Hálózatok Robusztussága

Az előadások a következő témára: "Hálózatok Robusztussága"— Előadás másolata:

1 Hálózatok Robusztussága
Gulyás László ELTE TTK Tudománytörténet és Tudományfilozófia Tanszék

2 A következő óra elmarad…
Helyette: Barabási Albert-László cikkének elolvasása (az óra honlapjáról elérhető, a Mindentudás Egyetemén elhangzott előadás vázlata). Min. 1 oldalas összefoglaló március 18-ig!!

3 Napirend Ismétlés Robusztusság Eredmények
Erdős-Rényi és Barabási-Albert hálózatok Robusztusság Mit jelent? Miért fontos? Eredmények Albert-Jeong-Barabási Gyártsunk robusztus hálózatot! (Egy lokális modell /Gulyás/) Centralitás-fogalmak Egy kompromisszumos javaslat (Shagel et al.)

4 Ismétlés

5 Ismétlés Klasszikus hálózati modellek

6 Az Erdős-Rényi gráf (Véletlen gráf, 1959.)
N csúcs, minden él p valószínűséggel. Kisvilág, ha összefüggő. Szinte mindig összefüggő: „Óriáskomponens” szinte azonnal és hirtelen. 1/N+ Komponenseken belül is kisvilág. Az összefüggőség is hamar. Exponenciálisan növekvő kapcsolatszám.

7 Az Erdős-Rényi gráf (Véletlen gráf, 1959.)

8 Fokszám-eloszlás Hatványfüggvény, Poisson, etc.
y ~ axb log(y) = log(a) + blog(x) Skálamentesség (scale-free), „vastag farok” (fat tail) A fizikusok „átlagmérete”

9 A Barabási-Albert féle „Preferential Attachment” modell
M darab kezdőcsúcs, tetszőlegesen (pl. teljesen) összekötve. Minden lépésben egy új csúcs, E db új éllel. Véletlenszerű élek, de a valószínűség arányos az élszámmal (v.ö. preferenciális csatolás).

10 A Barabási-Albert modell tulajdonságai
Hatványfüggvény-eloszlás (skálamentes). Triviálisan kisvilág, De triviálisan nem-klaszterezett. „The rich get richer” „Mert akinek van, annak adatik, és bővelkedik, akinek pedig nincs, attól az is elvétetik, amijevan.” (Máté 13:12) Pareto-eloszlás, befektetések, etc. Robosztussága és sérülékenysége. V.ö. Internet, WWW, stb.

11 A Barabási-Albert féle „Preferential Attachment” modell
A „hub”-ok a középppontban…

12 Robusztusság

13 Robusztusság Ellenállóság: Véletlen hibákkal szemben
Támadásokkal szemben Stb.

14 Robusztusság Miért fontos? Robusztus számítógép-hálózatok
Természetvédelem (fajok védelme) Járvány-védelem Információ-terjedés is!! Szervezeti struktúrák Üzleti élet Honvédelem

15 Eredmények

16 Albert-Jeong-Barabási eredményei
Az ER és a BA hálómodellek összehasonlítása Két markánsan különböző hálócsalád (ld. pl. fokszám-eloszlás) Az átlagos úthossz (d) vizsgálata, csúcsok egy töredékének (f) törlése esetén. Véletlen hibázási, illetve támadási forgatókönyv.

17 Albert-Jeong-Barabási eredményei

18 Albert-Jeong-Barabási eredményei
A BA-támadás markánsan különböző viselkedést mutat. Homogenitás és heterogenitás. Persze, ER esetén a hibázás és a támadás „algoritmusa” között kicsi a különbség.

19 AJB: A szétesés folyamata (fragmentáció)
A legnagyobb komponens mérete / N. (S) Az átlagos komponens-méret (kivéve a legnagyobbat). <s>

20 AJB: A szétesés folyamata (fragmentáció)

21 AJB: A szétesés folyamata (fragmentáció)
Az BA hibatűrése különleges. A többinél létezik egy kritikus,„szétesési pont”.

22 Az AJB eredmények összefoglalása

23 Az AJB eredmények összefoglalása

24 Generáljunk robusztus hálókat!

25 Generáljunk robusztus hálókat!
Ebben a megközelítésben csak a hibatűrésre koncentrálunk.

26 Centralitás A csúcs vagy él „központi szerepének” jellemzése

27 Fok-centralitás (degree ~, Freeman,`79)
Kapcsolatok száma: di Normalizálva: di/(N-1) „Népszerűség”, „társaságkedvelés”. Indikátora lehet a hálózatban terjedő információ / betegség megszerzési valószínűségének.

28 Közelség-centralitás (closeness ~, Freeman, `79)
A többi csúcshoz vezető min. utak összege: A centralitás inverz mértéke: ~„távolság”. Normalizálva: 0 és 1 közötti érték + „invertálva” Az információ megszerzésének / a betegség elkapásának „gyorsasága”.

29 Köztesség-centralitás (betweenness ~, `79)
Az áthaladó utak száma: Normalizálva (max-szal osztva): Információ kontrollálásának képessége / „brókerség”, távoli régiók összekötése / az összefüggőség fenntartásának képessége.

30 Sajátérték-centralitás (eigenvector ~, Bonacich `72)
A(z esetleg súlyozott) szomszédsági mátrix fő sajátvektora. Rekurzívan: Minden csúcshoz 1 centralitást rendelünk. A centralitásokat újraszámoljuk a szomszédok centralitásának súlyozott összegeként: Normalizálunk (végigosztunk max(ci)-vel). Addig ismételjük, amíg változás van. A „centrális csúcsokhoz való kapcsoltság mértéke”. Járvány esetén növeli a fertőzés valószínűségét.

31 Az AJB-eredmények egy másfajta formalizálása
Várható köztesség-centralitás: Várhatóan hány utat vág ketté egy hibázó csúcs. ER – Erdős-Rényi SF – Scale-Free (Albert-Barabási) (10 minta átlaga, SF-hez relatívan.)

32 Generáljunk robusztus hálókat! (Egy lokális megközelítés)
A BA-féle (robusztus) háló-generálási modell globális információkat feltételez: Minden újonnan érkező csúcsnak teljes és tökéletes információval kell rendelkeznie az addig létező háló fokszám-eloszlásáról. Ez nem mindig reális feltételezés.

33 A modell: áttekintés A csúcsok (ágensek) inkrementális hozzáadása.
Ágensenként fix számú (E) link. Kezdetben E db teljesen összekötött csúcs. Az ágensek a konnektivitásuk maximalizálására törekszenek. Ezért mindig a legtöbb kapcsolattal rendelkező csúcsokhoz kötődnek. Azonban nem tudnak mindent. Az információt meg kell vásárolniuk (egy absztrakt Központi Egységtől), korlátozott költségvetésül (b) terhére. Az információ ára Független az ágenstől, de függhet a hálózat méretétől – egy ún. árazási séma (PS) alapján.

34 Részletek: Információ-elérés
Az ágenseknek nincs előzetes információjuk a hálózatról Ezért nem tudják megmondani, melyik csúcs konnektivitására kíváncsiak. Meg tudják azonban adni, hogy melyek azok a csúcsok, amiket már ismernek. A Központi Egység válaszul egy véletlenül választott, még nem ismert csúcsról ad információt.

35 Részletek: Költségvetési korlátok
Homogén eset: b = B minden ágens esetén. Heterogén eset: A b-k uniform véletlen értékek [1, B]-ből.

36 Részletek: Árazási sémák
Méret-független: PS0: PS(i) = C Emelkedő költségű: PS1: PS(i) = C*B / i Csökkenő költségű (‘economies of scale’): PS2: PS(i) = i / C

37 Eredmények Több árazási séma és költségvetés kombinációja is robusztus hálózatot eredményez.

38 Eredmények 1/3 (10 minta átlaga.)

39 (10 minta átlaga, SF-hez relatívan.)
Eredmények 2/3 (10 minta átlaga, SF-hez relatívan.)

40 Eredmények 3/3

41 A generált hálózatok (#3)
Több árazási séma és költségvetés kombinációja is robusztus hálózatot eredményez. Homogén költségvetési korlátok. Méret-független PS. (PS0)

42 A generált hálózatok (#1)
Több árazási séma és költségvetés kombinációja is robusztus hálózatot eredményez. Homogén költségvetési korlátok. Növekvő költségű PS. (PS1)

43 A generált hálózatok (##)
Több árazási séma és költségvetés kombinációja is robusztus hálózatot eredményez. Homogén költségvetési korlátok. ‘Economies of Scale’ PS. (PS2)

44 A generált hálózatok (#2)
Több árazási séma és költségvetés kombinációja is robusztus hálózatot eredményez. Heterogén költségvetési korlátok- Méret-független PS. (PS0)

45 A generált hálózatok (#4)
Több árazási séma és költségvetés kombinációja is robusztus hálózatot eredményez. Heterogén költségvetési korlátok. Növekvő költségű PS. (PS1)

46 A generált hálózatok (##)
Több árazási séma és költségvetés kombinációja is robusztus hálózatot eredményez. Heterogén költségvetési korlátok. ‘Economies of Scale’ PS. (PS2)

47 A generált hálózatok A PS1 jobbnak látszik PS0-nél.
A homogén költségvetési korlát jobbnak tűnik a heterogénnél. A PS2 nem tűnik robosztusnak. Holott néha konkrétan skálamentes hálókat generál…

48 Hibatűrés kontra Támadástűrés

49 Hibatűrés kontra Támadástűrés
Egy kompromisszumos javaslat Shagel et al.

50 ER kontra BA Egyenletesség kontra Preferencialitás
Fix méret kontra Növekedés

51 Shagel et al. két paramétere
Egyenletesség kontra Preferencialitás (p[0,1]) Fix méret kontra Növekedés (g [0,1])

52 Shagel et al. Erdős-Rényi háló: Barabási-Albert háló: p = g = 0

53 Shagel et al. modellje N csúcs, E él. k=2E/N
I=(1-g)N kezdeti csúcs, G=gN „hozzánövesztett” csúcs. Ik/2 alkalommal: Két véletlen csúcs összekötése a PP(i) eloszlás szerint. G alkalommal: Új csúcs hozzáadása, és k/2 véletlen csúcshoz linkelése. Partnerválasztás a PP(i) eloszlás szerint. PP(i) = min[ p  kmax, max(ki, 1)] / ∑j min[ p  kmax, max(kj, 1)]

54

55 A következő óra elmarad…
Helyette: Barabási Albert-László cikkének elolvasása (az óra honlapjáról elérhető, a Mindentudás Egyetemén elhangzott előadás vázlata). Min. 1 oldalas összefoglaló március 18-ig!!

56 Összefoglalás Ismétlés Robusztusság Eredmények Centralitás-fogalmak
Erdős-Rényi és Barabási-Albert hálózatok Robusztusság Mit jelent? Miért fontos? Eredmények Albert-Jeong-Barabási Gyártsunk robusztus hálózatot! (Egy lokális modell /Gulyás/) Egy kompromisszumos javaslat (Shagel et al.)