V. Optimális portfóliók

Az előadások a következő témára: "V. Optimális portfóliók"— Előadás másolata:

1 V. Optimális portfóliók
2016. ősz Befektetések I.

2 V.1. Portfólióelmélet matematikai alapjai
2016. ősz Befektetések I.

3 Kovariancia és korreláció
2016. ősz Befektetések I.

4 2 részvény várható hozama és szórása E(rA)=10%, σ(rA)=20%, E(rB)=15%, σ(rB)=30%, a hozamok közötti korreláció 0,7. Mekkora a kovariancia? 2016. ősz Befektetések I.

5 Két részvény hozamai az alábbiak szerint alakultak az elmúlt 6 évben
Két részvény hozamai az alábbiak szerint alakultak az elmúlt 6 évben. Adja meg a kovariancia és a korreláció értékét! 10% -3% 16% -8% 18% 9% 3,0% -10,0% 9,0% -15,0% 11,0% 2,0% -0,0030 -0,0135 0,0022 -0,0045 -0,0110 0,0018 -0,0280 0,0009 0,01 0,0081 0,0225 0,0121 0,0004 0,054 2016. ősz Befektetések I.

6 2 elemű portfólió Két részvény (múltbeli átlagos) hozama 12%, illetve 17%, hozamuk szórása 35%, illetve 50%, a hozamok közötti korreláció 0,6. Mennyi egy 50-50%-os súlyú portfólió hozamának szórása? 2016. ősz Befektetések I.

7 Minimális szórású 2 elemű portfólió
De nem erre optimalizálunk hasznosságmaximalizálás 2016. ősz Befektetések I.

8 Portfólió variancia mátrix
Általános képlet Portfólió variancia mátrix 2016. ősz Befektetések I.

9 3 részvény várható hozama 10%, 14%, 16%; a hozamok szórása 20%, 30%, 40%. kAB=0,6; kAC=-0,4; kBC=0,1 Mennyi a % súlyú portfólió várható hozama és szórása? 2016. ősz Befektetések I.

10 V.2. Egy kockázatos és egy kockázatmentes befektetés optimális kombinációja
2016. ősz Befektetések I.

11 rf r1 rQ 2016. ősz Befektetések I.

12 Az alábbi adatokkal leírt befektetésekből állítson össze optimális portfóliót az A=4 kockázatkerülésű befektetőnek, adja meg ennek várható hozam és szórás paramétereit és becsülje meg, hogy 1000$ befektetésével 25 év múlva milyen sávban lesz a 99,73%-os valószínűséggel a portfólió értéke! rf=2%; E(r1)=12%, σ(r1)=20% 2016. ősz Befektetések I.

13 E(rQ)=8,25%, σ(rQ)=12,5%, P0=1000$, n=25év
2016. ősz Befektetések I.

14 V.3. Két kockázatos befektetés optimális kombinációja
2016. ősz Befektetések I.

15 r1 r2 rR rmin σ 2016. ősz Befektetések I.

16 V.4. Kockázatmentes befektetés és két kockázatos befektetés optimális kombinációja
r1 r2 rR rf rQ 2016. ősz Befektetések I.

17 Tőkeallokációs egyenes
2016. ősz Befektetések I.

18 rf=3%, E(rA)=10%, σ(rA)=20%, E(rB)=8%, σ(rB)=16%, E(rC)=5%, σ(rC)=8%,
Ha az alábbi kockázatos befektetések közül egyet választhatna, melyiket kombinálná a kockázatmentessel a maximális várható hasznosságú portfólió összeállításához? rf=3%, E(rA)=10%, σ(rA)=20%, E(rB)=8%, σ(rB)=16%, E(rC)=5%, σ(rC)=8%, 2016. ősz Befektetések I.

19 A tőkeallokációs egyenes meredekségét adja meg az ún. Sharpe-mutató:
2016. ősz Befektetések I.

20 A befektetők hasznosságmaximalizálása két mozzanaton keresztül történik:
1. A legmeredekebb tőkeallokációs egyenest biztosító kockázatos befektetés vagy portfólió megtalálása. 2. A befektető számára legnagyobb hasznosságot jelentő kockázatos – kockázat mentes kombináció megtalálása. 2016. ősz Befektetések I.

21 V.5. Kockázatmentes befektetés és „sok” kockázatos befektetés optimális kombinációja
r1 r2 rf rQ ri rR 2016. ősz Befektetések I.

22 rQ rM rf 2016. ősz Befektetések I.

23 2016. ősz Befektetések I.

24 Időbeli diverzifikáció csapdái
„Egyet veszít, kettőt nyer” alapon 1000$. Elutasítás (1000$ elvesztése nagyobb veszteség, mint 2000$ nyerésének öröme). „De elfogadom a fogadást, ha vállalod, hogy százszor felajánlod azt.” „Egy dobás nem elég ahhoz, hogy a nagy számok törvénye megfelelő biztonsággal érvényesüljön.” Nézzünk utána! 2016. ősz Befektetések I.

25 Mivel az egyes érmefeldobások egymástól függetlenek:
1000 $-ért 50% eséllyel 2000$ 50% eséllyel -1000$ Mivel az egyes érmefeldobások egymástól függetlenek: A kockázat nő! Igaz, csak a négyzetgyökösen. 2016. ősz Befektetések I.

26 Teljesen más eseteket jelent, hogy n egy portfólió elemszáma:
„Ne egyszerre dobjunk fel 1000 $-t, hanem 100-szor 10-10$-t!” Ebben az esetben az 1000$-os portfóliót osztjuk fel 100 részre, nem pedig 100 újabb fogadást kötünk. Ilyenkor érvényesül a „nagy számok törvénye”. 2016. ősz Befektetések I.

27 Nézzünk egy másik példát!
A=5, egy rf és egy E(r)=15%, σ(r)=20% kombináció. Optimális választás: 0,4 - 0,6 Befektetőnk „megijed”, mert hozama 95%-kal -13,8% és 34,2% között ingadozik Arra gondol viszont, hogy ő hosszabb távra tervez, a különböző időszakok hozamai függetlenek, így végeredményben igen stabilan fogja hozni az éves 10,2%-ot. 2016. ősz Befektetések I.

28 Kétségtelen, hogy hosszabb távra kalkulálva a hozamok éves átlagos (
Kétségtelen, hogy hosszabb távra kalkulálva a hozamok éves átlagos (!) szórása csökken, méghozzá az idő négyzetgyökével. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a befektetés hosszabb távra kevésbé kockázatos! Hiszen az egyre kisebb éves átlagos hozamok az idővel arányosan egyre inkább „felnagyítódnak”. 2016. ősz Befektetések I.

29 De nem! E(rc)T 1 T rT 2016. ősz Befektetések I.

30 E(r) 4 n, T 1 9 2016. ősz Befektetések I.