Kvantum szóráselmélet: a kvantummechanika kiteljesedése

Az előadások a következő témára: "Kvantum szóráselmélet: a kvantummechanika kiteljesedése"— Előadás másolata:

1 Kvantum szóráselmélet: a kvantummechanika kiteljesedése
Bencze Gyula KFKI Részecske és Magfizikai Kutatóintézet

2 „A hatáskvantumban valami eddig soha nem hallott jelentkezik, amely arra van hívatva, hogy alapjában átalakítsa egész fizikai gondolkodásunkat.” Max Planck

3 A kvantumelmélet dicsőségtáblája
Max Planck – Albert Einstein – Niels Bohr – Louis de Broglie Werner Heisenberg – Erwin Schrödinger – Wolfgang Pauli – Paul Dirac

4 És akiről mindig megfeledkeztek:
Max Born

5 E. P. Wigner, Gruppentheorie und Ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren, F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1931. J. von Neumann, Matematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer, Berlin, 1932. Frédéric Riesz, Béla Sz.-Nagy: Leçons d'analyse fonctionnelle, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952.

6 A formális szóráselmélet eszközei
(B.A. Lippmann, J. Schwinger, M Gell-Mann, M.L. Goldberger, ) A szórásprobléma Schrödinger egyenlete integrálegyenletté, az ún. Lippmann-Schwinger (LS) egyenletté alakítható át: ahol  és  a szabad, ill. perturbált probléma megoldása, a magban szereplő rezolvens operátorban pedig jól ismert módon az 0 határátmenet értendő. Ha a V kölcsönhatás rövid hatótávolságú, az LS egyenlet Fredholm típusú, egyértelmű megoldással rendelkezik, a homogén és inhomogén egyenletnek pedig nem létezhet egyszerre megoldása adott energiánál, a rendszernek nem létezhet egyszerre lokalizált valamint nem lokalizált szórási állapota! A H és H0 operátorok folytonos sperktrumához tartozó hullámfüggvények között az ún. hullámoperátorok létesítenek megfeleltetést:

7 A hullámoperátorok ismeretében a rendszer S szórásoperátora valamint az átmeneteket leíró ún. tranzit operátora: , A rendszer T-operátora a Lippmann-Schwinger-egyenlet megoldásával határozható meg: A szórás kezdeti és végállapotát összekapcsoló S mátrixelem, ill a T-mátrixelem teljes mértékben meghatározza a folyamat fizikai jellemzőit: a szórási amplitudót ill. a szórási hatáskeresztmetszetet:

8 Sokcsatornás rendszerek (N2) :
a rendszernek többféle kölcsönhatásmentes aszimptotikus állapota létezik, ezek a teljes Hamilton operátor különböző felbontásainak felelnek meg perturbálatlan rendszerre és kölcsönhatásra: H = Ha + Va = Hb + Vb = Hc + Vc … etc. Értelemszerűen minden csatornára definiáhatók a hullámoperátorok, az S és T operátorok mátrixok lesznek:

9 A teljes hullám-függvényre vonatkozó Lippmann-Schwinger egyenlet
a fizikai információt hordozó, energiahéjon vett (“on-shell”) tranzit mátrixelemek : A tranzit operátornak, illetve konkrét mátrixelemeinek ismeretében a reakciók hatáskeresztmetszete meghatározható. Fontos megjegyezni, hogy bár a Lippmann-Schwinger egyenleteket kielégítik a Schrödinger egyenlet fizikai megoldásai, a formális elmélet nem foglalkozik az integrálegyenletek megoldásainak tulajdonságaival ill. az egyértelmű megoldás létezésének feltételeivel. A gyakorlatban használt közelítő módszerek az LS egyenletek iterációján alapulnak. .

10 Ludvig Dmitrievics Fagyejev 1934 –
Háromtest probléma - A Fagyejev módszer Ludvig Dmitrievics Fagyejev –

11 N 2 részecske esetére a Lippmann-Schwinger egyenlet nem Fredholm típusú, azaz magja még komplex energiáknál is szinguláris. A mag tulajdonságait nem lehet iterációval javítani, mivel annak során a szingularitást okozó „disconnected” tagok újra termelődnek. A Fagyejev módszer az LS integrálegyenlet magjában a szinguláris tagokat elkülönítve, azok járulékát invertálva a szingularitást megszünteti. , , ahol α a kéttest kölcsönhatást indexeli, értékei (12), (13) vagy (23) lehetnek. Az L-S egyenlet ebben az esetben definiáljuk ekkor nyilván

12 Figyelembe véve, hogy [1-VαG0(z)]-1Vα a kéttest t-operátor, azonnal
adódnak a Fagyejev egyenletek Fagyejev úttörő munkájában eredetileg az M operátorokra vezette le híres egyenleteit:

13 A Fagyejev - egyenletek
Meg kell jegyezni, hogy Fagyejev eredeti jelölésében az R(z) rezolvens operátor a fizikai jelöléstől eltérően R(z)= (H – z)-1 ezért a képletekben egy előjel különbség van

14 L.D. Fagyejev “angol hangja”
Claud Lovelace

15 „Faddeev by hand”

16 Fagyejev eredményei gyökeres szemléletváltást eredményeztek a szóráselmélet alkalmazása terén. Míg korábban az ütközések leírásában szinte kizárólag csak kéttest módszereket alkalmaztak, most új lehetőségek nyíltak, és ezek kihasználásában a magyar kutatók is élenjártak. Beregi Péter, Lovas István és Révai János kidolgozta a rezonacia-szórásnak egy egzaktul megoldható háromtest modeljét: An exactly soluble three-body model of resonance scattering, Ann. Phys. (N.Y.) 61 (1970) Lovas István és Dénes Ervin a küszöbeffektusokat tanulmányozta egy egzaktul tárgyalható háromtest modell keretében: Thresholds and Resonances in a Three-Body Model, Phys. Rev. C7 (1973) 937 Doleschall Pál és Révai János a háromtest egyenletek numerikus megoldásának technikáját, azon belül az iterációs módszer alkalmazhatóságát vizsgálta Application of iteration technique to the integral equations of scattering theory, J. Math. Phys. 11 (1970) 1001. „Raynal-Révai koefficiensek” : J. Raynal and J. Révai: Transformation coefficients in the hyperspherical approach to the three-body problem, Nuovo Cim. 68A (1970) 612.

17 Doleschall Pál a háromnukleon szórásproblémára alkalmazta a Fagyejev egyenleteket és a numerikus megoldás meghatározására nagyméretű számítógépes programot írt („Doleschall code”) amellyel azonnal a szakterület élvonalába került. A kísérleti eredmények értékelésére a program számításai alapján kiterjedt nemzetközi együttműködésben került sor. P. Doleschall: N-D Elastic Scattering and Polarization Calculations with Tensor Force and P-Wave Interaction, Phys. Lett. 38B (1972) 298. P. Doleschall: A Three-Body Calculation for Polarization Effects in Neutron-Deutron Scattering, Nucl. Phys. A201 (1973) 264. Első háromtest modellszámítás komplex kéttest potenciálokkal: Gy. Bencze, P. Doleschall: Dynamical Three-Body Calculations with Complex Potentials, Phys. Lett., 32B (1970) 539. A magreakciók modellezése terén továbblépést jelentett Lovas István munkája, amelyben olyan háromtest rendszert vizsgált, amelyben az egyik részecske belső szabadsági fokkal is rendelkezett, és ennek a belső („core”) gerjesztésnek a hatása csatolt Fagyejev egyenletek segítségével volt tárgyalható: I. Lovas: Nuclear reactions with core excitation, Ann. Phys. (N.Y.) 89 (1975) 96.

18 A kvantummechanikai N-test probléma
N  3 esetén a Fagyejev módszer már nem alkalmazható, a szingularitások részletesebb osztályozására van szükség, ehhez szükség van a particiók és particióláncok fogalmának a bevezetésére. Minden partícióhoz hozzárendelhetünk egy N-részecske rendszert, amelyben csak az azonos fragmentumban lévő részecskék hatnak kölcsön. Ennek az aszimptotikus csatornának a Hamilton operátora és a kölcsönhatás Ha =H0 + Va , A csatorna Hamilton operátor rezolvense valamint a T-operátor értelemszerűen

19 A Jakubovszkij-féle integrálegyenletek az alrendszerek T- operátorai:
A Fagyejev módszert az N-részecske rendszerre Fagyejev tanítványa, O.A. Jakubovszkij általánosította (1967) a partició T-operátorok komponenseinek lehető legrészletesebb osztályozásával A Jakubovszkij-féle integrálegyenletek az alrendszerek T- operátorai:

20 Narogyeckij-Jakubovszkij egyenletek
A Jakubovszkij egyenletek előnyös matematikai tulajdonságaik ellenére a bonyolult csatolási séma és a nagyszámú csatolt egyenlet miatt a gyakorlatban csak nagy nehézségek árán alkalmazhatók. Narogyeckij és Jakubovszkij később a formalizmust kissé megváltoztatva olyan N-test egyenleteket vezetett le, amelyek megkönnyítik az alkalmazást és egyes közelítések, pl. az ún. pólus közelítés alkalmazását a csatolt egyenleteknél: Narogyeckij-Jakubovszkij egyenletek

21 Alt, Grassberger és Sandhas nyomán később Sloannak (1972) a négyrészecske probléma esetében sikerült olyan egyenleteket levezetni, amelyek a tranzit operátorokat szolgáltatják. , A magreakciók elméleti tárgyalásához legjobban illeszkedő formalizmus csak a kétfragmentumos csatornák T-operátorait csatolja össze, minden egyéb folyamat T-operátora az előbbiekből kvadratúrákkal nyerhető (Bencze,1973). Ezek az egyenletek speciális esetként tartalmazzák a három-test probléma AGS egyenleteit, valamint a Sloan-féle négytest egyenleteket is. Ugyanezekre az egyenletekre jutott egy évvel később E.F. Redish (1974). Az irodalomban ezek Bencze-Redish-Sloan (BRS) egyenletek néven szerepelnek: amelyben az összegzés csak a kétfragmentumos csatornákra terjed ki. Az inhomogén tagban szereplő kölcsönhatást a következő összeg definiálja:

22 A BRS egyenletek magja egyetlen iteráció után teljesen összefüggővé válik, a csatolás minimális (csak a kéttest-fragmentációjú csatornákat csatolja). Az alrendszerek T-operátoraira szeparálható sorfejtést, vagy pólus közelítést bevezetve az egyenletek azonnal sokcsatornás effektív kéttest egyenletek rendszerére redukálódnak. Az N-részecske egyenleteket a csatolás tulajdonságai szerint lehet osztályozni (Bencze, Tandy, 1976), amelyek két csatolási sémát, az ún. lánc csatolást (“chain coupling class”) valamint a csatorna csatolást (“channel coupling class”) alkalmaznak. Az N-részecske tranzit operátorok közti lineáris relációk miatt az egyes csatornák lecsatolhatók. Speciális esetként az N-részecske Hamilton operator rezolvensére vonatkozó Weinberg N-részecske egyenlet levezethető a BRS egyenletekből. Chandler és Gibson 1977-ben levezetett, ún. két Hilbert tér formalizmuson alapuló egyenletei a rendszer összes lehetséges particióját összekapcsolják, így bonyolultság terén a BRS és a Jakubovszkij formalizmus kötött vannak.

23 A csatolt egyenletek száma N függvényében a különböző formalizmusoknál:
4 5 6 7 8 BRS 3 15 31 63 127 CG 14 51 202 876 4139 NY 18 70 325 651 1764 Y 180 2700 56700 N-részecske formalizmusok: BRS=Bencze-Redish-Sloan, CG=Chandler Gibson, NY= Narogyeckij-Jakubovszkij, Y= Jakubovszkij [ Bencze Gy.: Combinatorial Problems in N-Particle Scattering, Phys.Lett. 72B (1977) 155]

24 A Jakubovszkij egyenletek differenciális változata a konfigurációs térben (Merkuriev 1988):

25 Az N-részecske formalizmus a konkrét alkalmazások mellett szemléletbeli változásokat is hozott magával. A korábban használt közelítő módszerek az egzakt formalizmus alapján szilárdabb elméleti alapokat kaptak, valamint új közelítő módszerek is megszülethettek. Ennek megfelelően mind a csatolt csatornák módszere,mind pedig az ún. effektív háromtest modellek pontosabban megfogalmazhatókká váltak az egzakt formalizmusnak köszönhetően. Egyes új közelítések, mint pl. az ún. “multi three-cluster model of nuclear reactions” közvetlenül levezethetővé válnak a BRS egyenletekből. Bencze Gy.; Polyzou W.N.; Redish E.F.: Effective Three-Body Problems in Multiparticle Nuclear Reactions, Nucl. Phys. A390 (1982) 253 . Bencze Gy.; Chandler C.; Gibson A.G.: Multiparticle Scattering Theory and the Method of Coupled Reaction Channels, Nucl. Phys. A390 (1982) 461. Bencze Gy.; Chandler C.: Multiparticle Scattering Theory and the Multi-Three Cluster Coupling Model of Nuclear Reactions, Phys. Lett. 210B (1988) 23,.

26 A Coulomb szórásprobléma
A szórási határfeltétel szerint rövid hatótávolságú kölcsönhatásokra: Coulomb kölcsönhatás esetén ez az egyszerű fizikai kép érvényét veszti, mivel a Coulomb hullámfüggvény analitikus megoldásból látható, hogy A hagyományos aszimptotikus feltétel nem teljesül, de mivel a kéttest probléma estében analitikus megoldás létezik, a matematikai nehéz-ségeket egy ideig nem ismerték fel. (Véletlen folytán a klasszikus és kvantum hatáskeresztmetszet megegyezik a Rutherford-féle kifejezéssel.) A Lippmann-Schwinger egyenlet már kéttest probléma esetén is szinguláris, a Coulomb szórási hullámfüggvény a homogén egyenletet elégíti ki (West, 1963.)

27 A Coulomb szórás Dollard-féle tárgyalása
Legyen valamint a Coulomb és a „torzított szabad" propagátor rendre Akkor erős topológia szerint léteznek az „általánosított” hullámoperátorok: Az általánosítás sokcsatornás rendszer esetére kézenfekvő.

28 Coulomb háromtest probléma esetén a Fagyejev-egyenletek módosításra szorulnak:
Noble (1967) két töltött részecske esetén a Coulomb rezolvens analitikus alakjának ismeretében vezetett le módosított háromtest egyenleteket. Veszelova (1970) a Fagyejev egyenletekben e Coulomb szingularitások elkülönítésével és invertálásával jutott módosított egyenletekhez, amelyek azonban nem érvényesek a háromtest felbomlási küszöb („three-body breakup threshold”) fölött. Bencze (1972) a háromtest Coulomb rezolvens egy csatornafüggő közelítését felhasználva bevezette a „csatorna torzítás közelítést” („channel distortion approximation”, CDA), és Coulomb torzított AGS-egyenletekre jutott. Alt és Sandhas és Ziegelmann (1978,1980) az árnyékolási és renormálási technika alkalmazásával vezetett le módosított egyenleteket. A Kato-féle láncszabály a Dollard-féle módosított hullámoperátorokra is érvényben marad (Bencze 1977), ezért mind a kétpotenciál formula, mind pedig az ún Gell-Mann-Goldberger reláció azonnal következik. A CDA módszer alkalmazása tehát matematikailag megalapozott. A CDA közelítést később a BRS formalizmus keretében az N-test problémára is sikerült általánosítani (Bencze-Zankel 1980).

29 a kétpotenciál formalizmus általánosítása:
CDA közelítés a BRS N-részecske egyenletekben a kétpotenciál formalizmus általánosítása:

30 Chandler és Gibson (1974) stacionárius formalizmusban tanulmányozta Dollard időfüggő formalizmusát. Bilaterális Laplace-transzformációval általá-nosított sokcsatornás rezolvens egyenleteket vezettek le. Az egyenletek magjában azonban egyes rezolvens operátorok komplex kitevőjű hatványa szerepel, ami a numerikus tárgyalásra a formalizmust alkalmatlanná teszi. Jelenleg még nem létezik minden esztétikai igényt kielégítő, matematikailag szigorú, valamint a gyakorlatban könnyen alkalmazható Coulomb szóráselmélet, de az ennek kidolgozására irányuló erőfeszítések folytatódnak.

31 Azonos részecskék a szóráselméletben
 Kötött állapoti problémák tárgyalásánál a részecskék azonosságának a figyelembe vétele alapvetőn csak technikai kérdés: a Schrödinger-féle sajátérték feladatot az N-részecske Hilbert tér megfelelő szimmetriájú alterében kell megfogalmazni.  Szórásproblémáknál a permutációs szimmetria figyelembe vétele nem triviális feladat, mivel a szórási hullámfüggvény aszimptotikus alakja (szórási határfeltételek) nem rendelkezik a megkövetelt permutációs szimmetriával A problémát meg kell oldani megkülönböztethető részecskék esetére, majd utólag felösszegezni a fizikailag ekvivalens csatornák járulékát (“a kicserélődési tagokat”) az egyes hatás-keresztmetszetekhez.

32 Ha N = 3, 4 az integrálegyenletek szimmetrizálása “nyers erővel” (“brute force”) is elvégezhető.
Három azonos részecske szórásproblémájánál Lovelace (1964) egyetlen egyenletre vezette vissza a Fagyejev-egyenleteket. Harcsenko és Kuzmicsev (1982) a négytest probléma 18 csatolt Jakubovszkij-féle egyenleteit redukálta fáradságos munkával két csatolt egyenletre. Tetszőleges N számú azonos részecske esetében azonban nyilvánvalóan elkerülhetetlen absztrakt algebrai módszerek használata.

33 Tetszőleges N számú azonos részecske szórásának első explicit tárgyalását csoportelméleti módszerekkel Bencze és Redish (1974) végezte el a BRS-formalizmus keretében. A permutációs (“exchange”) szimmetria nem dinamikai természetű, explicit tárgyalása nem függhet az N-részecske egyenletek szerkezetétől, ezért a módszer kiterjeszthető az N-részecske integrál-egyenletek egy széles osztályára, és kidolgozható az azonos részecske szórás általános algebrai elmélete (Bencze és Redish, 1979) Az N-részecske szórás időfüggő tárgyalását azonos részecskék szórására Bencze és Chandler (1982) adta meg az ún két Hilbert-tér formalizmus keretében.

34 Ha az N-részecske rendszer részecskéit permutáljuk, nemcsak a rendszer hulámfüggvénye, hanem az aszimptotikus csatornákat fizikailag jellemző indexek (particiók) is meg fognak változni. Legyen P az SN szimmetrikus csoport tetszőleges eleme, α pedig egy tetszőleges index (partíció vagy particiólánc), akkor a permutáció eredményeképpen: . Az N-részecske rendszert jellemző operátorok rendelkeznek a következő tulajdonsággal („label transforming property”)

35 Mind a csatorna csatolásos („channel coupling class”) mind pedig a lánc csatolásos („chain coupling class”) formalizmusok ilyen típusúak, ezért az egyenletek algebrai módszerekkel szimmetrizálhatók, a rendszer permutációs szimmetriája beépíthető az N-részecske integrál-egyenletekbe. Ha a rendszer többfajta azonos részecskét tartalmaz, akkor permutációs csoportja értelemszerűen a megfelelő szimmetrikus csoportok direkt szorzata: ,

36 Célszerű bevezetni a következő rövid jelölést a rendszer legáltalánosabb S permutációs csoportjának (pontosabban a csoportra épülő algebrának) Young-operátorára . Bizonyos permutációk az α particiót (particióláncot) változatlanul hagyják. Például ha α partició, akkor annak fragmentumaiban lévő részecskék permutációi definició szerint nem vezetnek új particióhoz. Egy adott α index esetén az ilyen permutációk Sα halmaza az SN szimmetrikus csoport egy alcsoportja:

37 Mivel az azonos részecskék permutációja, még ha meg is változtatja az indexet, a rendszer fizikai tulajdonságait változatlanul hagyja, ezért két, α és α, -vel jellemzett egymásba transzformálódó mennyiség, fizikailag egyenértékű. A következő tulajdonságokkal definiált bináris reláció tehát ekvivelancia reláció: Az R reláció az L indexhalmazt diszjunkt ekvivalencia osztályokra bontja fel. A fizikai információt olyan mennyiségek hordozzák, amelyek csak az ekvivalencia osztályoktól függenek, a releváns operátorok osztályfüggvényei. Ha a az {α} ekvivalencia osztályt jelöli, akkor Lagrange tétele értelmében az ekvivalencia osztály elemeinek száma:

38 Az α index tetszőlegesen választható, az ekvivalens indexekhez tartozó alcsoportok egymás konjugáltjai: Fentieket összegezve a következő fontos összefüggések adódnak: ahol

39 Kiindulva az N-részecske egyenletek generikus alakjából
, , , azonnal levezethetők a fizikai tranzit operátorokra vonatkozó egyenletek, amelyeket az osztály-összegek reprezentálnak:

40 A permutációs szimmetriának a dinamikai egyenletekbe való beépítésénél azok előnyös tulajdonságai nem változnak meg, így ha az eredeti egyenlet magja M iteráció után kompakttá válik, ez fennáll az osztálymennyiségekre vonatkozó egyenletnél is. A fizikai T-operátor mátrixelemei első Born közelítésben tartalmazzák az összes kicserélődési járulékot („exchange terms”), ami a magreakciók elméletében való alkalmazásoknál kimelkedő fontossággal bír.

41 Ha megfelelő csoportelméleti és algebrai módszerekkel a rendszer permutációs szimmetriája a dinamikai egyenletekbe beépül, a fizikai állapotok jellemzésére kevesebb mennyiség szükséges, a csatolt egyenletek száma ezért természetes módon csökken. A csatolt egyenletek számának meghatározása azonban ebben az esetben is nemtriviális kombinatorikai probléma, a feladat az index halmaz ekvivalencia osztályainak leszámlálása. Míg a „csatorna csatolási” osztály egyenleteinél a feladat megoldása már korábban meghatározásra került, a Jakubobszkij- formalizmus esetében a megoldást B.R. Karlsson (1982) találta meg, és megmutatta, hogy a csatolt egyenletek száma az Euler és Bernoulli számok segítségével fejezhető ki.

42 A csatolt egyenletek száma a különböző formalizmusokban
3 4 5 6 7 8 BRS 1 2 CG 10 14 21 Y 16 61 272 . BRS= Bencze-Redish-Sloan, CG= Chandler-Gibson, Y= Jakubovszkij

43 A BRS és a Jakubovszkij-féle egyenletek számának összehasonlítása többfajta azonos részecske esetén
aaa aab abc Y BRS N = 4 aaaa aaab aabb aabc abcd Y BRS N = 5 aaaaa aaaab aaabb aaabc aabbc aabcd abcde Y BRS

44 A csatolt egyenletek magas száma miatt az N-részecske integrál-egyenletek nem fognak egyhamar széleskörü alkalmazásra kerülni konkrét problémák tárgyalásánál, ennek ellenére fontos szerepük lehet a magreakciók egyes elméleti kérdéseinek vizsgálatában. Egy ilyen érdekes lehetőség a direkt magreakciók témakörében az ún. „exchange mechanizmusok” vizsgálata. A hagyományos közelítő tárgyalásnál (pl. DWBA, CCBA) a kísérleti adatok interpretálásához szükség van egyes domináns reakciómechanizmusok figyelembe vételére. Az empirikus számításoknál azonban nem ismeretes az egyes mechanimusokat leíró reakcióamplitudók normálása ill. relatív súlya a hatáskeresztmetszetben. Az ilyen esetetekben segítséget jelenthet az egzakt elmélet és az azon alapuló kombinatorikai megfontolások. Az első ilyen vizsgálatot Bencze és Chandler (1985) végezte el és megmutatta, hogy a kicserélődési effektusok a reakció dinamikai tárgyalásától függetlenül tanulmányozhatók. Egy további munkában aztán kidolgozásra került a reakciómechanizmusok egy általános algebrai elmélete, amely a korábbi eredmények szigorú matematikai tárgyalását is megadta (Bencze, Chandler 1995.).

45 Epilógus A kvantummechanika kerek százéves történetének első felében megszületett és szilárd alapokat nyert a kvantummechanika. A kvantummechanika lehetővé tette az anyag szerkezetének feltárását és törvényszerűségeinek megértését. Az atomfizika és atommagfizika rohamos fejlődése szükségszerűen elvezetett az atomenergia felszabadításához, amelyben kulminált a kvantummechanika százéves sikertörténetének első felvonása Az 50-es évektől kezdődően az érdeklődés egyre inkább a szóráskísérletekre összpontosult, amelyek hamarosan a kvantumos effektusok kutatásának leghatékonyabb eszközeivé váltak. Létrejött az ún. „formális szóráselmélet”, amely megalapozta a közelítő módszerek numerikus alkalmazását. Az alkalmazott közelítő módszerek azonban alapvetően kéttest szemléletmódon alapultak, mivel, ahogy azt a korabeli publikációk mindegyikében mentgetőzésképpen megjegyezték: „a háromtest probléma megoldása igen bonyolult.” 1959-ben L. D. Fagyejev kidolgozta a kvantum háromtest szórásprobléma szigorú matematikai elméletét, és ezzel új lendületet adott a szóráselmélet kutatásának.

46 A kvantummechanika százéves történetének második felvonása sikerrel zárult: megszületett az N-test szórásprobléma tárgyalásának elméleti eszköztára, a konkrét alkalmazások már a soktest probléma szemléletmódjához igazodnak, és lényeges előrelépés történt a Coulomb probléma tárgyalása terén is. Sajnos jelenleg még nem létezik minden esztétikai igényt kielégítő, matematikailag szigorú, valamint a gyakorlatban könnyen alkalmazható Coulomb szórás-elmélet, de az idő majd meghozza ezt is. A fejlődésnek azonban nincs vége, hiszen a kísérletek mindig szolgálnak valami új ered-ménnyel, aminek az értelmezése további feladatot jelent a kutatók számára.