A Pitagorasz tétel Készítette: Mgr. Csikós Pajor Gizella

Az előadások a következő témára: "A Pitagorasz tétel Készítette: Mgr. Csikós Pajor Gizella"— Előadás másolata:

1 A Pitagorasz tétel Készítette: Mgr. Csikós Pajor Gizella
Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, Szabadka Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta

2 A Pitagorasz tételről A Pitagorasz tétel az euklideszi geometria egyik legismertebb állítása. Nevét nem szabályos átírással az i.e. VI. században élt matematikusról és filozófusról, Püthagoraszról kapta, bár a tételt jóval előtte babiloni, egyiptomi, görög, indiai és kínai matematikusok már ismerték, sőt a kínaiak bizonyítást is adtak rá.

3 Püthagorasz életéről Püthagorasz, i.e VI. század görögül: Πυθαγόρας
latinosan: Pythagoras ión származású filozófus és matematikus a püthagoreus iskola megalapítója

4 Püthagorasz életéről Püthagorasz mellszobra a Vatikánban

5 Püthagorasz életéről Püthagorasz mellszobra, Rómában található a Capitolium Múzeumban

6 Püthagorasz életéről Püthagorasz középkori ábrázolása a nürnbergi krónikában

7 Püthagorasz életéről III. századbeli pénzérmén
Püthagorasz ábrázolása egy III. századbeli pénzérmén

8 Püthagorasz életéről Raphael festménye Püthagoraszról

9 Püthagorasz életéről Püthagorasz ión származású, a Kis-Ázsiához közel eső Samos szigeten született, a különböző források alapján valamikor i.e. 586 és 570 között. Édesapja ékszer- és dísztárgy-készítő volt.

10 Püthagorasz életéről Samos szigete az Égei-tengerben

11 Püthagorasz életéről

12 Püthagorasz életéről

13 Püthagorasz életéről

14 Püthagorasz életéről Ifjúkorában Püthagorasz annyira szerette a tudományokat, hogy fiatalon elhagyta hazáját, és Egyiptomba ment, ahol megtanulta az egyiptomiak nyelvét, és tanulmányozta azok titkos írásait. Egyiptomból visszatért Samosra, majd körülbelül i.e.530-ban a dél-itáliai Krotón városba költözött.

15 A pitagoreus iskoláról
Itt alapította meg filozófiai és vallási iskoláját, a pitagoreus-iskolát. Ez az idealista, arisztokrata beállítottságú társulat misztikus és titokzatos szövetséggé vált, amely a maga korában jelentős befolyással bírt, nemcsak Krotón városában, hanem a görög városállamok laza szövetségében, a Magna Graeciában is.

16 A pitagoreus iskoláról
A pitagoreusok hittek a lélekvándorlásban, vegetariánusok voltak, és hosszú hajat, fehér gyapjúköntöst viseltek. Szigorúan előírt életmóddal és zenével tisztították meg lelküket, majd különböző próbák után léphettek a szövetségbe.

17 A pitagoreus iskoláról
Ezután avatták be őket a számok és a harmónia misztériumába, amelyben való elmélyülés biztosította számukra az örök igazság megismerését és az istenhez való felemelkedést. Hittek abban, hogy egy isten van, aki a világot a számok közötti kapcsolatoknak, törvényeknek megfelelően teremtette.

18 A pitagoreus iskoláról
A pitagoreusok nevéhez kötődik: a számelméleti kutatások megindítása, a szabályos sokszögek és a szabályos testek tanulmányozása, az irracionális számok felfedezése, a számtani illetve mértani középarányos fogalmának bevezetése.

19 A pitagoreus iskoláról
Püthagorasz Krotóni házigazdájának lányát vette feleségül, életrajza két gyermeküket említi, egy leány és egy fiú gyermeket. Iskolájának növekvő befolyása miatt szervezkedni kezdtek a pitagoreus ellenesek is, akik végül felgyújtották az iskola központját, egy Milón nevű atléta házát.

20 A pitagoreus iskoláról
Egyes hagyományok szerint a gyújtogatók elfogták és megölték Püthagoraszt, más töredékek szerint Metapontiumba száműzték, ahol hamarosan meghalt (a hagyományok szerint bánatában halálra éheztette magát). Ez körülbelül i.e. 500 illetve 496 körül történhetett.

21 A pitagoreus iskoláról
Tanítványainak egy részét lemészárolták, a többieket száműzték, az iskola termeit porig égették. Püthagorasz írásos művet nem hagyott maga után. Tanításait írásos formában tanítványai őrizték meg.

22 Tudományos eredményei
Bár a róla elnevezett tételt nem ő találta fel, sőt nem is ő bizonyította először, és nem tudni mi az amire valóban ő jött rá, és mi az, amire tanítványai, bizonyosnak látszik, hogy személyesen fedezte fel a rezonancia alaptörvényét, mely szerint a hang magassága a rezgő húr hosszának függvénye.

23 Tudományos eredményei
Felismerte, hogy az akkordok hangközeit a húrhosszak számarányaival fejezhetjük ki. A 2:1 arány az oktávnak, a 3:2 arány a kvintnek, a 4:3 arány pedig a kvartnak felel meg.

24 Tudományos eredményei
Középkori fametszet mutatja ahogyan Püthagorasz hangolja a harangokat

25 Püthagorászról A hagyományok szerint Püthagorasz minden egyes beszédét, előadását függöny mögött tartotta. Ő maga nem volt látható, csak hallható. Önmagát félistennek tartotta, és állítólag a következő kijelentést tette: ”Vannak emberek és istenek s olyan lények mint Püthagorasz.”

26 Püthagoraszról Püthagorasz emlékmű Samos szigetén.

27 A Pitagorasz-tétel A Pitagorasz tételt már jóval Püthagorasz előtt is ismerték, sőt ismert volt a bizonyítása is. Az ókori egyiptomiak mindenesetre ismerték, hogy a 3,4 és 5 oldalú háromszög derékszögű, és ezt igen ügyesen használták ki a földterületek mérésében és a piramisok építésében, a következőképpen:

28 A Pitagorasz-tétel Vettek egy hosszú kötelet, arra egyforma közönként 3+4+5=12 csomót kötöttek, összefogták 3, 4 és 5 oldalú háromszöggé és ezzel mérték a derékszöget.

29 A Pitagorasz-tétel

30 A Pitagorasz-tétel A Pitagorasz-tételt kétféle megfogalmazásban ismerjük. 1.TÉTEL: Tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogóra rajzolt négyzet területével.

31 A szokásos jelölésekkel: .
2.TÉTEL: Bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével. A szokásos jelölésekkel:

32 A Pitagorasz-tétel Egyes források szerint a Pitagorasz-tételnek közel száz bizonyítása található különböző munkákban. Ezek közül a két legismertebb, a tétel kétféle megfogalmazására vonatkozó bizonyítás a következő:

33 A Pitagorasz-tétel 1.Bizonyítás: az a+b oldalú négyzetek területeinek darabolása alapján

34 A Pitagorasz-tétel 2. Bizonyítás: a befogótétel alapján

35 Pitagorasz-tételének megfodítása
Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

36 Pitagoraszi számhármasok
Szóljunk még néhány szót a pitagoraszi számhármasokról is. Pitagoraszi-számhármasoknak nevezzük azokat a pozitív egész (a,b,c) számokból álló hármasokat, melyekre teljesül. Ekkor Pitagorasz-tételének értelmében a, b és c egy derékszögű háromszög oldalai.

37 Pitagoraszi számhármasok
A pitagoraszi számhármasok előállításának módját a pitagoreusok találták meg. Írjuk fel két sorban felül a négyzetszámokat, és alul a páratlan számokat. Az alsó sorban található négyzetszám a felső sorban felette lévő két négyzetszámmal együtt pitagoraszi számhármast alkot. Valóban:

38 Pitagoraszi számhármasok
Az alsó sorban az első négyzetszám a 9, felette van a 16 és a 25, következik, hogy 3, 4 és 5 pitagoraszi számhármas. Ugyanígy a következő négyzetszám a 25, felette 144 és 169 található, tehát az 5, 12 és 13 pitagoraszi számhármas.

39 Pitagoraszi számhármasok
Azt, hogy számtalan sok ilyen pitagoraszi számhármas létezik, Euklidész bizonyította be. Ha n természetes számot jelöl, akkor pitagoraszi számhármasok például a következők: 3n,4n,5n n,12n,13n n,24n,25n 8n,15n,17n 9n,40n,41n n,60n,61n 12n,35n,37n stb.

40 A pitagorasz-tétel alkalmazása
Pitagorasz tételének számtalan sok alkalmazása van úgy a geometriában mint az analitikus mértanban. Legyen az elkövetkezendő matematikaóráitok tananyaga ezen széleskörű alkalmazások megismerése.

41 Irodalomjegyzék Sain Márton:
Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest,1977 Breznai Gyula: Pitagorasz tétele, Tankönyvkiadó Budapest, K. A. Ribnyikov: A matematika története,Tankönyvkiadó, Budapest, 1968 Nincs királyi út! ,Gondolat, Budapest, 1986