Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Az előadások a következő témára: "Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében"— Előadás másolata:

1 Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében
A Tantárgy címe Elektronikus kereskedelem PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS IX. Előadás ALAPTERMÉKEK ÁRALAKULÁSÁNAK MODELLEZÉSE Az Európai Szociális Alap támogatásával Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében PPKE ITK - VE MIK

2 Tartalom A binomiális háló modell A folytonos multiplikatív modell
A Tantárgy címe Tartalom A binomiális háló modell A folytonos multiplikatív modell A Wiener folyamat ITO-Folyamatok Folytonos idejű árfolyammodellek A diszkontált árfolyamat GBM vs BLM 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

3 BEVEZETÉS A cél: az alaptermék áralakulásának modellezése
A Tantárgy címe BEVEZETÉS A cél: az alaptermék áralakulásának modellezése Két alapmodell: binomiális háló Ito - folyamatok 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

4 A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL (BLM) I.
A Tantárgy címe A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL (BLM) I. Választunk egy periódust, pl. 1 hét A modell: egy periódus elején az ár: S ekkor a periódus végén az ár S+ = Su vagy Sd itt u > 1, d < 1 fix a növekedés valószínűsége p, a csökkenés valószínűsége 1-p 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

5 A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL II.
A Tantárgy címe A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL II. 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

6 FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL I.
A Tantárgy címe FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL I. Választunk egy periódust, pl. 1 hét (jav: v helyett u irandó) vagy ahol normális eloszlású független. (Jav: v helyett ) Ekkor lognormális. (Jav: v helyett u irandó) 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

7 FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL II.
A Tantárgy címe FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL II. A log-dinamikából kapjuk: Itt a 2. tag normális ! Feltevés: S(0) konstans, így S(k) lognormális ! (Jav: v helyett ) 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

8 EMPIRIKUS LOG-HOZAM ADATOK
A Tantárgy címe EMPIRIKUS LOG-HOZAM ADATOK log S(k) eloszlása: (INSERT: Fig 11.3, p.302) Észrevétel: vastagfarkú eloszlás! Tipikus értékek:  = 12%,  = 15% 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

9 A Tantárgy címe LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS Definíció (ism.): u lognormális, ha w = ln u normális. A lognormális eloszlás: (INSERT: Fig 11.4, p.304) 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

10 LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS II.
A Tantárgy címe LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS II. Tegyük fel, hogy w: Ekkor re: Értelmezés: ew felfelé szóródik, alulról korlátos, pozitív  = 15% esetén: ! De: nagyobb volatilitás esetén az korrekció jelentős 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

11 A WIENER FOLYAMAT I. Véletlen tagok összege → véletlen bolyongás
A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT I. Véletlen tagok összege → véletlen bolyongás Legyen (k) független, standard normális, N(0,1). A részletösszegek sorozata egy véletlen bolyongás. . 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

12 A WIENER FOLYAMAT II. Egy véletlen bolyongás átskálázása:
A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT II. Egy véletlen bolyongás átskálázása: legyen  t > 0, tk = k t Ábrázolás: a (t,z) síkon. 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

13 WIENER FOLYAMAT III. Egy véletlen bolyongás: A Tantárgy címe 2006
HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

14 A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT IV. A z(tk) folyamat jellemzői: z(tk) egy Gauss folyamat : Ha [t1,t2] és [t3,t4] nem metszik egymást, akkor 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

15 A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT V.  t → 0 esetén: a Wiener-folyamat formális, heurisztikus definíciója: ahol (t) standard normális, és t’ ≠ t’’ esetén. Alternatív terminológia: Brown mozgás dz(t): Gauss fehér zaj 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

16 A WIENER FOLYAMAT VI. Precíz definíció: z(t) Wiener-folyamat, ha
A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT VI. Precíz definíció: z(t) Wiener-folyamat, ha Minden s < t -re z(t) – z(s) normális, Ha [t1,t2] és [t3,t4] nem metszik egymást, akkor z(0) = 0 és z(t) folytonos 1 valószínűséggel 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

17 ITO – FOLYAMATOK I. Példa:
A Tantárgy címe ITO – FOLYAMATOK I. Klasszikus kalkulus: ha x(t) differenciálható, akkor (Leibniz-fromalizmusa) Formáslis differenciál (infinitezimális) kalkulus: alapja a linearitás ill. Példa: 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

18 A Tantárgy címe ITO - FOLYAMATOK II. Sztochasztikus kalkulus: a z(t) Wiener folyamat nem-differenciálható. Egy új formálsi infinitezimális elem: dz(t). Az új infinitezimális kalkulus objektumai: Értelmezés: drift + diffúzió Az x(t) folyamat neve: Ito - folyamat. 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

19 ITO - FOLYAMATOK III. Műveleti szabályok: alapja linearitás és Példa:
A Tantárgy címe ITO - FOLYAMATOK III. Műveleti szabályok: alapja linearitás és Példa: Ekkor Az utolsó tag: az Ito-féle korrekciós tag ! 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

20 AZ ITO - LEMMA Kérdés: Mi az folyamat sztochasztikus differenciálja.
A Tantárgy címe AZ ITO - LEMMA Általában: legyen Kérdés: Mi az folyamat sztochasztikus differenciálja. Ito-lemma: legyen F elég sima, kétszer folyt. diff.ható. Ekkor Az utolsó tag: az Ito-féle korrekciós tag. 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

21 FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK I.
A Tantárgy címe FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK I. Az árfolyam a t időben: S(t) A modell: (jav: 3 helyett +, r helyett ) Ez megoldható: 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

22 FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK II.
A Tantárgy címe FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK II. Mi az S(t) dinamikája? Legyen Ekkor: ,így Az utolsó tag: az Ito korrekciós tag. Innen Tehát S(t) dinamikája: (jav: v helyett ) Terminológia: S(t) egy geometriai Brown mozgás (GBM) 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

23 FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK III.
A Tantárgy címe FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK III. Nyilvánvaló: S(t) lognormális, ui. ln S(t) normális: Innen a korábbi elemi eredmény alapján: Jelölés: 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

24 FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK – ÖSSZEFOGLALÁS
A Tantárgy címe FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK – ÖSSZEFOGLALÁS Legyen az S(t) árfolyamat egy geometriai Brown-mozgás: Ekkor: A log-hozamra: (jav: ln a tört egészére vonatkozik). (Hf: alkalmazzuk Ito-t) ahol és 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

25 A DISZKONTÁLT ÁRFOLYAMAT
A Tantárgy címe A DISZKONTÁLT ÁRFOLYAMAT Definiáljuk a diszkontált árfolyamatot: Ekkor (jav: 2. tagban dS(t) áll) Innen Észrevétel: a drift 0 ! 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

26 A Tantárgy címe GBM vs. BLM I. Vegyünk egy GBM-t: és vegyünk egy t periódust, és tekintsük S(t) -t! A cél: szerkesszünk egy BLM-t, amely illeszkedik S(t) –re úgy hogy: és 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

27 GBM vs. BLM II. A keresett BLM paraméterei: u,d,p
A Tantárgy címe GBM vs. BLM II. A keresett BLM paraméterei: u,d,p Ekkor $1 dollárból indulva: Az U = ln u, és D = ln d jelöléssel az illeszkedés egyenlete: Három ismeretlen, két egyenlet. Tegyük fel, hogy D = -U ! 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK

28 A Tantárgy címe GBM vs. BLM III. Ennek közelítő megoldása kis t –re, (p kb ½ alapján): Megjegyzés: itt , empirikusan nyerhető adatok ! Az illesztés értelme: a BLM könnyen kezelhető. 2006 HEFOP P /1.10 PPKE ITK - VE MIK