III. zárthelyi dolgozat konzultáció

Az előadások a következő témára: "III. zárthelyi dolgozat konzultáció"— Előadás másolata:

1 III. zárthelyi dolgozat konzultáció
Gazdaságstatisztika III. zárthelyi dolgozat konzultáció

2 A zárthelyi dolgozat felépítése
3 fogalom definíciója (3*2 = 6pont) A fogalomtárban szereplő fogalmak közül három Elméleti feladat (8 pont) Számítási feladat a korreláció- és regressziószámítás témaköréből (4 pont) Számítási feladat a statisztikai próbák témaköréből (10 pont) Összesen: 28 pont Sikeres teljesítéshez szükséges minimum: 14 pont Gazdaságstatisztika

3 FELADATOK A KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS TÉMAKÖRÉBŐL
Gazdaságstatisztika FELADATOK A KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS TÉMAKÖRÉBŐL

4 1. Feladat Egy vállalat havi árbevétele (x) és havi üzleti eredménye (y) közötti kapcsolat egy 10 elemű minta alapján az y = -9+0,1x lineáris regressziós függvénnyel írható le. A mintában az árbevétel korrigált empirikus szórása 9,8 millió Ft, az üzleti eredményé 1,1 millió Ft. a.) Értelmezze a regressziós egyenes meredekségét! b.) Határozza meg az árbevétel és az üzleti eredmény közötti determinációs együtthatót, és értelmezze az eredményt! Gazdaságstatisztika

5 1. Feladat - megoldás a.) A regressziós egyenes: y = -9+0,1x. Ennek meredeksége 0,1. Ez azt jeleneti, hogy az árbevétel egységnyi növekedése az üzleti eredmény átlagosan 0,1 egységnyi növekedését vonja maga után. b.) Az árbevétel (x) és az üzleti eredmény (y) közötti determinációs együttható meghatározása Egyrészt a determinációs együttható: Másrészt a regressziós egyenes meredeksége: Ez utóbbi két összefüggésből a determinációs együttható: Gazdaságstatisztika

6 1. Feladat - megoldás A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: A determinációs együttható: A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x). Esetünkben ez azt jelenti, hogy az üzleti eredmény varianciáját (változékonyságát) 79,37%-ban magyarázza az árbevétel . Gazdaságstatisztika

7 2. Feladat Teherhajók tömege (x) és kirakodási idejük (y) között a tapasztalati lineáris korrelációs együttható értéke egy 10 elemű minta alapján 0,87. A mintában a hajótömegek korrigált tapasztalati szórása 7,2 tonna, a kirakodási időé 2,1 óra. a.) Hány %-ban magyarázza a kirakodási idő varianciáját a teherhajók tömege? b.) Adja meg a kirakodási idő és a hajótömeg közötti regressziós egyenes meredekségét! Gazdaságstatisztika

8 2. Feladat - megoldás a.) A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x). Esetünkben a korrelációs együttható értéke 0,87. Ennek négyzete 0,7569 a determinációs együttható értéke, azaz a kirakodási idő varianciájának 75,69%-át magyarázza a teherhajók tömege. b.) A regressziós egyenes meredekségének meghatározása: Egyrészt a regressziós egyenes meredeksége: Másrészt a korrelációs együttható: Ez utóbbi két összefüggésből a regressziós egyenes meredekségére: Gazdaságstatisztika

9 2. Feladat - megoldás A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: A regressziós egyenes meredekségéről tudjuk, hogy A teherhajók tömegének 1 egységnyi növekedése a kirakodási idő átlagosan 0,254 egységnyi növekedését eredményezi. Gazdaságstatisztika

10 FELADATOK A NEMPARAMÉTERES PRÓBÁK TÉMAKÖRÉBŐL
Gazdaságstatisztika FELADATOK A NEMPARAMÉTERES PRÓBÁK TÉMAKÖRÉBŐL

11 1. Feladat Egy ipari parkban az elmúlt 70 évben az évente bekövetkező áramkimaradások gyakorisága az alábbi táblázat szerint alakult. 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy az áramkimaradások száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó? Áramkimaradások száma (évente): 1 2 3 4 5 6 7 7-nél több Évek száma: 16 23 15 Gazdaságstatisztika

12 1. Feladat - megoldás A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg H0: az áramkimaradások éves száma Poisson-eloszlást követ H1: az áramkimaradások éves száma nem Poisson-eloszlást követ A feltételezett eloszlás (Poisson-eloszlás) paramétere nem ismert, ezért becsléses illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Gazdaságstatisztika

13 Hipotézisvizsgálatok
Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálat χ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Független minták esetén Páros minták esetén F-próba H0: σ21 =σ22 Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

14 1. Feladat - megoldás A megoldás menete
Tudjuk, hogy a nullhipotézis teljesülése esetén az áramkimaradások éves száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A mintából becslést adunk az eloszlás paraméterére. Meghatározzuk, hogy az áramkimaradások száma a feladatban megadott értékeket mekkora valószínűséggel veszi fel. Kiszámítjuk az áramkimaradások számának elméleti gyakoriságait. Az elméleti és tapasztalati gyakoriságok ismeretében – a khi-négyzet próba alkalmazásával – illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Gazdaságstatisztika

15 1. Feladat - megoldás Jelölje az áramkimaradások éves számát, mint valószínűségi változót. Ha a nullhipotézis teljesül, akkor paraméterű Poisson-eloszlású. A paraméter (maximum likelihood) becslése a mintaátlag: Az elméleti gyakoriságok meghatározásához a következő valószínűségeket kell kiszámítanunk Áramkimaradások száma: 1 2 3 4 5 6 7 7-nél több Évek száma: 16 23 15 Gazdaságstatisztika

16 1. Feladat - megoldás A valószínűségek ismeretében az elméleti gyakoriságok az összefüggés alapján számíthatók, ahol N=70 a minta elemszáma. A következő táblázat a próba végrehajtásához szükséges tapasztalati és kiszámított elméleti gyakoriságokat tartalmazza. k 6 0,1108 7,7562 1 16 0,2438 17,0637 2 23 0,2681 18,7701 3 15 0,1966 13,7647 4 7 0,1082 7,5706 5 0,0476 3,3311 0,0174 1,2214 0,0055 0,3839 7-nél több 0,0020 0,1384 Gazdaságstatisztika

17 1. Feladat - megoldás A próba végrehajtása
Tesztstatisztika kiszámítása: A kritikus érték meghatározása A szabadságfok: DF = r-l-1 = = 7 (r=9, l=1, mert 1 paramétert becsültünk.) és a szabadságfok ismeretében a khi-négyzet eloszlás táblázatából: Döntés , ezért a nullhipotézist 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk. Gazdaságstatisztika

18 Asztallap vastagsága (d)
2. Feladat Egy faipari üzemben a méretre gyártott asztallapok vastagságát vizsgálták. 200 asztallap vastagságát megmérve az adatokat az alábbi táblázatban rögzítették. 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy az asztallapok vastagsága normális eloszlású valószínűségi változó 50,2mm várható értékkel és 1,3mm szórással? Asztallap vastagsága (d) (mm) Asztallapok száma (darab) d < 47 3 47 ≤ d < 49 31 49 ≤ d < 51 105 51 ≤ d < 53 56 53 ≤ d 5 Gazdaságstatisztika

19 2. Feladat - megoldás A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg. H0: az asztallapok vastagsága 50,2mm várható értékű, 1,3mm szórású normális eloszlást követ H1: az asztallapok vastagsága nem 50,2mm várható értékű, 1,3mm szórású normális eloszlást követ Mivel ismertek a feltételezett eloszlás elméleti paraméterei, ezért tiszta illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Gazdaságstatisztika

20 Hipotézisvizsgálatok
Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálat χ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Független minták esetén Páros minták esetén F-próba H0: σ21 =σ22 Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

21 Asztallap vastagsága (d)
2. Feladat - megoldás A feladat megoldásához meg kell határoznunk az asztallap vastagságának a megadott kategóriákba esési elméleti gyakoriságait. A nullhipotézis teljesülése esetén az asztallap vastagság megadott kategóriákba esési valószínűségeit a , paraméterű normális eloszlásfüggvény segítségével számíthatjuk ki. E valószínűségek ismeretében a megadott kategóriákba esési elméleti gyakoriságok kiszámíthatóak. A megadott kategóriákba esési valószínűségek meghatározása Jelölje az asztallapok vastagságát, mint valószínűségi változót. A következő valószínűségeket kell meghatároznunk: Asztallap vastagsága (d) (mm) d < 47 47 ≤ d < 49 49 ≤ d < 51 51 ≤ d < 53 53 ≤ d Gazdaságstatisztika

22 2. Feladat - megoldás A , paraméterű normális eloszlás helyett a standard normális eloszlásfüggvénnyel számolunk Gazdaságstatisztika

23 Asztallap vastagsága (d)
2. Feladat - megoldás A valószínűségek ismeretében az elméleti gyakoriságok az összefüggéssel meghatározhatóak, ahol N=200 a minta elemszáma Megjegyzés: Próba végrehajtása Tesztstatisztika kiszámítása: a kategóriák száma Asztallap vastagsága (d) (mm) d < 47 3 0,007 1,3834 47 ≤ d < 49 31 0,1711 34,2133 49 ≤ d < 51 105 0,5528 110,5732 51 ≤ d < 53 56 0,2534 50,7049 53 ≤ d 5 0,0156 3,1252 Gazdaságstatisztika

24 2. Feladat - megoldás A kritikus érték meghatározása Döntés
A szabadságfok: DF = r-l-1 = = 4 (l=0, mert nem becsültünk egyetlen paramétert sem) és a szabadságfok ismeretében a khi-négyzet eloszlás táblázatából Döntés , ezért a nullhipotézist elfogdajuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten elfogadható az a feltételezés, hogy az asztallapok vastagsága normális eloszlású valószínűségi változó 50,2mm várható értékkel és 1,3mm szórással. Gazdaságstatisztika

25 3. Feladat A csokoládé, a vanília és az eper-fagylaltok iránti preferenciát vizsgálták kisiskolások körében. 4 korcsoportban, összesen 289 kisiskolástól kérdezték meg, hogy melyik fagylaltok kedveli a leginkább. A felmérés eredményét a következő táblázat összegzi. 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy a fagylaltok iránti preferencia független a kisiskolás korától? 1. osztály 2. osztály 3. osztály 4. osztály Csokoládé 26 62 48 12 Vanília 8 18 6 Eper 16 42 28 11 Gazdaságstatisztika

26 Hipotézisvizsgálatok
Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálat χ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Független minták esetén Páros minták esetén F-próba H0: σ21 =σ22 Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

27 3. Feladat - megoldás r=3; s=4; DF=(r-1)(s-1)=(3-1)(4-1)=6; =5%
A 6 szabadságfokú khi-négyzet eloszlás táblázatából az =5%-hoz tartozó érték: Döntés: χ 2sz ≤ χ20,05 =>a nullhipotézis elfogadható, a fagylaltok iránti preferencia független a kisiskolás korától. F11= 148*50/289 = 25,606 F21= 44*50/289 = 7,612 … F34=97*29/289=9,734 1. osztály 2. osztály 3. osztály 4. osztály Csokoládé 26 62 48 12 148 25.606 62.478 45.066 14.851 Vanília 8 18 6 44 7.612 18.574 13.398 4.415 Eper 16 42 28 11 97 16.782 40.948 29.536 9.734 50 122 88 29 289 f1· f2· f3· f·1 f·2 f·3 f·4 Gazdaságstatisztika

28 FELADATOK A PARAMÉTERES PRÓBÁK TÉMAKÖRÉBŐL
Gazdaságstatisztika FELADATOK A PARAMÉTERES PRÓBÁK TÉMAKÖRÉBŐL

29 1. Feladat Egy fémipari üzemben a 300mm névleges átmérőjű tárcsákat az “A” és “B” jelű műszakokban gyártják. A két műszakban gyártott tárcsák átmérőjének hosszára vonatkozóan elvégzett mérések eredményeit az alábbi táblázat összegzi. (A gyártott tárcsák átmérőjének hossza normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető.) 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke nagyobb, mint a “B” műszakban gyártottaké? "A" műszak "B" műszak Minta elemszáma 11 10 Mintából számított átlag (mm) 300,1 299,6 Tapasztalati szórásnégyzet 0,8944 0,7745 Gazdaságstatisztika

30 1. Feladat - megoldás A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg. H0: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke egyenlő a “B” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értékével. H1: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke nagyobb, mint a “B” műszakban gyártottaké A tárcsák átmérőjének hossza normális eloszlású valószínűségi változó, ezért a feladatunk két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékei egyenlőségének tesztelése. Gazdaságstatisztika

31 1. Feladat - megoldás A megoldás menete
Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékei egyenlőségét Kétmintás z-próbával tesztelhetjük, ha ismertek az elméleti szórások vagy a minták elemszáma nagyobb 30-nál Kétmintás t-próbával tesztelhetjük, ha az elméleti szórások ismeretlenek, de azok egyenlősége feltételezhető Esetünkben az elméleti szórások ismeretlenek és a minták elemszámai 30-nál nem nagyobbak, ezért a kétmintás z-próba nem alkalmazható F-próbát alkalmazunk az elméleti szórások egyenlőségének tesztelésére Ha az F-próba eredményeként feltételezhető az elméleti szórások egyenlősége, akkor kétmintás t-próbával teszteljük a várható értékek egyenlőségét Gazdaságstatisztika

32 Hipotézisvizsgálatok
Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálat χ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Független minták esetén Páros minták esetén F-próba H0: σ21 =σ22 Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

33 1. Feladat - megoldás F-próba
H0: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének szórása egyenlő a “B” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének szórásával. H1: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének szórása nagyobb, mint a “B” műszakban gyártottaké. Számlálóhoz tartozó szabadságfok: 11-1=10 Nevezőhöz tartozó szabadságfok: 10-1=9 , ezért 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk az elméleti szórások egyenlőségét és a várható értékek egyenlőségét kétmintás t-pórbával teszteljük Gazdaságstatisztika

34 1. Feladat - megoldás Kétmintás t-próba
H0: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke egyenlő a “B” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értékével. H1: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke nagyobb, mint a “B” műszakban gyártottaké. Szabadságfok: DF= =19 Egyoldali próba Elfogadási tartomány: Gazdaságstatisztika

35 1. Feladat - megoldás az elfogadási tartományba esik, ezért 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk a nullhipotézist, azaz az “A” és “B” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke között nincs szignifikáns különbség. Gazdaságstatisztika

36 2. Feladat Egy palackozó üzemben az 1-es és 2-es gyártósorokon palackozott 1 liter névleges űrtartalmú üdítőitalok töltési térfogatát vizsgálták. Egy-egy mintát vettek a két soron palackozott üdítőitalokból, s a mintákból meghatározták a töltési térfogatok átlagát és tapasztalati szórásnégyzetét. Az eredményeket az alábbi táblázatban rögzítették. (A töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető.) a. ) 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke nagyobb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké? b.) 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának szórása kisebb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké? 1-es gyártósor 2-es gyártósor Minta elemszáma 61 Mintából számított átlag 1,02 0,98 Tapasztalati szórásnégyzet 0,045 0,05 Gazdaságstatisztika

37 2. Feladat - megoldás a.) A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg. H0: az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke egyenlő a 2-es gyártósóron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értékével H1: az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke nagyobb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké A töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változó, ezért a feladatunk két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékei egyenlőségének tesztelése. Gazdaságstatisztika

38 2. Feladat - megoldás a.) A megoldás menete
Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékei egyenlőségét Kétmintás z-próbával tesztelhetjük, ha ismertek az elméleti szórások vagy a minták elemszáma nagyobb 30-nál Kétmintás t-próbával tesztelhetjük, ha az elméleti szórások ismeretlenek, de azok egyenlősége feltételezhető Esetünkben az elméleti szórások ismeretlenek és a minták elemszámai 30-nál nagyobbak, ezért a kétmintás z-próba alkalmazható Az kétmintás t-próba szintén alkalmazható, ha az elméleti szórások egyenlősége feltételezhető. Ez utóbbi feltételezést F-oróbával tesztelhetjük. Gazdaságstatisztika

39 Hipotézisvizsgálatok
Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálat χ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Független minták esetén Páros minták esetén F-próba H0: σ21 =σ22 Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

40 2. Feladat - megoldás a.) feladat megoldása kétmintás z-próbával
H0: H1: => Elfogadási tartomány: Próbastatisztika: Döntés A próbastatisztika értéke az elfogadási tartományba esik, ezért a két gyártósoron palackozott üdítőitalok várható töltési térfogatát 5%-os szignifikancia szinten egyenlőnek tekinthetjük. Nem fogadható el az az állítás, hogy az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke nagyobb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké. Gazdaságstatisztika

41 2. Feladat - megoldás b.) A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg. H0: az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának szórása egyenlő a 2-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának szórásával H1: az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának szórása kisebb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké A töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változó, ezért a feladatunk két normális eloszlású valószínűségi változó szórásai egyenlőségének tesztelése. A szórások egyenlőségének tesztelésére F-próbát alkalmazunk. Gazdaságstatisztika

42 2. Feladat - megoldás b.) feladat megoldása F-próbával H0: H1:
ezért a próbastatisztika: A számlálóhoz tartozó szabadságfok: A nevezőhöz tartozó szabadásfok: Döntés , azaz a nullhipotézis 5%-os szignifikancia szinten elfogadható, így ezen a szignifikancia szinten elfogadható a szórások egyenlősége, s nem fogadható el az az állítás, miszerint az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok szórása kisebb, mint a 2-es soron palackozottaké. Gazdaságstatisztika

43 2. Feladat - megoldás Mivel 5%-os szignifikancia szinten a szórások egyenlősége elfogadható, így az a.) feladat kétmintás t-próbával is megoldható. H0: H1: DF= =120; => Elfogadási tartomány: Próbastatisztika: Gazdaságstatisztika

44 2. Feladat - megoldás Megjegyzés Döntés
A próbastatisztika értéke az elfogadási tartományba esik, ezért a két gyártósoron palackozott üdítőitalok várható töltési térfogatát 5%-os szignifikancia szinten egyenlőnek tekinthetjük. Nem fogadható el az az állítás, hogy az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke nagyobb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké. Megjegyzés A kétmintás z-próbánál, valamint a kétmintás t-próbánál a próbastatisztikák és az elfogadási tartományok A kapott értékek jól érzékeltetik, hogy a két próba végrehajtása a gyakorlat szempontjából azonos eredményt hoz. Gazdaságstatisztika

45 Gazdaságstatisztika ELMÉLETI FELADATOK

46 Elméleti feladatok Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! Mutassa be az egymintás t-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! Ismertesse az idősorok determinisztikus modell szerinti összetevőit és additív dekompozícióját! Ismertesse az idősorok determinisztikus modell szerinti összetevőit és multiplikatív dekompozícióját! Ismertesse az empirikus regressziós egyenes meghatározásának módszerét! Ismertesse az empirikus korrelációs együttható és a regressziós egyenes összefüggését! Mutassa be az empirikus lineáris regresszió jellemzésére vonatkozó variancia analízist és értelmezze a determinációs együtthatót! Ismertesse a kétmintás t-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! Gazdaságstatisztika

47 A próba célja és alkalmazásának feltételei
1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! A próba célja és alkalmazásának feltételei Az egymintás z-próba célja annak a hipotézisnek a tesztelése, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen várható értéke egy adott értékkel egyenlő. A próba akkor alkalmazható, ha a vizsgált normális eloszlású valószínűségi változó elméleti szórása ismert, vagy a vizsgált normális eloszlású valószínűségi változóra vonatkozó független minta elemszáma 30-nál nagyobb. Módszer Hipotézisek felállítása: Nullhipotézis H0: Az alternatív hipotézis felállítására három lehetőségünk van: a.) H1: kétoldali próba b.) H1: egyoldali próba c.) H1: egyoldali próba Gazdaságstatisztika

48 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! (folytatás)
szignifikancia szint rögzítése ( tipikus értékei 0,1; 0,05; 0,01) n db független megfigyelést végzünk -re, ennek eredménye egy n-elemű minta. A minta felhasználásával meghatározzuk a próbastatisztika értékét: , ha ismert, és , ha ismeretlen, de a mintából számított átlag, a mintából számított korrigált empirikus szórás ismeretében a kritikus tartomány meghatározása. Ha az alternatív hipotézis: H1: , akkor a kritikus tartomány: H1: , akkor a kritikus tartomány: , , ahol a standard normális eloszlásfüggvény inverze Döntés A nullhipotézist szignifikancia szinten elutasítjuk, ha a próbastatisztika a kritikus tartományba esik. Ellenkező esetben a nullhipotézist szignifikancia szinten elfogadjuk. Gazdaságstatisztika

49 A próba célja és alkalmazásának feltételei
2. Mutassa be az egymintás t-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! A próba célja és alkalmazásának feltételei Az egymintás t-próba célja annak a hipotézisnek a tesztelése, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen várható értéke egy adott értékkel egyenlő. A próbát akkor alkalmazzuk, ha a vizsgált normális eloszlású valószínűségi változó elméleti szórása ismeretlen. Módszer Hipotézisek felállítása: Nullhipotézis H0: Az alternatív hipotézis felállítására három lehetőségünk van: a.) H1: kétoldali próba b.) H1: egyoldali próba c.) H1: egyoldali próba Gazdaságstatisztika

50 2. Mutassa be az egymintás t-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! (folytatás)
szignifikancia szint rögzítése ( tipikus értékei 0,1; 0,05; 0,01) n db független megfigyelést végzünk -re, ennek eredménye egy n-elemű minta. A minta felhasználásával meghatározzuk a próbastatisztika értékét: a mintából számított átlag, a mintából számított korrigált empirikus szórás ismeretében a kritikus tartomány meghatározása. Ha az alternatív hipotézis: H1: , akkor a kritikus tartomány: H1: , akkor a kritikus tartomány: , , ahol az n-1 szabadságfokú t-eloszlásfüggvény inverze Döntés A nullhipotézist szignifikancia szinten elutasítjuk, ha a próbastatisztika a kritikus tartományba esik. Ellenkező esetben a nullhipotézist szignifikancia szinten elfogadjuk. Gazdaságstatisztika

51 mint az idősor összetevői határozzák meg.
3. Ismertesse az idősorok determinisztikus modell szerinti összetevőit és additív dekompozícióját! Idősorok determinisztikus modell szerinti megközelítésében az idősor alakulását egy tartósan érvényesülő hosszútávú tendencia, az úgynevezett trend, a trendgörbe körüli hosszútávú kilengések, ingadozások, az úgynevezett ciklikus mozgások, a trendértékek körüli azonos, vagy majdnem azonos, állandó periódushosszal ismétlődő mintázatokat eredményező szezonális hatás, valamint az eseti-egyedi eltéréseket eredményező véletlen hatás, mint az idősor összetevői határozzák meg. Gazdaságstatisztika

52 3. Ismertesse az idősorok determinisztikus modell szerinti összetevőit és additív dekompozícióját! (folytatás) Vizsgálataink során a ciklikus ingadozások elemzésétől eltekintettünk és az idősorok összetevőinek a trendhatást, a szezonális hatást és a véletlen hatást tekintettük. Egy idősor additív dekompozíciója esetén az idősor egy elemének értékét e három összetevő összegeként írjuk fel, azaz Ahol : az idősorban az i-edik periódus j-edik szezonjához tartozó érték : az idősorban az i-edik periódus j-edik szezonjához tartozó érték trendösszetevője : a j-edik szezonális eltérés (a szezonális hatásból fakadó összetevő) : az idősorban az i-edik periódus j-edik szezonjához tartozó érték véletlen összetevője (a véletlen hatásból fakadó összetevő) Gazdaságstatisztika

53 mint az idősor összetevői határozzák meg.
4. Ismertesse az idősorok determinisztikus modell szerinti összetevőit és multiplikatív dekompozícióját! Idősorok determinisztikus modell szerinti megközelítésében az idősor alakulását egy tartósan érvényesülő hosszútávú tendencia, az úgynevezett trend, a trendgörbe körüli hosszútávú kilengések, ingadozások, az úgynevezett ciklikus mozgások, a trendértékek körüli azonos, vagy majdnem azonos, állandó periódushosszal ismétlődő mintázatokat eredményező szezonális hatás, valamint az eseti-egyedi eltéréseket eredményező véletlen hatás, mint az idősor összetevői határozzák meg. Gazdaságstatisztika

54 4. Ismertesse az idősorok determinisztikus modell szerinti összetevőit és multiplikatív dekompozícióját! (folytatás) Vizsgálataink során a ciklikus ingadozások elemzésétől eltekintettünk és az idősorok összetevőinek a trendhatást, a szezonális hatást és a véletlen hatást tekintettük. Egy idősor additív dekompozíciója esetén az idősor egy elemének értékét e három összetevő szorzataként írjuk fel, azaz Ahol : az idősorban az i-edik periódus j-edik szezonjához tartozó érték : az idősorban az i-edik periódus j-edik szezonjához tartozó érték trendösszetevője : a j-edik szezonális hányados (a szezonális hatásból fakadó összetevő) : az idősorban az i-edik periódus j-edik szezonjához tartozó érték véletlen összetevője (a véletlen hatásból fakadó összetevő) Gazdaságstatisztika

55 A legjobb illeszkedést a legkisebb négyzetek elvének értelmében az
5. Ismertesse az empirikus regressziós egyenes meghatározásának módszerét! Az magyarázó változó és az eredményváltozó között lineáris sztochasztikus kapcsolatot feltételezünk. Tegyük fel, hogy és együttes megfigyeléseiből rendelkezésünkre áll az minta ( , ha ) Célunk az lineáris regressziós függvény és paramétereinek meghatározása úgy, hogy az függvény az ponthalmazra a legjobban illeszkedjen A legjobb illeszkedést a legkisebb négyzetek elvének értelmében az négyzetösszeg minimalizálásával érhetjük el, azaz keressük azt a és értéket, amelyekre az függvény minimális. Megjegyzés Ha az eltérések mindegyike normális eloszlású valószínűségi változó 0 várható értékkel és azonos szórással, akkor a és paraméterek legkisebb négyzetek elve szerinti meghatározása a paraméterek maximum likelihood becslésével azonos. Gazdaságstatisztika

56 Belátható, hogy akkor minimális, ha
5. Ismertesse az empirikus regressziós egyenes meghatározásának módszerét! (folytatás) Belátható, hogy akkor minimális, ha E két egyenletet normálegyenleteknek nevezzük, megoldásuk adja az empirikus regressziós egyenes és paramétereit*: ahol *A képletek a képletgyűjteményben megtalálhatóak Gazdaságstatisztika

57 6. Ismertesse az empirikus korrelációs együttható és a regressziós egyenes összefüggését!
Az magyarázó változó és az eredményváltozó között lineáris sztochasztikus kapcsolatot feltételezünk. Tegyük fel, hogy és együttes megfigyeléseiből rendelkezésünkre áll az minta ( , ha ), és legyen az függvény a mintából meghatározott regressziós egyenes, azaz az az egyenes, amely az ponthalmazra a legkisebb négyzetek elvének értelmében a legjobban illeszkedik Legyen az és közötti, mintából számított empirikus korrelációs együttható. Belátható a lineáris regressziós függvény együtthatója és az empirikus korrelációs együttható közötti alábbi összefüggés: ahol, Gazdaságstatisztika

58 és mivel és pozitív mennyiségek,
6. Ismertesse az empirikus korrelációs együttható és a regressziós egyenes összefüggését! (folytatás) és mivel és pozitív mennyiségek, így és előjele azonos, azaz pozitív korrelációs együttható esetén a regressziós egyenes meredeksége pozitív, negatív korrelációs együttható esetén a regressziós egyenes meredeksége negatív továbbá ha , akkor az és értékek között nincs lineáris kapcsolat. Belátható továbbá, hogy ha , akkor és csak akkor a minta minden pontjára valamely , konstansokra, azaz az lineáris regressziós egyenes a minta minden pontjára illeszkedik. Minél közelebb van hez, annál szorosabb a lineáris regressziós kapcsolat és között. Gazdaságstatisztika

59 Tekintsük az értékek teljes varianciáját: , ahol
7. Mutassa be az empirikus lineáris regresszió jellemzésére vonatkozó variancia analízist és értelmezze a determinációs együtthatót! Az magyarázó változó és az eredményváltozó között lineáris sztochasztikus kapcsolatot feltételezünk. Tegyük fel, hogy és együttes megfigyeléseiből rendelkezésünkre áll az minta ( , ha ), és legyen az függvény a mintából meghatározott regressziós egyenes, azaz az az egyenes, amely az ponthalmazra a legkisebb négyzetek elvének értelmében a legjobban illeszkedik Tekintsük az értékek teljes varianciáját: , ahol Belátható, hogy , ahol , és az empirikus lineáris regressziós függvény helyettesítési értéke az helyen. Gazdaságstatisztika

60 az értékek teljes varianciája,
7. Mutassa be az empirikus lineáris regresszió jellemzésére vonatkozó variancia analízist és értelmezze a determinációs együtthatót! (folytatás) az értékek teljes varianciája, a teljes variancia azon része, amelyet az értékekkel figyelembe vett regressziós kapcsolat magyaráz, a teljes variancia azon része, amely nem az értékkel figyelembe vett regressziós viszonynak tudható be. Igazolható, hogy Az értéket, amely az empirikus korrelációs együttható négyzete, determinációs együtthatónak nevezzük. A determinációs együttható megadja, hogy a sztochasztikus kapcsolatban az eredményváltozó teljes varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó. Gazdaságstatisztika

61 A próba célja és alkalmazásának feltételei
8. Ismertesse a kétmintás t-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! A próba célja és alkalmazásának feltételei Az kétmintás t-próba célja annak a hipotézisnek a tesztelése, hogy két normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen várható értékei egyenlőek. A próba akkor alkalmazható, ha a vizsgált normális eloszlású valószínűségi változók ismeretlen elméleti szórásai egyenlők. Ez utóbbi feltétel teljesülését – adott szignfikancia szint mellett – F-próba segítségével ellenőrizhetjük. Módszer Legyen a két vizsgált valószínűségi változó és , ismeretlen várható értékeik és , és közös (ismeretlen) elméleti szórásuk . Hipotézisek felállítása: Nullhipotézis H0: Az alternatív hipotézis felállítására három lehetőségünk van: a.) H1: kétoldali próba b.) H1: egyoldali próba c.) H1: egyoldali próba Gazdaságstatisztika

62 8. Ismertesse a kétmintás t-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! (folytatás)
szignifikancia szint rögzítése ( tipikus értékei 0,1; 0,05; 0,01) db független megfigyelést végzünk -re és db független megfigyelést végzük re, ezek eredménye egy-egy , illetve elemű minta. A minták felhasználásával meghatározzuk az mennyiséget, majd a próbastatisztika értékét: ahol , illetve a re vonatkozó mintából számított átlag, illetve korrigált tapasztalati variancia és , illetve a re vonatkozó mintából számított átlag, illetve korrigált tapasztalati variancia ismeretében a kritikus tartomány meghatározása. Ha az alternatív hipotézis: H1: , akkor a kritikus tartomány: H1: , akkor a kritikus tartomány: , , ahol az szabadságfokú t-eloszlásfüggvény inverze A nullhipotézist szignifikancia szinten elutasítjuk, ha a próbastatisztika a kritikus tartományba esik. Ellenkező esetben a nullhipotézist elfogadjuk. Gazdaságstatisztika