Egyszerű oszthatósági problémák

Az előadások a következő témára: "Egyszerű oszthatósági problémák"— Előadás másolata:

1 Egyszerű oszthatósági problémák
Oszthatósági problémáknál gyakran használt azonosságok az alábbiak:

2 Igazoljuk az alábbi oszthatóságokat!

3 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait és az (1) azonosságot!

4 Igazoljuk az alábbi oszthatóságokat!

5 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait és a (4) illetve az (5) azonosságot!

6 Az előző tételt alkalmazva könnyen bizonyítható a 11-gyel való oszthatóság szabálya

7 szorzata nyilván osztható kettővel, hiszen az egyik páros szám.
Mutassuk meg, hogy az n2±n kifejezés nϵN esetén mindig osztható kettővel! Két egymást követő természetes szám szorzata nyilván osztható kettővel, hiszen az egyik páros szám.

8 szorzata nyilván osztható kettővel, a négyzete pedig néggyel.
Mutassuk meg, hogy az n4-2n3+n2 kifejezés nϵN esetén mindig osztható néggyel! Két egymást követő természetes szám szorzata nyilván osztható kettővel, a négyzete pedig néggyel.

9 természetes szám szorzatában van olyan tényező, amelyik kettővel,
Mutassuk meg, hogy az n3-n kifejezés nϵN esetén mindig osztható hattal! Három egymást követő természetes szám szorzatában van olyan tényező, amelyik kettővel, van olyan, amelyik hárommal osztható, így a szorzatuk pedig hattal.

10 5 egymást követő természetes szám
Mutassuk meg, hogy a 360 osztója az n6-5n4+4n2 kifejezésnek, ahol nϵN ! 5 egymást követő természetes szám szorzata nyilván osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, tehát 120-szal. De Ez első három és utolsó három tényező miatt 9-cel is osztható.

11 Mutassuk meg, hogy az 5 osztója az n5-n kifejezésnek, ahol nϵN !
Az első tagban 5 egymást követő természetes szám szorzata osztható 5-tel, a második tag 5-tel való oszthatósága egyértelmű, így az összeg is osztható 5-tel.

12 Mutassuk meg, hogy az 5 osztója az n5-n kifejezésnek, ahol nϵN !
Ha az m =0 akkor, az első tényező miatt a szorzat osztható 5-tel. Ha az m=±1,±2, akkor az m2=1,vagy 4. Erre viszont a 2. vagy a 3. tényező lesz 5-tel osztható.

13 Ebből pedig egyből következik az oszthatóság.
Mutassuk meg, hogy az 57 osztója a 7n+2+7n+1+7n kifejezésnek, ahol nϵN ! Ebből pedig egyből következik az oszthatóság.

14 Mutassuk meg, hogy a 3 osztója az n3+2n kifejezésnek, ahol az nϵN!
A zárójeles kifejezésről már megmutattuk, hogy 3-mal osztható, a 3n-ről pedig egyértelmű, így az összeg osztható-3mal.

15 Az n változó mely értékeire lesz a 48 osztója az n3+3n2-n-3 kifejezésnek, ahol az nϵN!
Ha az n értéke páros, akkor három egymást követő páratlan szám szorzata szerepel, nyilván nem osztható a páros 48-cal. Legyen a továbbiakban n = 2k+1 alakú páratlan szám. Az utóbbi szorzat utolsó három tényezős szorzata osztható 6-tal, így a kifejezés 48-cal.

16 Ebből pedig egyből következik az oszthatóság.
Mutassuk meg, hogy a 37 osztója az … kifejezésnek, ahol nϵN ! Ebből pedig egyből következik az oszthatóság.

17 Mutassuk meg, hogy az n3+5n kifejezés nϵN esetén mindig osztató hattal!
A zárójeles részre már bizonyítottuk, a másik tagra pedig egyértelmű, így az egész kifejezés osztható 6-tal.

18 Mutassuk meg, hogy a 13 osztója a 42n+1+3n+2 kifejezésnek, ahol nϵN !
Ebből pedig egyből következik az oszthatóság.

19 Mutassuk meg, hogy a 11 osztója a 32n+2+26n+1 kifejezésnek, ahol nϵN !
Ebből pedig egyből következik az oszthatóság.

20 Mutassuk meg, hogy a 19 osztója a 52n-1∙2n+1 + 3n+1∙22n-1 kifejezésnek, ahol nϵN !
A 19-cel való oszthatóságot nem befolyásolja, ha 10-zel megszorozzuk a fenti kifejezést !

21

22 Mely egészekre lesz a alábbi tört egész?
Így az n lehetséges értékei n = -2; -4; 10; -16

23 Mely egészekre lesz a alábbi tört egész?

24 Három prím összeg csak akkor páros, ha az egyik a 2.(Pl. p=2)
Tudjuk, hogy a p+q+r = 1002 egyenlőségben a p,q,r különböző prímszámok, továbbá közülük a két nagyobbik egymástól nem tér el 20-nál többel. Melyek ezek a prímszámok? Három prím összeg csak akkor páros, ha az egyik a 2.(Pl. p=2) Így q+r =1000 A feltétel miatt q ≤ r esetén r - q ≤ 20 Tehát ≤q < r ≤ Ennek pedig csak a p = 491 és az r = 509 felel meg.