12. A díjtartalék számítása

Az előadások a következő témára: "12. A díjtartalék számítása"— Előadás másolata:

1 12. A díjtartalék számítása
Banyár József 12. A díjtartalék számítása A díjtartalék (hivatalos szóhasználattal: életbiztosítási matematikai tartalék) fogalmát csak a hagyományos életbiztosításokra használjuk. A BEK biztosítások gyakorlatilag ugyanilyen funkciót betöltő, de technikailag némiképp eltérően kezelendő tartalékát BEK biztosítások tartalékának nevezzük, megkülönböztetve az általában vett életbiztosítási matematikai tartaléktól. Itt elsősorban a hagyományos biztosítások tartalékáról lesz szó, de a fejezet végén, külön alfejezetben beszélni fogunk a BEK biztosítások tartalékáról is. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

2 Banyár József: Életbiztosítás 12.
A ekvivalencia-egyenletet a biztosítás t-edik évének végére vonatkoztatjuk. Jelölések: Bt1: a t-edik időpontig (tehát pontosan a t-edik időpontban esedékes már nem) befolyt bevételek tőkésített összege; Kt1: a t-edik időpontig nyújtott kárkifizetések tőkésített összege; Bt2: a lejáratig még várt bevételek diszkontált összege; Kt2: a lejáratig nyújtandó kárkifizetések diszkontált várható értéke, A díjtartalék számítása általában Mikor a díjszámításról szóló fejezetben levezettük a nettó díjak képleteit, akkor a kiindulópontunk az ekvivalencia egyenlet, vagyis a kiadások és a bevételek diszkontált várható értékének az egyenlősége volt. Nyilvánvaló azonban, hogy ennek az egyenlőségnek nem csak a biztosítás kezdetekor, hanem a tartam bármely időpontjában fenn kell állnia (természetesen erre az időpontra diszkontálva, illetve felkamatolva a megfelelő mennyiségeket). Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

3 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Ebből: A fenti egyenlet bal oldala nem más, mint az eddig befolyt bevételeknek a kárkifizetések után fennmaradt feleslege, a jobb oldal pedig az a többlet, amivel a jövőbeli kárkifizetések meghaladják a jövőben várható bevételeket. Mindkét oldal az adott időpontban kalkulált díjtartalékot mutatja, és egyben számítási eljárásokat is ad ennek kalkulálásához. Mégpedig a számítások kétféle módon végezhetők: 1.      Az ún. retrospektív (visszatekintő) díjtartalék-számítási módszer elvét mutatja a baloldal (Bt1 - Kt1), miszerint a tőkésített bevételekből levonjuk a felkamatolt kiadásokat, és ezzel megtudjuk, hogy mekkora a bevételekből a még várható kiadásokra felhalmozott rész. 2.      Az ún. prospektív (előretekintő) díjtartalék-számítást pedig a jobb oldal (Kt2 - Bt2) mutatja. Eszerint a még várható kiadások értékéből kell levonni a még várható bevételek értékét, és ezzel megkapjuk azt a pénzmennyiséget, aminek tartalékban kell lennie ahhoz, hogy a biztosító teljesíteni tudja a jövőben még várható kötelezettségeit. A gyakorlatban mindig azt a megoldást alkalmazzuk, amelyik célszerűbb. Ez a legtöbb esetben a prospektív módszer, ezért az alábbiakban előbb az e módszer szerint levezetett képleteket fogjuk közölni, és csak néhány esetben mutatjuk meg, hogy a retrospektív módszer is ugyanarra az eredményre vezet. [1] A későbbiekben megadunk retrospektív képleteket is, de ezek – ellentétben a prospektív képletekkel – rekurzívak lesznek. A retrospektív módszer főleg a csoportos biztosítások díjtartalékának a számításakor hasznos, illetve akkor, ha valamely év díjtartalékának a nagyságából közvetlenül akarjuk kiszámítani a szomszédos év díjtartalékát (ez összefügg a rekurzív jelleggel is!). A retrospektív díjtartalék-képletek jobban megmutatják, hogy milyen tényezők eredőjeként annyi a díjtartalék, amennyi, tehát egyfajta eligazító szerepük is van.     [1] Meg kell jegyezni, hogy lehetnek olyan esetek, olyan konstrukciók, mikor a prospektív és a retrospektív számítás eltérő eredményre vezet. Ilyenkor fontossá válik a két számítási eljárás azon elvi különbsége, hogy a retrospektív módszer a múltbeli tényleges díjbevétel és kár alapján számított tartalékot adja, a prospektív módszer viszont a jövőbeli folyamatok elõrebecslése. Ha a múltban is és a jövőben is minden folyamat az eredeti kalkuláció szerint zajlott, illetve zajlik, akkor nincs különbség a két számítás eredménye között. Retprospektív Prospektív Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

4 Az évfordulós prospektív díjtartalék számítása
Banyár József Az évfordulós prospektív díjtartalék számítása A kockázati biztosításra: Az eddigi ismereteink segítségével egy kicsit pontosabban is meghatározhatjuk a Kt2, illetve Bt2 értékeit. Mégpedig: ·         Kt2: a jövőbeli kárkifizetések diszkontált értéke nem más, mint az a nettó egyszeri díj, amiért az eredetivel megegyező típusú és biztosítási összegű biztosítást a most már x+t éves biztosított a hátralévő n-t év (vagy élethossziglani) tartamra megköthetne. (Ez a meghatározás nem igaz azon biztosításokra, ahol a biztosítási összeg függ a t-től.) Vagyis az egyszeri nettó díj és Kt2 tulajdonképpen ugyanazt fejezi ki. ·         Bt2: a jövőbeli bevételek diszkontált értéke a rendszeres díjas biztosítások esetében nem más, mint azon időleges, előleges járadék tőkeértéke, amelynek járadéktagja a biztosítás éves díja, a biztosított belépési kora a biztosított jelenlegi tényleges kora, vagyis x+t, a járadék tartama pedig a biztosításból hátralévő tartam, vagyis n-t év. Az egyszeri díjas biztosítások esetében egyszerűbb a dolgunk, mint a rendszeres díjasoknál, mert ekkor úgy vehetjük, hogy Bt2 = 0, hiszen ekkor az egyszeri díj tartam eleji befizetése után már nem várunk több bevételt. A fentieknél kicsit bonyolultabb a helyzet, ha a biztosítás összege és/vagy díja az eltelt évek függvényében változik, illetve a díj-visszatérítéses biztosításoknál. Ezekre külön megfontolások érvényesek, természetesen az alapegyenlet, a Bt1 - Kt1 = Kt2 - Bt2 változatlan érvényessége mellett. A díjtartalék nagyságát a t-edik biztosítási év végén -vel jelöljük. Az, hogy Vt az év "végén" mutatja a díjtartalékot, többek között azt is jelenti, hogy a pontosan a t-edik időpontban bekövetkezett változásokat - például az akkor beérkezett díjat - Vt nem jelzi. Ugyanakkor, a rendszeres díjas biztosításoknál, ha fontos kihangsúlyozni, hogy az évfordulós díjtartalék a díjfizetés előtti, vagy utáni állapotot mutatja, bevezetünk egy további jelölést is (de csak akkor alkalmazzuk, ha szükséges!). Eszerint az évfordulós díjtartalék a díjfizetés előtt (ami tehát az alapértelmezés, ha nem használjuk ezt a külön jelölést!): , a díjfizetés után pedig: . Az alábbiakban ezeket a Vt-ket, szokásunkhoz híven, 1 Ft biztosítási összegre adjuk meg. Meg kell még jegyeznünk, hogy több biztosítótársaság ún. "konzervatív" módon számítja a díjtartalékokat. Ezen azt értik, hogy a díjtartalék számítása során a biztosított belépési korát 1 évvel magasabbnak veszik a ténylegesnél, illetve a (betegség, foglalkozás stb. miatti) koremelés révén figyelembe vett "technikai" kornál. Az egyéves koremelés az alábbi képletek logikáját és formáját nem érinti. Az elérési biztosításra: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

5 Banyár József: Életbiztosítás 12.
A vegyes biztosítás díjtartaléka: Az egyszeri díjas azonnal induló életjáradék-biztosítás: Mivel ez a képlet teljesen egyértelmű, és a konkrét biztosítások esetében korábban már minden szükséges részeredményt levezettünk, ezért most eltekintünk a részletes díjtartalék-képletek ismertetésétől. A rendszeres díjas biztosításokra általában: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

6 A díjtartalék változása – rekurzív, retrospektív díjtartalék képletek
Banyár József A díjtartalék változása – rekurzív, retrospektív díjtartalék képletek Az egyszeri díjas biztosítások díjtartalékának változása Az általánosított termék Gyakran van szükség arra, hogy felírjuk, hogy egyik évről a másikra milyen tényezők eredményeként változik meg a díjtartalék. Ez a szokásos prospektív képletekben rejtve marad, ezért szükséges, hogy azokat némiképpen átalakítsuk rekurzív jellegűvé (vagy ha úgy tetszik, retrospektív szemléletűvé). Mivel nagyon tanulságosak, ezért ezekkel a rekurzív, retrospektív díjtartalék-képletekkel – és értelmezésükkel – részletesebben is foglalkozunk. Módszerünk egyszerűen az, hogy az ismert prospektív képletek segítségével számítjuk azok változását egyik évről a másikra, és az eredmény egy rekurzív, retrospektív szemléletű képlet lesz. Előbb az egyszeri díjas díjtartalék-képletek átalakítását végezzük el, hiszen a rendszeres díjas biztosítások díjtartalékát ezek segítségével lehet levezetni. Itt természetesen nincs szükségünk arra, hogy megkülönböztessük a díjfizetés előtti és utáni díjtartalékot! A díjtartalék változását a korábban már bemutatott általánosított termék díjtartalékára nézzük meg úgy, hogy annak elemeit egyenként is elemezzük. Az általánosított termék díjtartaléka a (t+1). évben: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

7 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Az elérési biztosítás Értelmezés: Tudjuk, hogy az egyszeri díjas elérési biztosítás díjtartaléka az egyik évről a másikra két tényező miatt változik: A meglévő díjtartalék kamatozása A meghaltak díjtartalékának az élőkre jutó része Ennek megfelelően, a következő évi díjtartalékot az előzőből úgy kapjuk meg, hogy az előző évi díjtartalékot felkamatoljuk, és az év alatt elhunyt dx+t fő díjtartalékát az lx+t+1 élő között osztjuk fel. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

8 Banyár József: Életbiztosítás 12.
A haláleseti biztosítás Értelmezés: Az egyszeri díjas kockázati biztosítás évfordulós díjtartalékát az előző évfordulós díjtartalékból úgy kapjuk meg, hogy azt kamatoztatjuk év végéig, és levonjuk belőle a haláleseti összeg ezen szerződésre jutó részét, a haláleset időpontjából (év közepe) felkamatolva az év végére, és mindezt korrigáljuk (növeljük), mivel az elhunytak megmaradt díjtartaléka (év végén) szétosztásra kerül a még élők között. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

9 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Más formában Értelmezés: az előző képlethez képest az év végére felkamatolt előző évi díjtartalékból most egyetlen additív tag korrekciójával kapjuk meg a következő évfordulós díjtartalékot. Ennek az additív tagnak a magyarázata: az év közben elhunytak év végére felkamatolt haláleseti szolgáltatásait szétosztjuk (levonjuk) a még év végén élők díjtartalékából. A haláleseti szolgáltatás pedig nem más, mint a haláleseti összegből levonva az elhunyt év eleji díjtartalékának haláleset időpontjára felkamatolt értékét (hiszen ezt nem a veszélyközösségnek kell „állnia”!). Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

10 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Vagy: Egy kicsit tovább alakítva kapjuk az elérésihez hasonló szerkezetet: Értelmezés: év eleji díjtartalékot felkamatoljuk az év végére. Az elhunytak év eleji díjtartaléka felkamatolt értékének egy szerződésre jutó értékét hozzáadjuk ehhez, majd levonjuk a meghaltaknak nyújtott szolgáltatás év végére felkamatolt értékének egy szerződésre jutó mértékét. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

11 Az egyszeri díjas díjvisszatérítéses elérési biztosítás esetében:
Banyár József Az egyszeri díjas díjvisszatérítéses elérési biztosítás esetében: (Pontosabban az egyszeri díjas díjvisszatérítéses elérési biztosítás azon technikai jellegű változata, amiből a rendszeres díjas változatot származtatják, esetében:) Mindjárt az elején pontosítani szükséges, hiszen itt nem az egyszeri díjas díjvisszatérítéses elérési biztosításról lesz szó, hanem annak technikai jellegű változatáról, amiből a rendszeres díjas változatot származtatják. Vagyis a „díj” amit itt visszatérítünk nem maga az egyszeri díj, hanem egyfajta számított rendszeres bruttó díj a fentiek szerint: A díjtartalék maga[1]: (12.13.) A díjtartalék változása: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

12 Banyár József: Életbiztosítás 12.
(12.14.) Értelmezés: Megállapíthatjuk, hogy ebben az esetben is ugyanúgy értelmezhetjük az eredményt, mint a haláleseti életbiztosítás esetében tettük, hiszen a haláleseti összeg a t. évforduló után a bruttó díj (t+1)-szerese, ami év közepén esedékes. Megjegyzés: Mivel a haláleseti összeg a díjfizetés megtörténtétől függ, itt már lenne értelme jelölni a díjfizetés előtti és utáni állapotot a díjtartalékban. A fenti képletek ennek megfelelően a díjfizetés előtti állapotot mutatják (hiszen az évfordulón még a régi haláleseti összeget mutatja, ami épp akkor ugrik!). Az időleges, előleges járadékbiztosítás retrospektív tartalékképlete (12.15.) [1] Hogy önmagában is értelmes legyen, ezért nem csak SAP-hoz tartozó tagot vizsgáljuk, hanem – bizonyos értelemben újra – az SAM-hoz tartozót is! Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

13 Az időleges, előleges járadékbiztosítás retrospektív tartalékképlete
Banyár József Az időleges, előleges járadékbiztosítás retrospektív tartalékképlete Értelmezés: az év eleji díjtartalékot felkamatoljuk. A meghaltak felkamatolt díjtartalékát szétosztjuk az élők között. Az élőknek nyújtott szolgáltatás felkamatolt értékét szétosztjuk és levonjuk az év végén még életben lévők díjtartalékából. Megjegyzés 1: Az eddigiekhez képest új elem tűnt fel, az életbenléti szolgáltatás. Ennek kezelése csak annyiban különbözik a haláleseti szolgáltatásétól, hogy más kör kapja: az év elején még élők, nem pedig az év közben meghaltak; és máskor: év elején, nem év közben. Megjegyzés 2: Ugyan itt nincs díjfizetés, de egy ahhoz nagyon hasonló dolog, járadékfizetés van. Tehát itt is indokolt lehet az évfordulós díjtartalék megkülönböztetése aszerint, hogy az a járadékfizetés előtti vagy utáni tartalék. A fentiekben természetesen a járadékfizetés előtti tartalékot vizsgáltuk, tehát akár használhattuk volna a szimbólumot is! Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

14 Egyszeri díjas biztosítások díjtartalékának változása általában
Banyár József Egyszeri díjas biztosítások díjtartalékának változása általában SA : haláleseti szolgáltatás – AA: járadékszolgáltatás Egyesítve a fenti díjtartalék képleteket, azt mondhatjuk, hogy ha egy egyszeri díjas biztosításban csak elérési, haláleseti és járadék-szolgáltatás van, akkor az alábbi képletet kapjuk. (12.16.) Az alábbi megszorításokat alkalmaztuk a képlet felírása során: ·         SAD 0 vagy 1, vagy valami más, attól függően, hogy elérési, kockázati, vagy vegyes biztosításról, vagy esetleg valami másról van szó. ·         AA 1, vagy 0, attól függően, hogy előleges járadékbiztosításról[1], vagy nem járadékbiztosításról (illetve járadék-elemet nem tartalmazó biztosításról) van-e szó. ·         a haláleset feltételezett időpontja mindig év közepe[2] ·         a járadékfizetés időpontja mindig év eleje ·         a fenti képlet mindig a díjtartalék járadékfizetés előtti értékét mutatja. ·         Az egyszeri díjas à terme fix esetében természetesen semmiféle díjtartalékok közti átcsoportosítás nincs, így annak a képlete egyszerűen: Értelmezés: Az eddigieknek, mintegy summázataként: az év eleji díjtartalékot (a járadékfizetés előtti értéket) felkamatoljuk. Hozzáadjuk az elhunytak felkamatolt díjtartalékának egy szerződésre jutó hányadát. A meghaltaknak kifizetett szolgáltatás felkamatolt értékét szétosztjuk az év végén még élők között. Az év elején élők számára kifizetett járadékszolgáltatás felkamatolt értékét szintén szétosztjuk az év végén még élők között. [1] Utólagos járadékot esetünkben nem szükséges vizsgálni, illetve az általában visszavezethető az előleges esetre. [2] Vagyis itt eltértünk a díjszámításnál kifejtett gyakorlattól, de egyben be is mutattuk a másik szokásos egyszerűsítő feltevést. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

15 A rendszeres díjas biztosítások retrospektív
Banyár József A rendszeres díjas biztosítások retrospektív díjtartalék képlete – zillmerezés nélkül A díjfizetés előtti és utáni tartalékok közötti összefüggés: A fentiekből, anélkül, hogy a különböző biztosításokat egyenként megvizsgálnánk, általánosan le tudjuk vezetni a rendszeres díjas biztosítások rekurzív díjtartalék képletét – egyelőre zillmerezés nélkül, amit majd külön is megvizsgálunk. Mivel a rendszeres díjas biztosítások általában nem szoktak járadékszolgáltatást nyújtani, ezért az AA-s tagot kihagyjuk az alábbi képletből. A díjfizetés fontos momentum, ezért ezt hangsúlyozandó használjuk a korábban kifejtett alul-, illetve felülvonásos jelölést. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

16 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Felhasználva az egyszeri díjas biztosítások díjtartalékára vonatkozó általános képletünket és a járadékbiztosításokra vonatkozó fent kifejtett összefüggéseket: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

17 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Egységesen díjfizetés előtti tartalékra áttérve: Vagyis gyakorlatilag ugyanazt a képletet kapjuk, mint az egyszeri díjas esetben azzal a különbséggel, hogy az egyenlet bal oldalán a díjfizetés előtti, jobb oldalán viszont a díjfizetés utáni tartalék-képletek állnak. Vagyis itt a díjfizetés előtti díjtartalékot a díjfizetés előtti díjtartalékból vezetjük le, viszont a képletet ki kell egészíteni az éves díj elosztásával a megmaradó szerződések között. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

18 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Kicsit tömörebben: Vagy alternatív formában: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

19 Az évközi díjtartalék számítása
Banyár József Az évközi díjtartalék számítása Egyszeri díjas biztosításra: Rendszeres díjas biztosításra: A fentiekben megismerkedtünk azzal, hogy hogyan kell kiszámítani a díjtartalékot a t-edik biztosítási év végén. De tudjuk, hogy a díjtartalék az év folyamán fokozatosan változik (a kamat fokozatosan íródik a díjtartalékhoz, a halálesetek is az egész év során elszórva történnek), ezért a díjtartalék nagysága év közben különbözni fog az évfordulós díjtartalékoktól. Gyakorlati számításokhoz gyakran szükség van erre az évközi díjtartalékra. Szintén gyakorlati okokból az évközi díjtartalékot egyszerűen az évfordulós díjtartalékok interpolált értékeként (súlyozott számtani átlagaként) szokták kiszámítani. Tegyük fel, hogy az egyszeri díjas biztosítások díjtartalékának nagyságára a (t+1)-edik biztosítási év közben vagyunk kíváncsiak, mégpedig a (t+).-adik időpontban, ahol 0 <  < 1. Ekkor a két "szomszédos" díjtartalék, a Vt és Vt+1 lesz. Ezek súlyozott számtani átlaga: A rendszeres díjas biztosítások esetében a fentiekhez képest annyiban módosul a kép, hogy számításba kell vennünk azt is, hogy az év elején beérkezik a biztosítóhoz a következő évi díjrészlet (, vagy egyszerűen csak P), és ezt azonnal hozzáadjuk a díjtartalékhoz. Vagyis a t-edik év végén a díjtartalék Vt, de egy pillanattal később, a t+1-edik év elején már Vt+P lesz. Ennek megfelelően az évközi díjtartalék: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

20 Havi díjfizetés esetén (egyszerűsítve):
Banyár József Havi díjfizetés esetén (egyszerűsítve): …helyett: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

21 A negatív díjtartalék szakmai hiba!
Banyár József A negatív díjtartalék szakmai hiba! Rossz példa: az ún. „hitelfedezeti biztosítás” Ok: csökkenő haláleseti összeg: A fentiekben említett módozatok esetében a díjtartalék magától értetődően pozitív nagyság volt. A megfogalmazások ("a korábban befizetett díjakból a későbbi kárkifizetésekre félretett összeg") is sugallják a nem-negatív előjelet. A pozitivitás az egyszeri díjas biztosítások esetében természetes. Lehetséges azonban olyan rendszeres díjas biztosítás, ahol a díjtartalék pozitivitása nem teljesül. Ez - ha belegondolunk - azt jelenti, hogy a biztosító időarányosan nagyobb szolgáltatást nyújtott, mint amennyi díj a szerződőtől befolyt, vagyis az ügyfél tartozik a biztosítónak. Mivel az ügyfél a biztosítást bármikor felmondhatja, ezért az ilyen eseteket el kell kerülni, hiszen felmondás esetén a biztosító futhat a pénze után, amelynek nagyságát a negatív díjtartalék nagysága mutatja. Ezért azt mondhatjuk, hogy szakmai hiba negatív díjtartalékos biztosításokat konstruálni, mégis előfordul (vagy legalábbis korábban előfordult) ilyesmi. Erre jó példa (és talán az egyetlen!?) a magyar piacon korábban nagyon elterjedt ún. "hitelfedezeti" életbiztosítás,[1] amit főleg a 70-es, 80-as években kötöttek az OTP lakásokra felvett hitelek fedezetéül. Ebben a konstrukcióban a biztosítási összeg évről évre csökken, mintegy szimulálva a hátralévő hiteltartozás összegét. Ha a biztosított meghal a hitel visszafizetése előtt, akkor a maradék hitelösszeget a biztosító fizeti vissza a biztosítási összegből. [1] A „hitelfedezeti” természetesen általában jelöl minden olyan életbiztosítást, amelyet hitelfedezetként alkalmaznak. Az itt tárgyalt módozat esetében a „hitelfedezeti” egy konkrét konstrukció neve volt akkoriban, amikor az értékesített életbiztosítási módozatok száma meglehetősen limitált volt. A hitelfedezeti életbiztosítás negatív tartalékát az okozta, hogy míg az éves díj rögzített volt, addig a biztosító kockázata - a csökkenő biztosítási összeg miatt - évről évre csökkent. Itt tehát - a kockázati életbiztosítással ellentétben - nem a későbbi, a kockázatnál alacsonyabb díjak hiányát fedezik a korábbi díjak felhalmozott többletéből, hanem a korábbi, a kockázatnál alacsonyabb díjak hiányát a később befolyó díjak többletéből. A közbeeső időszakban pedig a biztosító hitelezi meg az ügyfélnek a kockázati hiányt, és a hitel nagyságát a negatív díjtartalék nagysága mutatja. Nézzük meg a díj- és díjtartalék képleteket 1 Ft kezdeti biztosítási összegre. Az egyszerűség kedvéért a képleteket mindjárt a kommutációs számok segítségével adjuk meg. Tegyük fel, hogy a biztosítási összeg a tartam folyamán minden évben 1/n-nel csökken, vagyis a biztosítási összegek az évek során az alábbi módon változnak: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

22 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Ekkor az egyszeri díj: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

23 Banyár József: Életbiztosítás 12.
t év múlva: S most bevezetjük az utolsó fontos kommutációs számot, az Rx-et. Mint sejthető: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

24 Banyár József: Életbiztosítás 12.
A nettó éves díj Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

25 a díjtartalék a t-edik biztosítási év végén:
Banyár József a díjtartalék a t-edik biztosítási év végén: Példa: A biztosított belépési kora: 35 év Neme: férfi A biztosítás tartama: 15 év A biztosítás kezdeti összege: Ft Mortalitási tábla: es magyar férfi néphalandósági táblázat Technikai kamatláb: 3,5% (A biztosítási összeg évente /15 = 6666,67 forinttal csökken) Nézzünk egy példát az elmondottak illusztrálására: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

26 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Példa a negatív díjtartalékra t díjtartalék 8 -447 9 -511 10 -548 11 -551 12 -512 13 -417 14 -252 15 t díjtartalék 1 27 2 24 3 -11 4 -76 5 -165 6 -264 7 -361 Levonhatjuk tehát a következtetést, hogy a csökkenő szolgáltatású rendszeres díjas biztosításoknak a díjtartaléka általában negatív, ezért lehetőség szerint elkerülendők az ilyen konstrukciók. Természetesen ez az elkerülés nem azt jelenti, hogy ne fejlesszünk ilyen biztosításokat, csak azt, hogy a negatív díjtartalékot kerüljük el. Ennek egyik lehetséges megoldása, ha csökkentjük a díjfizetési tartamot. Minél rövidebb a díjfizetési tartam, annál magasabb lesz a díjtartalék pályája, ami végül teljesen az x tengely fölé kerül. A fenti példában már 12 évre csökkentett díjfizetési tartamnál mindenütt pozitívvá válik a díjtartalék, ahogy azt a ábra is mutatja: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

27 Banyár József: Életbiztosítás 12.
A „hitelfedezeti” életbiztosítás tartaléka különböző díjfizetési tartamokra A ábrán az is látszik, hogy a negatív díjtartalék megközelítheti az éves díj kétszeresét is, ami a biztosító számára jelentős veszteséget okozhat, ha a szerződő felmondja a biztosítást. A korábbiakban említettük azt a folyamatos díjas árvajáradék konstrukciót, ahol a szülő folyamatosan fizette a díjat, amíg a tartam véget nem ért, illetve az ő (vagy a későbbi kedvezményezett) korábbi haláláig. Ha a biztosított halálakor még életben volt a kedvezményezett, és nem járt le a biztosítás tartama, akkor a tartam lejártáig, de legfeljebb a (második) biztosított (kedvezményezett) korábbi haláláig a biztosító járadékot fizet a részére. Ennek a biztosításnak a szolgáltatása az időben csökken, hiszen minél később hal meg a szülő, annál kevesebb ideig fog járadékot kapni a gyermek. Ezért a díjtartalék negatív lesz. Ez elkerülendő, amit például ennél a konstrukciónál úgy lehet megtenni, hogy egy egyszerű kockázati biztosítást is beépítünk, vagyis a szülő halála esetén nem csak a járadék indul meg, hanem egy egyösszegű azonnali szolgáltatást is kap a gyermek (özvegy). A helyesen megválasztott összegű kockázati biztosítás pozitív díjtartaléka kompenzálni tudja az árvajáradék negatív díjtartalékát. Természetesen ennek a biztosításnak a nettó díja is értelemszerűen magasabb, mint az előbbi, ám negatív értékű díjtartalékot eredményező módozat esetében. Széles körben elterjedt vélemény, hogy a zillmerezés a tartam elején negatívvá teszi a díjtartalékot. Mint azt a következő fejezetben, a zillmerezés részletes tárgyalásánál látni fogjuk, ez tévedés, a zillmerezés miatt nem lesz negatív soha a díjtartalék. A zillmerezés kapcsán szokás némileg pontatlanul kezelni a képleteket, és ez okozhatja a negatív díjtartalék képzetét. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

28 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Pénzáramok a BEK biztosításokban Kiindulás: a vegyes biztosítások rekurzív, retrospektív tartaléka Mint említettük a BEK biztosítások tartalékára nem használjuk a díjtartalék kifejezést, de azok funkciója teljesen analóg a hagyományos életbiztosítások díjtartalékával. Emiatt röviden megvizsgáljuk ezt a tartalékot a vegyes biztosítások rekurzív, retrospektív tartalékából kiindulva. Mint láttuk rendszeres (éves) díjas vegyes életbiztosítás évfordulós (díjfizetés előtti[1]) díjtartalékának rekurzív képletét – a szerinti – célszerű formában az alábbi módon is fel lehet írni: [1] És zillmerezés nélküli! Ahol S: Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

29 Banyár József: Életbiztosítás 12.
Ebből: ahol A tartalék képleteket úgy is felfoghatjuk, mint amik a biztosítás cash-flow-jának a lényegi részét írják le (de nincs bennük a költségek fedezetét szolgáló díjrész, és nem foglalkoznak az évesnél gyakoribb díjfizetés miatti – egyébként viszonylag egyszerű – módosításokkal/általánosításokkal sem), tehát mint amik általában a biztosítást mutatják be. Ennek megfelelően a legáltalánosabb BEK biztosítási konstrukciót is jellemezhetjük a tartalékát bemutató egyenlettel. Ezt a tartalék-egyenletet a vegyes biztosítás egyenletéből az alábbi módosításokkal nyerhetjük: Az eddig implicitként kezelt és egységes költségrészt („vállalkozói díjrész”) részekre osztjuk, és részben explicitté tesszük. A különböző költségrészek dinamikája innentől kezdve nem lesz egységes. A különböző részek[1]: Adminisztrációs díj: külön, expliciten feltüntetjük az új cash-flow képletben. Emelkedése független lehet a P változásától, sőt nagyságát is meg lehet állapítani abszolút értékben, vagyis a P-től függetlenül. Ez a költségek méltányosabb terítését jelenti a biztosítások között, hiszen a P-vel arányos adminisztrációs költség (ami a hagyományos biztosításoknál jellemző) nem indokolt, mivel a nagy díjú szerződést ugyanannyiba kerül kezelni, mint a kis díjút. Ugyanígy, a kezelési költség attól függetlenül változik, hogy a szerződő emelte-e a biztosítás díját menet közben, vagy ezt nem tette meg. Alapkezelési díj: nem a díj, hanem a kezelt tartalék nagyságától függ, és a bruttó hozamból vonjuk le. Eladási és vételi árfolyam különbözete: a nettó díjjal arányos, a hagyományos biztosítások vállalkozói díjrészéhez hasonló költségrész, ami a cash-flow képletben nincs benne, de az ügyfél számára – a hagyományos biztosításokkal szemben – expliciten megjelenik. Technikai kamatláb: az eddig egységes, előre ismert és változatlan hozammutató helyett két különböző típusút vezetünk be: 1. egy csak utólag megismerhető hozammutatót, 2. egy technikai jellegű, projektált mutatót (ezt változatlanul technikai kamatlábnak jelezzük és i-vel jelöljük!) [1] Nem említve olyan feltételes költségelemeket, mint az alapok közti átváltásért fizetendő díj, hiszen ez csak akkor esedékes, ha az ügyfél ilyen átváltást kezdeményez. [2] A kezdeti egységek képzése hasonló szerepet tölt be, mint a zillmerezés a hagyományos biztosítások esetében, és annyiban következetesek vagyunk magunkhoz, hogy a hagyományos vegyes biztosítás cash-flow képletébe (12.39.) sem vettük be a zillmerezést. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.

30 Banyár József: Életbiztosítás 12.
ht: a t. év során (tehát a t. és a t+1. biztosítási évforduló között) elért bruttó hozam w: a vagyonkezelési díj, a kezelt vagyon százalékában meghatározva p: a haláleseti díj kiszámításához használt pótléktényező at: a t. év során alkalmazott és az év elején levont adminisztrációs díj S: a biztosító minimális szolgáltatása halálesetkor. Értéke: Biztosítási összeg: a biztosítási összegre vonatkozó (12.40.) képletet felváltja egy feltételes: , ahol Bt az év elején projektált biztosítási szolgáltatást mutatja, amit a biztosított halála esetén az alapokban lévő pénzen felül kell kifizetnie a biztosítónak. A képletben expliciten feltüntettük az adminisztrációs díjat is, hiszen a hagyományos esetben ezt már nem tartalmazta a P, a BEK biztosítás esetében viszont igen. Az S-re itt nincs határozott determináció, hanem a biztosítók általában adnak egy (nullánál általában nagyobb) minimális és egy a díjtól, tartamtól és a biztosított korától függő maximális értéket, és azon belül a szerződő szabadon választhat. A dx+t/lx+t+1 tényező helyett általában annak pótlékolt értékét használják a biztosítók, ami felfogható egyfajta újabb, rejtett költségrésznek. Viszont gyakori, hogy a halandósági valószínűséget a pozitív szelekció miatt csökkentik. Természetesen a leggyakrabban nem éves gyakorisággal vonják le a kockázati díjat, hanem pl. havonta, emiatt kismértékben – és értelemszerűen - módosítani kell a képletet, de ezzel nem foglalkozunk (mint ahogy a hagyományos vegyes biztosítás esetében sem foglalkoztunk ezzel!) A kiegészítő kockázatok (kiegészítő biztosítások) díját is a tartalékból vonják le rendszeresen, de ezzel szintén nem foglalkozunk. A magyar biztosítók gyakran alkalmazzák a több helyen már betiltott kezdeti egységek képzésének gyakorlatát, amit szintén nem mutatunk be a fenti képletben.[2] A fentieknek megfelelően a BEK biztosítások cash-flow-ját bemutató új képlet (a tartalékot itt is V-vel jelölve!): A fenti képlet értékét csak t+1. időpont után lehet pontosan megállapítani. Bt értékét viszont már t. időpontban tudni kell, mert ekkor vonjuk le a projektált éves haláleseti díjat a tartalékból. Emiatt meg kell becsülni a hozamot, erre szolgál a technikai kamatláb, az i. H(x,t,n,P): a minimális haláleseti szolgáltatásra a biztosított belépési kora, a biztosításból eltelt idő, a tartam és az éves díj függvényében meghatározott limit. Bt: a biztosító projektált haláleseti szolgáltatása a tartalékon felül. Banyár József: Életbiztosítás 12. Életbiztosítás 12.