2. A következtetési statisztika alapfogalmai

Az előadások a következő témára: "2. A következtetési statisztika alapfogalmai"— Előadás másolata:

1 2. A következtetési statisztika alapfogalmai

2 Tartalom Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma
Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai próbák Normalitásvizsgálat

3 A statisztikai következtetés két fő típusa
Statisztikai becslés Statisztikai hipotézisvizsgálat

4 Statisztikai hipotézisvizsgálat
Van-e különbség a teljesítményátlag tekintetében a magyar pszichológus hallgató fiúk és lányok között? Nullhipotézis (H0): nincs különbség Ellenhipotézis (HA): van különbség a) A fiúk a jobbak b) A lányok a jobbak

5 Statisztikai becslés Kb. mekkora egy egészséges felnőtt nő szisztolés vérnyomása? Átlagosan hány próbálkozással tanul meg egy ivarérett patkány egy adott útvesztőt?

6 Hogyan következtünk? Mintát veszünk a populációból és abból következtetünk arra, hogy milyen lehet a populáció.

7 Milyen legyen a minta? Legyen olyan, mint a populáció.
Képviselje jól a populációt (legyen reprezentatív).

8 Mivel lehet a minta reprezentativitását biztosítani?
Ha a kiválasztás véletlenszerű Ezzel kizárjuk a szubjektivitást. Ha a minta elég nagy Ezzel lehetővé tesszük, hogy a populáció sokszínűsége a mintában is megjelenjen.

9 Hogyan lehet valódi véletlen mintát venni a populációból?
Némi véletlenszerűséget könnyű alkalmazni, de a szubjektivitást nehéz kizárni. Az önmagában nem elég, hogy a minta nagy: USA elnökválasztás, 1936: Roosevelt versus Landon. A Literary Digest folyóirat 2,4 millió kérdőív feldolgozása alapján Landon nagyarányú győzelmét jósolta. Ezzel szemben Roosevelt 62%-ot kapott és nyert. A Gallup kisebb, de jó minta alapján helyes becslést adott.

10 Néhány jó tanács a megfelelő minta kiválasztásához
Minden olyan réteg arányosan képviselve legyen, amelyik a populációhoz tartozik. Hólabda módszer (ismerős ismerősének az ismerőse). A kényelmi és hozzáférhetőségi alapon összeállított minták (pl. egyetemisták) esetlegesek. Az ideálistól eltérő mintaválasztást hibafaktorként számítsuk be a döntés bizonytalanságába. Ha összeállt a minta, töprengjünk el azon, hogy az milyen populációt képvisel. (Pl. a jelen évfolyam?)

11 A valószínűségi döntés véletlen jellege
Az egyik urnából véletlenszerűen kiveszek egy golyót. Látjuk, hogy piros. Melyik urnából vettem ki?

12 A valószínűségi döntés véletlen jellege
Bárhogyan is döntök, nem lehetek teljesen biztos abban, hogy a döntésem helyes, vagyis hogy nem követek el hibát. Ha piros golyót húzva a bal oldali urnát valószínűsítem, 2/3 az esélye, hogy igazam van, de 1/3 az esélye, hogy tévedek. Sárga húzás esetén?

13 Példa: a depresszió két kezelési típusának összehasonlítása
Melyik a jobb kezelés? Placebo (napi 3x1, 3 hónapig) Pszichoterápia (heti 3x1 óra, 3 hónapig) Gyógyulók %-a 1. 2. 3. 4. 5. Placebo 30 10 Pszicho-terápia 90 60 80 70

14 Következtetés Melyik esetben jelenthetjük ki legalább 95%-os megbízhatósággal, hogy a pszichoterápia hatásosabb a placebónál? Gyógyulók %-a 1. 2. 3. 4. 5. Placebo 30 10 Pszicho-terápia 90 60 80 70

15 A STATISZTIKA RENDSZERE
LEÍRÓ STATISZTIKA KÖVETKEZTETÉSI STATISZTIKA HIPOTÉZIS- VIZSGÁLAT BECSLÉS PONT- BECSLÉS INTERVALLUM- BECSLÉS

16 Szokásos jelölések Mintabeli (tapasztalati) átlag: x (ejtsd: x-vonás)
Populációbeli (elméleti) átlag: μ (ejtsd: mű) Mintabeli (tapasztalati) szórás: s Populációbeli (elméleti) szórás: σ (ejtsd: szigma)

17 Következtetési statisztika két fő típusa
Becslés (Mekkora? Milyen nagy?) Pontbecslés (kb. 10,6  1,3) Intervallumbecslés (95%-os megbízhatósággal 7,8 és 12,5 között) Hipotézisvizsgálat (Igaz-e, hogy …?)

18 Statisztikai becslés Mi a teljesítményátlaga az iménti memóriajátékban az összes magyar pszichológus hallgatónak? Ha azt mondjuk, hogy kb. 4,3, akkor pontbecslést adunk. Ha azt mondjuk, hogy 3 és 6 között van, akkor intervallumbecslést adunk.

19 Mit szoktak becsülni? Populációátlag (elméleti átlag: μ, E(X))
Populációmedián (elméleti medián: Med(X)) Populációszórás (elméleti szórás: , D(X)) Elméleti variancia (2, Var(X)) Két elméleti átlag különbsége (μ1 – μ2) Általában a populációk különféle kvantitatív jellemzőit szokták becsülni

20 Az elméleti átlag pontbecslése konkrét példával illusztrálva
Változó: félév végi statisztika vizsgajegy Populáció: I. éves pszichológus hallgatók Egy lehetséges véletlen minta (rendezve): {2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5} Néhány szóba jöhető pontbecslés az elméleti átlagra: Módusz: Mo = 5 Medián: M = 4,5 Terjedelemközép: TK = (Min + Max)/2 = 3,5 Átlag: x = 41/10 = 4,1

21 Pontbecslés a μ elméleti átlagra
Következtetés: mintából a populációra. Mi van olyan a mintában, aminek köze van (lehet) a populációátlaghoz? Becslés jelölése: a kalap (^) szimbólummal. Az elméleti átlag egy pontbecslése a mintaátlag: μ = x

22 A pontbecslésről Amit becsülünk (pl. μ, s stb.), az egy konkrét szám.
Amivel becsülünk (mintaátlag, TK stb.), egy véletlen minta statisztikai mutatója, véletlen változó, melynek értéke a minta kiválasztása után lesz csak ismert.

23 10 véletlen minta átlaga: μ = ?

24 Hogyan mérhető a pontbecslés jósága (pontatlansága)?
Standard hiba (SH): körülbelül ennyit tévedünk μ ≈ x  SH Példa: ROPstat, részletesebb statisztikák

25 A pontbecslés hibája Hibavariancia = átlagos négyzetes eltérés a valódi értéktől Standard hiba (SH) = Hibavariancia négyzetgyöke Egyfajta átlagos eltérés

26 Mit várunk el egy jó pontbecsléstől?
Ne torzítson szisztematikusan se pozitív, se negatív irányban (torzítatlanság) SH-ja legyen kisebb, mint a többi becslésé (hatékonyság) SH-ja az elemszám növelésével csökkenjen és tartson 0-hoz (konzisztencia)

27 A mintaátlag standard hibájának meghatározása
Elméleti SH = s/ Mintabeli SH = s/ Mi itt a „s” és mi az „s”? Ha X = IQ, s = 15, n = 25, SH = ? Mekkora elemszámnál lesz SH 1-nél kisebb? GYAK

28 Miért jó becslése a mintaátlag a populációátlagnak?
A véletlen minta átlaga a populációátlag körül ingadozik (torzítatlanság) A mintaátlag SH-ja az elemszám növelésével csökken (konzisztencia) A mintaátlag SH-ja sok esetben (pl. normális eloszlású változók esetén) kisebb, mint más pontbecsléseké (mediáné, TK-é stb.)

29 Intervallumbecslés Definíció: Olyan intervallum (szakasz, övezet), mely nagy megbízhatósággal tartalmazza a becsülni kívánt értéket.

30 Intervallumbecslés az elméleti átlagra
Vegyünk alkalmas övezetet a mintaátlag körül! Milyen övezet lesz jó? Ha nagyon szűk, m könnyen kívül maradhat. Ha nagyon tág (pl ): semmitmondó állítás. X-skála x

31 Szokásos kritérium Olyan övezetet vegyünk a mintaátlag körül, amelyik nagy (90 vagy 95%-os) eséllyel tartalmazza az elméleti átlagot (azaz m-t). Ennek az övezetnek (intervallumnak) a neve: 90, illetve 95%-os konfidencia-intervallum. Jelölés: C0,90, illetve C0,95.

32 A konfidencia-intervallum
meghatározása 95%-os konfidencia-intervallum nagy minták esetén: 2SH 2SH X-skála x C0,  2SH x GYAK

33 Egy következmény SH = s/
Minél nagyobb az elemszám, annál keskenyebb lesz rögzített (pl. 90 vagy 95%-os) megbízhatósági szinten a konfidencia-intervallum, vagyis annál jobb lesz az intervallumbecslés. SH = s/

34 Egy példa Mekkora lehet a populációátlag?
Tegyük fel, hogy a MAWI-IQ az egyetemi hallgatók populációjában közel normális eloszlású, szórása 15, de a populációátlagot nem ismerjük. Egy véletlen 25 fős mintában az átlag 110. Mekkora lehet a populációátlag? C0,95  110 ± 2·SE = 110 ± 2·± 2·15/5 = = 110 ± 6 = (104; 116) GYAK

35 Statisztikai hipotézisvizsgálat

36 Igen-nem segítségével megválaszolható kérdések
1. Egyetemi hallgatók IQ-ja nagyobb-e az átlagosnál? 2. Van-e különbség férfiak és nők verbális intelligenciaszintje között? 3. Összefügg-e a nyugalmi vérnyomásszint és a CPI személyiségteszt Tolerancia skálájának szintje?

37 A hipotézisvizsgálat fő fogalmai az előző dia 2
A hipotézisvizsgálat fő fogalmai az előző dia 2. kérdésével szemléltetve 1. Szakmai feltételezés: a nők verbális IQ-jának átlaga nagyobb a férfiakénál. 2. Szakmai hipotézis formulával: E(IQ_nő) > E(IQ_férfi). 3. Statisztikai nullhipotézis: E(IQ_nő) = E(IQ_férfi). 4. Indirekt gondolatmenet: szakmai hipotézis igazolása a nullhipotézis elutasításával történik.

38 A hipotézisvizsgálat fő fogalmai az iménti dia 1
A hipotézisvizsgálat fő fogalmai az iménti dia 1. kérdésével szemléltetve 1. Szakmai feltételezés: az egyetemi hallgatók IQ-ja nagyobb az átlagosnál. 2. Szakmai hipotézis formulával: E(IQ) > 100. 3. Statisztikai nullhipotézis: E(IQ) = 100. 4. Indirekt gondolatmenet: szakmai hipotézis igazolása a nullhipotézis elutasításával történik.

39 10 véletlenszerűen kiválasztott egyetemi hallgató IQ-ja
117, 137, 152, 149, 110, 135, 108, 120, 127, 127 E(IQ) = 100 esetén mi a valószínűsége, hogy 10 véletlenszerűen kiválasztott hallgató mindegyikének 100-nál nagyobb lesz az IQ-ja? p = 1/210 = 1/1024 ≈ 0,001

40 Vagyis: Ha igaz az a nullhipotézis, hogy az egyetemi hallgatók átlagos IQ-júak, akkor igen kicsi (p < 0,001) annak a valószínűsége, hogy ilyen nagy (csupa 100-nál nagyobb) adatokat kapjunk 10 megfigyelésből.

41 A statisztikai hipotézisvizsgálat alapgondolata
Ha a minta, illetve a mintából kiszámított valamely mutató értéke a nullhipotézis (H0) fennállása esetén igen kis valószínűségű, akkor a nullhipotézist elutasítjuk.

42 A statisztikai próba p-értéke
Mi a valószínűsége, hogy a nullhipotézis (H0) fennállása esetén ilyen, vagy ennél szélsőségesebb legyen a minta, illetve a mintából kiszámított valamely mutató értéke?

43 A szélsőségesség kétirányú
100-nál nagyobb IQ 100-nál kisebb IQ Egy-oldalú p Két-oldalú Ellentmond H0-nak? 10 0,001 0,002 IGEN 9 1 0,011 0,022 8 2 0,055 0,110 NEM 7 3 0,172 0,344 Mi is itt a nullhipotézis?

44 A próba neve: előjelpróba
Nullhipotézis: H0: E(IQ) = 100 Az IQ elméleti átlaga 100-zal egyenlő Ekvivalens nullhipotézis normális eloszlású változók esetén: H0: P(IQ < 100) = P(IQ > 100) A populációban ugyanolyan gyakran fordul elő 100-nál kisebb, mint 100-nál nagyobb IQ-érték Ez az előjelpróba szokásos alakú nullhipotézise Döntés az elemszám alapján statisztika táblázat segítségével (lásd tankönyv)

45 A statisztikai döntés logikája
Miért érezzük úgy, hogy 10-0 vagy 0-10 esetén elutasítható a nullhipotézis (H0)? Miért érezzük 10 egymás utáni fej dobás után azt, hogy a pénzérme szabályosságát állító H0 elutasítható? Ha ilyen esetben H0-t elvetjük, mi az esélye annak, hogy hibásan döntünk? Ha elméletileg lehetséges ilyen sorozat, akkor miért lepődünk meg, ha bekövetkezik?

46 Eddig mit néztünk a mintában?
Azt, hogy hány 100-nál nagyobb és hány 100-nál kisebb IQ-érték van. Van más mutató is, ami mond valamit a nullhipotézis (H0) valószínűségéről?

47 Egy másik lehetséges mutató: t-statisztika
(100: a feltételezett elméleti átlag)

48 Próbastatisztika A t-statisztikát és a statisztikai hipotézisvizsgálatokhoz használt hasonló – mintából kiszámított – mutatókat próbastatisztikáknak nevezzük.

49 akkor t eloszlása n = 10 esetén
Ha H0: μ = 100 igaz, akkor t eloszlása n = 10 esetén t % ,% ,5% -2,26 2,26

50 Hogyan döntsünk különböző
t-értékekre n = 10 esetén? t % t = 0,41 t = -2,50 t = 4,60 -2,26 2,26 GYAK

51 Széli p-értékek kétirányú döntésnél
t-érték t-értékhez tartozó széli p-érték (kétold.) Ellentmond H0-nak? -2,50 0,034 IGEN -2,26 0,050 0,41 0,691 NEM 2,26 4,60 0,001 IGEN***

52 Döntés H0-ról n = 10 esetén t % t = -2,50 t = 0,41 t = 4,60 -2,26
Kritikus tartomány Megtartási tartomány Kritikus tartomány

53 A H0-ról szóló döntés logikája
Hova esik a t-érték? Széli p A t-érték megítélése Megtartási tartomány Nem kicsi (> 0,05) Nem mond ellent H0-nak Kritikus tartomány Kicsi (≤ 0,05) Ellentmond H0-nak

54 Az előjelpróba és az egymintás t-próba nullhipotézise
‘A’: az X változó hipotetikus nagyságszintje Előjelpróba: H0: P(X < A) = P(X > A) Az X változó esetében ugyanolyan gyakran fordul elő A-nál kisebb, mint A-nál nagyobb érték Egymintás t-próba: H0: E(X) = A Az X változó elméleti átlaga A-val egyenlő

55 Az előjelpróba és az egymintás t-próba alkalmazási feltételei
Előjelpróba: nincs, de kis minták esetén a próba kevéssé hatékony Egymintás t-próba: X változó normalitása Mennyire fontos ez? Ha a minta nagyon kicsi (n < 20): fontos Ha a minta elég nagy (n > 50): nem igazán fontos

56 Az egymintás t-próba robusztus változatai
Mit tegyünk, ha erősen sérül az X változó normalitási feltétele? Léteznek olyan próbák, amelyek a normalitás megsértésére kevésbé érzékenyek: robusztus alternatívák Lásd ROPstat, illetve tankönyv

57 Szokásos statisztikai szóhasználat
p < 0,05 (szignifikancia) H0-t 5%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk a próba 5%-os szinten szignifikáns p < 0,01 (erős szignifikancia) H0-t 1%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk a próba 1%-os szinten szignifikáns p < 0,10 (tendencia) H0-t 5%-os szinten nem utasíthatjuk el a próba 5%-os szinten nem szignifikáns csak egy tendencia van arra, hogy H0 nem igaz

58 Normalitásvizsgálat (n = 500)
Változó Átlag St.hiba Ferdeség Csúcsos-ság Szülsúly 3,21 0,0223 -0,331** 0,858*** Szülhosz 50,15 0,113 -0,352** 1,097*** Súly10 33,23 0,305 1,221*** 1,992*** Tmag10 138,7 0,288 0,198 0,278 Jelölés: *: p < 0,05 **: p < 0,01 ***: p < 0,001 GYAK