Molekuladinamika 1. A klasszikus molekuladinamika alapjai

Az előadások a következő témára: "Molekuladinamika 1. A klasszikus molekuladinamika alapjai"— Előadás másolata:

1 Molekuladinamika 1. A klasszikus molekuladinamika alapjai
Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában A molekuladinamika alapötlete A módszer kialakulásának rövid története

2 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
Emlékeztetőül A klasszikus mechanika (Newton) mozgásegyenlete ahol 𝑝 a lendület, 𝑡 az idő, 𝐹 𝑖 a vizsgált objektumra ható erők. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

3 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
Emlékeztető: Állandó tömeg esetén vagy 𝑚 𝑑 2 𝑟 𝑑 𝑡 2 = 𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑖 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

4 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
A mozgásegyenlet felírása válasszuk ki a testet, amely mozgását le akarjuk írni, válasszuk meg célszerűen a koordinátarendszerünket, határozzuk meg, milyen más testekkel van a kiszemelt test kölcsönhatásban, az erőtörvények ismeretében állapítsuk meg a testre ható erőket Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

5 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
A mozgásegyenlet megoldása Másodrendű, közönséges differenciálegyenlet (KDE). Megoldásához így két kezdeti feltételre van szükség. amennyi a rendje, annyi kezdeti feltétel szükséges a mozgásegyenletnél a kezdeti hely és sebesség a két kezdeti feltétel A KDE megoldása egyszerűbb esetekben analitikusan is lehetséges numerikusan, pl. Euler vagy Runge-Kutta módszerrel (lsd. korábbi előadás) Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

6 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
Az eredmény 𝑟 𝑡 , azaz a vizsgált objektum mozgásának a pályája vagy trajektóriája pl. 2D-ben (sematikus ábra) y x Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

7 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
Példa: ferdehajítás csak a gravitációs erő hat a testre, így a mozgásegyenlet 𝑚 𝑑 2 𝑟 𝑑 𝑡 2 =𝑚 𝑔 y 𝒗 𝟎 𝒓 𝒕 𝒎 𝒈 𝛼 x Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

8 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
kezdeti feltételek 𝑟 0 = 0,0,0 𝑣 0 = 𝑣 0 cos 𝛼 , 𝑣 0 sin 𝛼 ,0 erő komponensei 𝑚 𝑔 = 0,−𝑚𝑔,0 így 2 KDE adódik x irányú mozgás: 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 = 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =0 y irányú mozgás: 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =−𝑔 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =−𝑔 z irányban nem mozog, ezért azzal nem foglalkozunk Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

9 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
analitikus megoldás mindkettő megoldható két egymáskövető integrálással emlékeztető az integrációs konstansok a kezdeti feltételekből adódnak 𝑥 𝑡 = 𝑣 0 𝑡 cos 𝛼 és 𝑦 𝑡 =− 1 2 𝑔 𝑡 2 + 𝑣 0 sin 𝛼 tehát a helyzetvektor (lényegében a trajektória) 𝑟 𝑡 = 𝑣 0 𝑡 cos 𝛼 , − 1 2 𝑔 𝑡 2 + 𝑣 0 sin 𝛼 , 0 Megjegyzés: parabola a mozgás pályája Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

10 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
numerikus megoldás Az egyenlet megoldásához a 𝑡 tengelyen diszkrét pontokat definiálunk 𝑡 𝑛 = 𝑡 0 +𝑛Δ𝑡 𝑛=0,1,…,𝑁 Δ𝑡 pedig az időlépés. Jelölés 𝑥 𝑛 ≡𝑥 𝑡 𝑛 , 𝑦 𝑛 ≡𝑦 𝑡 𝑛 𝑣 𝑥 𝑛 ≡ 𝑣 𝑥 𝑡 𝑛 , 𝑣 𝑦 𝑛 ≡ 𝑣 𝑦 𝑡 𝑛 a másodfokú KDE-t két elsőfokú egymás utáni megoldására redukáljuk 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =0  𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =0 és 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

11 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
azaz a sebesség mindig az időben előző sebességet veszi fel (állandó); lényegében a 𝑣 𝑥 0 kezdeti sebességgel halad x irányban 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =−𝑔  𝑣 𝑦 𝑛+1 − 𝑣 𝑦 𝑛 Δt =−𝑔  𝑣 𝑦 𝑛+1 = 𝑣 𝑦 𝑛 −𝑔Δ𝑡 𝑣 𝑦 0 kezdeti sebesség és gravitációs gyorsulás ismeretében számítható 𝑣 𝑥 1 , majd 𝑣 𝑥 1 ismeretében 𝑣 𝑥 2 , stb. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

12 Trajektória számolás klasszikus mechanikai problémában
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥  𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 Δ𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑛  𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 + 𝑣 𝑥 𝑛 Δ𝑡 𝑥 0 kezdeti x koordináta és a 𝑣 𝑥 0 x irányú kezdeti sebesség ismeretében számítható 𝑥 1 majd 𝑥 1 és a sebességre vonatkozó KDE megoldásából származó 𝑣 𝑥 1 segítségével számítható 𝑥 2 stb. 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦  𝑦 𝑛+1 − 𝑦 𝑛 Δt = 𝑣 𝑦 𝑛  𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + 𝑣 𝑦 𝑛 Δ𝑡 𝑦 0 kezdeti y koordináta és a 𝑣 𝑦 0 y irányú kezdeti sebesség ismeretében számítható 𝑦 1 majd 𝑦 1 és a sebességre vonatkozó KDE megoldásából származó 𝑣 𝑦 1 segítségével számítható 𝑦 2 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

13 A molekuladinamika alapötlete
Egy sokrészecskés rendszer (pl. atomok) esetében ha ismerjük az atomok közötti kölcsönhatást leíró erőfüggvényeket, akkor pusztán a mozgásegyenletek megoldásával kiszámítható minden részecske mozgása. egy kiszemelt részecskére felírjuk a mozgásegyenletet, mégpedig úgy, hogy az összes többi részecske rágyakorolt erőhatását figyelembe vesszük Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

14 A molekuladinamika alapötlete
ezt minden részecskére megtesszük ez egy csatolt KDE rendszert eredményez, melyet numerikusan megoldunk megjegyzés: anyagtudományi problémák esetében nem a részecskék között ható erőket ismerjük, hanem a potenciális energiát (röviden potenciálnak emlegetik) 𝐹 =−grad𝑈 𝑟 emlékeztető: Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

15 A molekuladinamika alapötlete
Pl. Lennard-Jones potenciál két semleges atom közötti helyzeti energia talán a legismertebb potenciál a potenciálokkal majd foglalkozunk bővebben, ez csak egy példa Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

16 A molekuladinamika alapötlete
minimum egyensúly   grad𝑈=0  𝐹=0 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

17 A molekuladinamika alapötlete
Alapalgoritmus Atomok kezdeti pozíciójának megadása 𝑟 (𝑡=0), Δ𝑡 megválasztása Az erő 𝐹 =−grad𝑈 𝑟 (𝑡) és a gyorsulás 𝑎 = 𝐹 /𝑚 kiszámítása Atomok mozgatása: 𝑟 𝑡+Δ𝑡 számítása a mozgásegyenlet numerikus megoldásával Az idő léptetése: 𝑡=𝑡+Δ𝑡 Ismétlés amíg szükséges Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

18 A molekuladinamika rövid története
1957 Alder és Wainwright publikálta cikkét a Journal of Chemical Physics-ben, melyben szilárd-folyadék fázisátalakulást tanulmányoztak az atomok merev gömbök voltak Vineyard and Dienes írt egy alapkönyvet a Radiation Damage in Solids címmel, majd egy konferencián magyarázta az elméletet. A diszkusszió során, a párbeszédek alatt fogalmazódott meg benne, hogy a számítógéppel is követni lehetne a folyamatokat. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

19 A molekuladinamika rövid története
1960 J.B. Gibbson, A.N. Goaland, M. Milgram és G.H. Vineyard megvalósították az ötletet, melyet le is publikáltak a Physical Review-ban itt már a részecskék kölcsönhatását egy folytonos potenciál írja le a mozgásegyenlet integrálását véges differencia módszerrel végezték mozit készítettek a részecskék mozgásáról, mely annyira sikeres lett, hogy azóta szinte kötelező ilyet készíteni és minden megvásárolható program tartalmazza a lehetőséget Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

20 A molekuladinamika rövid története
1964 A. Rahman az argon fázisdiagramját Lennard-Jones potenciált használt 864 atom volt a számításában 1967 L. Verlet kidolgozott egy új integrálási módszert, mely azóta Verlet módszerként ismeretes szintén Verlet vezette be az eljárás gyorsítására a „könyvelési rendszert” Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

21 A molekuladinamika rövid története
Ezt követően finomítottak, optimalizáltak még az algoritmusokon Nagy erőket összpontosítottak és összpontosítanak ma is a potenciálok meghatározására Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés