Algebrai geometriai számítások

Az előadások a következő témára: "Algebrai geometriai számítások"— Előadás másolata:

1 Algebrai geometriai számítások
Előadó Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.huA tanszék munkatársai Farkas Gábor Segédanyagok Budapest ősz

2 1.1. Véges Abel-csoportok alaptétele
- 2-

3 Biz. Zárt, mert a, b  Ei és o(a) = o(b) = n : (ab)n = anbn = ε és n-nél kisebbekre  ε , a többi tulajdonság öröklődik a zártsággal. - 3-

4 euklidészi algoritmus 
γ  A felírható: E1 ekkor  E2 Egyértelmű a felbontás? - 4-

5 azaz   - 5-

6 Biz.: teljes indukció előző lemmával...
- 6-

7 1.2. Kongruenciák Euler-Fermat tétel. Biz.
legyen { r1, ..., rφ(m) } RMR modulo m , (a, m) = 1  { ar1 , ..., arφ(m) } is az! megfelelő párosítás  ri  arj (mod m) összeszorozva: (ri , m ) = 1 - 7-

8 Kis Fermat-tétel. másik alak: Biz. előző tétel miatt kész az első alak második alak 0  0 első alak kész - 8-

9 Lineáris kongruencia - 9-

10  is megoldás bármely t egészre. - 10-

11 megoldás: - 11-

12 visszahelyettesítve:
ami a szimultán megoldás. Ha x1 és x2 megoldás, akkor Általánosabban: - 12-

13 Biz. is teljesül. - 13-

14 - 14-

15 1.3. Redukált maradékosztályok csoportja
multiplikatív! Csoport? zártság:  (ab, m) = 1 asszociativitás: öröklődik egységelem: a inverze: - 15-

16 - 16-

17 Hogy keressük meg a többit?
kell legyen, azaz akkor teljesül, ha - 17-

18 Biz. - 18-

19 - 19-

20 - 20-

21 1.4. Kvadratikus maradék - 21-

22 Biz. Kis Fermat tétel  - 22-

23 - 23-

24 Biz. - 24-

25 (2): x csak 0, vagy 2 lehet és p | x De p > 2  x = 0 - 25-

26 Észrevétel. p prím  ezek közt ott van a reprezentánsa ha a kvadratikus maradék mod p, azaz csak akkor lehet, ha a  g2k . Összefoglalva: - 26-

27 - 27-

28 Biz. trivi (4) Euler-kritérium  indukció  - 28-

29 - 29-

30 Észrevétel. Biz. összeszorozva kapjuk: - 30-

31 vegyük (mod p): ezzel szorozva kapjuk, hogy - 31-

32 Vegyük észre, hogy a  írhatunk = jelet  helyett. Ha m összetett, akkor tekintsük a következő összefüggést: Ekkor hasonlóan járhatunk el, mint az 1.15 tétel (4) pontjának bizonyításánál. - 32-

33 Hogy dönthető el, hogy létezik-e megoldása az
kongruenciának? - 33-

34 Biz. - 34-

35 - 35-

36 Input: Output: Példa: jakobi.mws - 36-

37 Megjegyzések. „álprímektől” védve van - 37-

38  megfelelően sok ismétléssel tetszőlegesen megbízhatóvá tehető
gyorsan elvégezhető: Jacobi műveletigénye  Solovay-Strassen műveletigénye: O(log2(n)) - 38-