Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény

Az előadások a következő témára: "Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény"— Előadás másolata:

1 Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény
Dr Ketskeméty László előadása

2 Dr Ketskeméty László előadása
A valószínűségi változó definíciója Dr Ketskeméty László előadása

3 Dr Ketskeméty László előadása
Példák K : kockadobás Dr Ketskeméty László előadása

4 Dr Ketskeméty László előadása
Példák K : egy ember véletlenszerű kiválasztása X a kiválasztott neme: 1- ha férfi, 2- ha nő Y a kiválasztott kora Z a kiválasztott magassága W a kiválasztott gyerekei/eltartottjai száma Dr Ketskeméty László előadása

5 Dr Ketskeméty László előadása
Az eloszlásfüggvény Nívóesemény az x pontban: Dr Ketskeméty László előadása

6 Az eloszlásfüggvény tulajdonságai
Dr Ketskeméty László előadása

7 A kockadobás értékének eloszlásfüggvénye
Dr Ketskeméty László előadása

8 Intervallumba esés valószínűsége
Dr Ketskeméty László előadása

9 Dr Ketskeméty László előadása
Diszkrét valószínűségi változó Dr Ketskeméty László előadása

10 Dr Ketskeméty László előadása
Diszkrét v.v. eloszlása Egy diszkrét valószínűségi változót tehát értékkészletének és eloszlásának a segítségével definiálhatjuk. Dr Ketskeméty László előadása

11 Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: lépcsős
Dr Ketskeméty László előadása

12 Dr Ketskeméty László előadása
Binomiális eloszlás I. K egy véletlen kísérlet, AA egy esemény, p= P(A) az esemény valószínűsége Hajtsuk végre függetlenül K-t n-szer, azonos körülmények között! Legyen X az A esemény gyakorisága a kísérletsorozatban. X értékkészlete: ÉkX = {0, 1, 2, …, n} Dr Ketskeméty László előadása

13 Dr Ketskeméty László előadása
Binomiális eloszlás II. X eloszlása: A binomiális tételből: Dr Ketskeméty László előadása

14 Dr Ketskeméty László előadása
Binomiális eloszlás III. Dr Ketskeméty László előadása

15 Dr Ketskeméty László előadása
Binomiális eloszlás IV. Dr Ketskeméty László előadása

16 Dr Ketskeméty László előadása
Binomiális eloszlás V. Dr Ketskeméty László előadása

17 Dr Ketskeméty László előadása
Példák binomiális eloszlásra n kockadobásból a hatosok száma  Bin (n, 1/6) n darabos csomagolásban a selejtes tételek száma n kérdésből álló teszten a jó válaszok száma n meghívottból a rendezvényen megjelentek száma véletlenszerűen kiválasztott n szelvény között a nyertes szelvények száma véletlenszerűen kiválasztott n hitelező között a „bedőlők” száma Stb. Dr Ketskeméty László előadása

18 Dr Ketskeméty László előadása
Poisson eloszlás I. Dr Ketskeméty László előadása

19 Dr Ketskeméty László előadása
Poisson eloszlás II. Dr Ketskeméty László előadása

20 Dr Ketskeméty László előadása
Poisson eloszlás III. A binomiális eloszlás közelítése a Poisson-eloszlással:  n p   n   és p  0 Dr Ketskeméty László előadása

21 Példák Poisson eloszlásra
egy taxisofőr által egy hónap alatt okozott balesetek száma 1 m 2 szöveten található szövési hibák száma egy nagyvárosban egyetlen napon meghibásodó pénzjegyautomaták száma az éjszaka megfigyelhető csillaghullások száma a Geiger-Müller számlálóval érzékelt atomhasadások száma egy biztosítónál egy napon bejelentett lakástüzek száma egy átömlesztéshez használt vérkészítmény 1 mm3 -ében található vörös vérsejtek száma egy számítógépes raktárkészlet-nyilvántartó rendszer napi „lefagyásainak” száma számítógépes operátor által egy óra alatt vétett adatbeviteli hibák száma Stb. Dr Ketskeméty László előadása

22 Dr Ketskeméty László előadása
Hipergeometriai eloszlás I. egy lottóhúzásnál a találatok száma  Hig(5, 5, 90) véges pupulációból történő mintavételezésnél a selejtesek száma Dr Ketskeméty László előadása

23 Dr Ketskeméty László előadása
Hipergeometriai eloszlás II. Egy úrnából, ahol F piros és N-F zöld golyó van visszatevés nélkül kiveszünk n golyót: X a kivett n db golyó között a pirosak száma hipergeometriai eloszlású! Dr Ketskeméty László előadása

24 A hipergeometriai eloszlás közelítése binomiális eloszlással
Nagy alap-populáció esetén nincs lényeges különbség a visszatevéses és a visszatevés nélküli mintavételezés között: Dr Ketskeméty László előadása

25 A geometriai eloszlás I.
K egy véletlen kísérlet, AA egy esemény, P = P(A) az esemény valószínűsége Addig hajtsuk végre a véletlen kísérletet, amíg az esemény be nem következik! Jelöljük X-szel a sikeres bekövetkezéshez szükséges kísérletszámot! , Dr Ketskeméty László előadása

26 A geometriai eloszlás II.
Dr Ketskeméty László előadása

27 Dr Ketskeméty László előadása
A geometriai eloszlás örökifjú tulajdonsága A diszkrét eloszlások között a geometriai az egyetlen örörkifjú! Dr Ketskeméty László előadása

28 Dr Ketskeméty László előadása
Diszkrét eloszlások szimulációja Dr Ketskeméty László előadása

29 Dr Ketskeméty László előadása
Folytonos valószínűségi változók, sűrűségfüggvény : Dr Ketskeméty László előadása

30 Dr Ketskeméty László előadása
Intervallumba esés valószínűsége folytonos esetben Dr Ketskeméty László előadása

31 Dr Ketskeméty László előadása
Egyenletes eloszlás I. Sűrűségfüggvény: Eloszlásfüggvény: Dr Ketskeméty László előadása

32 Dr Ketskeméty László előadása
Egyenletes eloszlás II. A számítógépek véletlenszám generátora Uni(0,1) eloszlást generál! Dr Ketskeméty László előadása

33 Dr Ketskeméty László előadása
Az exponenciális eloszlás I. Sűrűségfüggvény: Eloszlásfüggvény: Dr Ketskeméty László előadása

34 Dr Ketskeméty László előadása
Az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága Dr Ketskeméty László előadása

35 Dr Ketskeméty László előadása
Példák exponenciális eloszlásra egy berendezés élettartama a pénztárnál várakozás időtartama két telefonhívás között eltelt időtartam egy jármű két elromlása között eltelő idő egy jármű javításának időtartama  az átlagos időtartam reciproka! Dr Ketskeméty László előadása

36 Dr Ketskeméty László előadása
A normális eloszlás I. Sűrűségfüggvény: Eloszlásfüggvény: Dr Ketskeméty László előadása

37 Dr Ketskeméty László előadása
A normális eloszlás II. Dr Ketskeméty László előadása

38 Dr Ketskeméty László előadása
Példák normális eloszlásra a Duna vízszintjének magassága a januári középhőmérséklet Budapesten az emberek testmagassága az emberek testsúlya a villamosenergia felvétel egy benzinkút napi fogyása a mérés hibája egy bolt napi bevétele egy lift súlyterhelése egy palack űrtartalma egy csavar hossza, rugalmassági tényezője, súlya, stb. az u-próba statisztikája a Wilcoxon-próba statisztikája stb. Dr Ketskeméty László előadása

39 Standard normális eloszlás
Haranggörbe, Gauss-függvény: Standard normális eloszlásfüggvény: Dr Ketskeméty László előadása

40 Dr Ketskeméty László előadása
Carl Friedrich Gauss ( ) Dr Ketskeméty László előadása

41 Dr Ketskeméty László előadása
A standard normális eloszlás táblázata Pl. (2.15)=0, Dr Ketskeméty László előadása

42 Dr Ketskeméty László előadása
 és  tulajdonságai Dr Ketskeméty László előadása

43 Dr Ketskeméty László előadása
Negatív argumentum kiszámítása Pl. (-1,10)=1-(1,10)=1-0, =0, Dr Ketskeméty László előadása

44 Dr Ketskeméty László előadása
Transzformációs törvények Dr Ketskeméty László előadása

45 Dr Ketskeméty László előadása
Szórási szabályok Dr Ketskeméty László előadása