költségre K0 Ft-ot fordíthatunk (a keverékek egységárai k1, k2, k3)? Válaszok: f(x1,x2,x3)=a f1(x1)+b f2(x2) +c f3(x3) szélsőértéke az ehhez tartozó műtrágya költség: K(x1,x2,x3)=ax1k1+bx2k2 +cx3k3 Ha K K0 Ft, akkor feltételes szélsőértéket számolunk: F(x1,x2,x3)= f(x1,x2,x3)+( K- K0) Lagrange függvénnyel

9 2) A feltételek egyenlőtlenségek
Induljunk ki az alábbi feladatból: mely termékekből mennyit termeljen egy vállalkozás a rendelkezésre álló erőforrások működtetésével, hogy a legnagyobb eredményt (árbevételt, jövedelmet) érje el. Az ehhez szükséges optimális termékszerkezetet keressük. Pl.: Két termék 1-1 darabjának előállításához szükséges erőforrások (nyersanyag, élő munka, gépi munka): az elsőhöz 3; 4; 2egység, a másodikhoz 2; 0; 4egység. Ezekből összesen felhasználható 18; 16; 24 egység(kapacitás). A termékeken a fajlagos jövedelmek 4 ill. 2 eFt/db. Hány darab készüljön a termékekből, hogy - a rendelkezésre álló kapacitásokat ne lépjük túl (feltételek) - az összes jövedelem maximális legyen (szélsőérték).

10 Jelölje x1, x2 a termékek mennyiségét
A matematikai modell: - A korlátozó feltételek: x1, x2 0 egyik termék száma sem lehet negatív 3x1+2x2 18 nyersanyagra 4x 16 élő munkára 2x1+4x2 24 gépi munkára - A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: z=4x1+2x2=max célfüggvény Ezen feltételes szélsőérték feladatnál tehát úgy keressük az - un. cél - függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg az egyenlőtlenségek formájában adott feltételek is teljesüljenek.

11 Ha az alábbi jelöléseket használjuk:
ahol - x a program vektor - A a technológiai mátrix (egységnyi termékhez szükséges erőforrás) - c a fajlagos eredmények vektora (Pl. egységnyi termék ára) -b a kapacitás ( a felhasználható erőforrások mértéke) akkor a matematikai modell az alábbi rövidebb formában is írható: Az ilyen feladatok a matematikai programozás tárgykörébe tartoznak.

12 Ha a változók mindenütt első fokon szerepelnek, akkor lineáris programozásról vagy LP feladatról beszélünk. Mi a következő esetekkel foglalkozunk: 2 változós LP feladat: megoldása grafikus módszerrel 2-nél több változós LP feladat: megoldás szimplex módszerrel

13 A. Grafikus módszer A megoldás lépései:
Ábrázoljuk az x1, x2 tengelyű Descartes koordináta rendszerben a feltételeket. Írjuk az egyenlőtlenségeket tengelymetszetes alakba. A feltételek által kijelölt tartomány közös pontjai – ha léteznek – adják a lehetséges megoldások L halmazát.

14 Egy halmaz konvex, ha bármely két pontjával, az azokat összekötő szakasz pontjait is tartalmazza. L-nek ilyennek kell lenni. Extremális vagy sarokpontoknak nevezzük egy halmaz azon pontjait, melyek nem belső pontjai egyetlen, halmazban levő szakasznak sem (pl. ábránkon az O(0,0), A(4,0), P(4,3) pontok)

15 További lépések: Ábrázoljuk a célfüggvényt néhány értékénél, pl. 12, 16-nál! Mindig párhuzamos, de nagyobb függvényérték esetén az origótól távolabbi egyenest kapunk. Toljuk el egy kiválasztott célfüggvény képét az origótól legtávolabbi olyan távolságba, amikor még van közös pontja az L halmazzal. A kapott közös pont(ok) koordinátái, adják a feladat megoldását (a maximum helyet). A megoldás vektor koordinátáit a közös pontot meghatározó feltétel egyenletek egyenletrendszerként való megoldásával kapjuk.

16 A megoldások lehetséges száma
egy, ha csak egy közös pont van végtelen sok, ha az eltolt célfüggvény egyenes egybeesik L valamely határoló egyenesével nincs megoldás, ha L üres halmaz, vagy nem korlátos konvex halmaz A célfüggvénybe helyettesítve számíthatjuk ki a célfüggvény maximumának értékét. Ellenőrízzük a kapacitások kihasználtsági szintjét!

17 Másik típus: minimum számítási feltételes szélsőérték
Példa: Két takarmány fajlagos táplálóanyag tartalmát és ezekből egy állat napi szükségleteit (Pl. kJ-ban) a táblázat tartalmazza: Megnevezés Takarm Takarm.2 Napi szüks. tápanyag tápanyag tápanyag Fajl.ktg(Ft/kg) Mennyit adjunk az egyes takarmányokból, hogy - a napi szükséglet az egyes tápanyagokból biztosítva legyen - a takarmányozási költség a legkisebb legyen

18 A matematikai modell: A korlátozó feltételek: Egyik mennyiség sem lehet negatív x1,x2 0 Tápanyag1-re x1+x2 6 Tápanyag2-re x1 +4x2 12 Tápanyag3-ra x24 A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: Célfüggvény z=5x1+6x2=min A feladat grafikus módszerrel megoldható, a megoldás az ábráról leolvasható.

19 Példa: 1 m2-n termelt két növény keményítőből és fehérjéből 0,3; 0,1 ill. 1,5; 0,1 egységnyit tartalmaz. Egy állat napi szükséglete ezen tápanyagokból 6 ill. 0,9 egység. Mekkora az a legkisebb terület, melyen az állat napi szükséglete megtermelhető? Megoldás: végtelen sok x1 [0;6.25], x2=9-x1 z=9

20 B. Szimplex módszer A szimplex módszer a bázistranszformációt alkalmazva a változókhoz az extremális pontok koordinátáit rendeli olyan sorrendben, hogy a célfüggvény értéke ne csökkenjen. A feladat matematikai modellje: x,b 0 gazdasági feladatoknál teljesül! Ax  b z(x)=c’x=max Az ilyen feladat neve: normál feladat Ax  b -t egyenlőséggé alakítjuk  Ax+u = b, ahol u 0 Az u hiányváltozók (u=b-Ax) megadják az aktuális x program esetén még megmaradó erőforrásokat.

21 Először az induló szimplex táblát készítjük el:
Ezen a táblán végezzük a bázistranszformációt. A tábla bal oldalán: A programba vont változók jelei: induláskor u, később x is A célfüggvény negatívjának jele A tábla jobb oldalán: A programban levő változók értékei A célfüggvény negatívjának értéke Induláskor: x=0, u=b, z=0 x’ u A b -z c’

22 A megoldás lépései: 1. generáló elemet választunk a legnagyobb célfüggvény együttható oszlopából (z gyorsan nőjön) maxcj aij j. oszlopból 2. generáló elem csak pozitív szám lehet: aij 0 3. szűk keresztmetszetnél választunk generáló elemet: mini bi / aij  i. sorbeli elem a j. oszlopból így nem használunk a meglevőnél többet a kapacitásokból 4. Elvégezzük az elemi bázistranszformációt (a bázisból kikerülő vektor koordinátáit is megadjuk az új bázisra) Az 1-4 lépéseket ismételjük, amíg van pozitív elem a célfüggvény sorában

23 5. Különben leolvassuk a megoldást:
x: az optimális programban levő változók értéke u: a fel nem használt kapacitások értéke z: a célfüggvény optimális értéke

24 Példák: Oldjuk meg szimplex módszerrel a korábbi, grafikus módszerrel már megoldott feladatot! Figyeljük meg az egyes transzformációs lépésekhez tartozó extremális pontokat, a szélsőérték alakulását! x=0 → „O” pont u’=(18, 16, 24) z=0 x’=(4, 0) → „A” pont u’=(6, 0, 16) z=16 0. x1 x2 b u1 3 2 18 u2 4 16 u3 24 -z 1. u2 x2 b u1 -3/4 2 6 x1 1/4 4 u3 -1/2 16 -z -1 -16

25 2. u1 u2 b x2 -3/8 1/2 3 x1 1/4 4 u3 1 -2 -z -1/4 -1 -22 x’=(4, 3) → „P” pont u’=(0, 0, 4) z(4,3) =22 optimális tábla, maximum Szimplex módszer: zO<zA<zP

26 A rendelkezésre álló kapacitás ezen erőforrásokból 60 ill. 40 egység.
2) Négy növény termesztéséhez szükséges fajlagos (1 ha-ra eső) munkaerő és gép szükséglet 2; 2; 2; 0 ill. 0; 1; 0; 1 egység. A rendelkezésre álló kapacitás ezen erőforrásokból 60 ill. 40 egység. A növények fajlagos jövedelme 10; 10; 6; 4 eFt/ha. Milyen területen termeljük a növényeket, ha A munkaerő és gép kapacitásokat nem léphetjük túl Maximális jövedelmet szeretnénk elérni Az induló tábla: x=0 u’=(60, 40) z=0 0. x1 x2 x3 x4 b u1 2 60 u2 1 40 -z 16 20 6 4

27 Az első transzformáció után: x’=(30; 0; 0; 0) u’=(0; 40) z= 480
A második transzformáció után: x’=(30; 0; 0; 40) u’=(0; 0) z= 640 maximum A célfüggvény sorában nincs pozitív szám, a tábla optimális, a feltételek teljesülnek (100%-os erőforrás kihasználtság) a tábla belsejében a felesleges értékeket már nem számoltuk ki) 1. u1 x2 x3 x4 b x1 1/2 1 30 u2 40 -z -8 -6 -10 4 -480 0. u1 x2 x3 u2 b x1 30 x4 1 40 -z -8 -10 -4 -640

28 További példák 1. Elosztási feladatok xij  0
j xij = ti  (i= 1,…,m) i xij = rj  0 (j= 1,…,n) i ti = j rj i j cijxij = min Ide tartozik a klasszikus szállítási feladat: m számú Fi feladóhelyen ti mennyiségű homogén termék (pl. szén, tégla, cukorrépa, üres vasúti kocsi, stb) n számú Rj megrendelőnek rj mennyiségű igénye az adott termékből / szolgáltatásból a kínálat és a kereslet egyenlő Milyen minimális költség mellett lehet a feltételek mellett az igényeket kielégíteni, ha xij az i. feladótól a j. megrendelőhöz szállítandó mennyiség cij a fajlagos szállítási költség

29 A matematikai modell: x11+x12+x13+x =50 x21+x22+x23+x24 =40 x31+x32+x33+x34 =30 x x21 + x31 =40 x x x32 =10 x x23 +x33 =60 x x x34=10 600x11+400x x34 =min

30 Az Excel megoldás:

31 2. Pénzügyi termékválaszték modell
Egy cég egy negyedévben kétféle terméket állít elő három megmunkálógépen. Ismert a fajlagos gépigény, a gépkapacitás valamint a termékek egységára ill. termelési költsége. A termelés pénzügyi fedezetéhez felhasználható a cég saját 700 eFt-ja max 300 eFt banki kölcsön, 5%-os negyedévi kamatra Kérdések: Mennyit termeljen a termékekből és mennyi kölcsönt vegyen fel a cég, hogy a termelés hozama a lehető legnagyobb legyen? Mennyi a termelés összes pénzszükséglete?

32 Mat. modell: x1, x2, x3  a termékek , a felvett hitel 5 x1+3 x2  3 x1+4 x2  a gépkapacitásokra 2 x1+ x2  x3  a bankhitel 1,0 x1 + 0,8x2  x3 a költség és fedezete 1,4 x1+1,1x2 - (1,0 x1 + 0,8x2 +0,05 x3) a célfüggvény

33 Excel megoldás: Term1 Term2 Hitel Rel. Kapac. Tény gép1 5 3 <= 5000
<= 5000 gép2 4 4000 3000 gép3 2 1 2000 hitel 300 saját+hitel 0,8 -1 700 hozam 0,4 0,3 -0,05 eredmény 385 megoldás 1000 0,0

34 Behajthatatlan követelés valószínűsége
3. Banki kölcsönzés Egy bank legfeljebb 100 millió Ft kölcsönt kíván nyújtani az alábbi területeken és feltételekkel: Kamat (%) Behajthatatlan követelés valószínűsége Személyi kölcsön 14 0,10 (10%) Autó kölcsön 13 0,07 (7%) Lakás kölcsön 12 0,03 (3%) Mezőgazdasági kölcsön 12,5 0,05 (5%) Kereskedelmi kölcsön 10 0,02 (2%) További feltételek: A mg-i és kereskedelmi kölcsönök összege a teljes pénzalap legalább 40 %-át tegyék ki (más pénzintézetekkel így tudnak versengeni) A személyi, autó és lakás kölcsönök együttesének legalább a felét a lakás kölcsönök adják (a térség lakásépítő iparának fejlesztését kívánják segíteni) A behajthatatlan követelések az összes kölcsön 4 %-át ne haladják meg Hogyan ossza meg a bank a kölcsönre szánt összeget a kölcsöntípusok között, ha célja a nettó bevételének (kamat – behajthatatlan követelés) maximalizálása?

35 Mat. modell: x1, x2, x3, x4  0 a nemnegativitási feltétel x1+x2 +x3+ x4+ x5  a kölcsönök összegére x4+ x5  40 x1+x2 -x3  0 x3  0,5 (x1+x2 +x3)- ból 0,1 x1+0,07 x2 +0,03x3+ 0,05x4+0,02 x5  4 a behajthatatlan követelések arányából 0,04 x1+0,06 x2 +0,09 x3+0,075 x4+0,08 x5 a célfüggvény (kamatbevételek – behajthatatlan követelésekből)

36 Excel megoldás: személyi autó lakás mg-i keresk-i reláció kapacitás
személyi autó lakás mg-i keresk-i reláció kapacitás pénzalap 1 <= 100 mg-i és keresk-i >= 40 lakáskölcsönre -1 behajthatatlan 0,1 0,07 0,03 0,05 0,02 4 kamat-behajthatatlan 0,04 0,06 0,09 0,075 0,08 8,304 megoldás 0,0 60

37 ÖSSZEFOGLALÁS Keressük egy többváltozós függvény szélsőértékét, amikor a 1. A feltételek egyenlőségek formájában adottak Lagrange függvény: F(x)= f(x)+ ∑i=1m λi gi (x) F’xi(x)= (i = 1,2,...,n) gi(x) = (i = 1,2,...,m) logikai/szakmai meggondolásokkal választjuk ki a tényleges szélsőérték helyeket. Ezeket az f függvénybe helyettesítve kapjuk a feltételes szélsőértékeket. 2. A feltételek egyenlőtlenségek formájában adottak A) 2 változós LP feladat: megoldása grafikus módszerrel - ábrázoljuk a lehetséges megoldások L halmazát - ábrázoljuk a célfüggvényt egy tetszőleges értéknél - e célfüggvényt párhuzamosan eltolva L határáig, megkeressük az optimális megoldást

38 B) 2-nél több változós LP feladat: megoldás szimplex módszerrel
Felírjuk az induló táblát, majd a szabályok betartásával addig végezzük a bázistranszformációt, míg az optimális táblához nem jutunk. Az optimális táblából leolvasható az x program vektor, az u kapacitás vektor és a z célfüggvény értéke.

39 ELLENÖRZŐ KÉRDÉSEK Mikor alkalmazzuk a Lagrange módszert feltételes szélsőérték meghatározásra? Mi a módszer lényege? Mikor beszélünk matematikai – ezen belül lineáris – programozásról? Hogyan adható meg egy maximum számítási LP feladat mátrixos formában? Mikor alkalmazható a grafikus módszer, mik a megoldás-hoz vezető lépések, hány megoldás lehetséges? Milyen formájú az induló szimplex tábla, mikor érjük el az optimális táblát, hogyan olvasható le az x, az u vektorok ill. a célfüggvény értéke?