II. előadás.

Az előadások a következő témára: "II. előadás."— Előadás másolata:

1 II. előadás

2 Konfidencia-intervallumok

3 Konfidencia-intervallumok
Ha az alapsokaság egy ismeretlen  paraméterére n elemű minta alapján becslést készítünk, akkor a  valódi értéke csak közelítőleg lesz egyenlő a becsléssel   ( pontbecslés ). Ha ismerjük, hogy a becsült milyen eloszlású, akkor meg tudunk adni olyan intervallumot, amely nagy valószínűséggel tartalmazza a valódi -t. Definíció. Az intervallumot az  paraméter becslésére szolgáló (1 - )100 % megbízhatósági szintű konfidencia intervallumnak nevezzük, ha . Itt az 1 -  magas 1-hez közeli valószínűséget jelent. Az meghatározásával intervallumbecslést adtunk -ra.

4 Konfidencia-intervallumok
Tétel. Tegyük fel, hogy a normális eloszlású alapsokaság  szórását ismerjük. Az alapsokaság m várható érétkét az n elemű minta átlagával becsüljük. Ekkor az m-re vonatkozó 1 -  szintű konfidencia intervallum: , azaz , ahol N( 0, 1 ) eloszlású valószínűségi változó, amelyet a „t” eloszlás táblázatból is meghatározhatunk. ( , %) Példa: Kekszcsomagokat mérve a következőket kapjuk : 397,3; 399,6; 401,0; 392,9; 396,8; 400,0; 397,6; 392,1; 400,8; 400,6. Feltételezve , hogy a csomagokban található keksz tömege normális eloszlású σ = 10 szórással, határozza meg 95 %-os szignifikancia szinten a konfidencia intervallumot!

5 Konfidencia-intervallumok
Tétel. Tegyük fel, hogy ismert egy normális eloszlású alapsokaságból vett n elemű minta átlaga és korrigált szórása. Ekkor az m-re vonatkozó 1 -  valószínűségű konfidencia intervallum: , azaz , ahol Student eloszlású valószínűségi változó, amely nem csak az  -tól, hanem a minta elemszámától ( pontosabban az f = n - 1 szabadsági foktól ) is függ. Adott n és  esetén a értékét a Student-féle t eloszlás táblázatából kaphatjuk meg. Példa: Villanyégők élettartamát vizsgálva, azt normális eloszlásúnak találták. n = 15 égő élettartamát vizsgálva az élettartam átlaga órának, tapasztalati korrigált szórásnak óra adódott. 95%-os biztonsági szinten milyen konfidencia- intervallumba (megbízhatósági intervallumba) esik az egész sokaság várható értéke?

6 Statisztikai próbák

7 Statisztikai próbák Definíció. Egy vagy több valószínűség eloszlásra vonatkozó feltevést statisztikai hipotézisnek nevezünk. Definíció. Az olyan eljárást, amely alapján egy statisztikai hipotézisről döntünk, statisztikai próbának nevezzük. A statisztikai mintából a teljes statisztikai sokaságra különböző feltevéseket ( u. n. null hipotéziseket ) tehetünk. Például - feltehető-e a mintabeli becslés alapján, hogy a teljes sokaság egy paramétere valamely értéke, feltehető-e a mintabeli sűrűségfüggvény megszerkesztése alapján, hogy a teljes sokaság adott eloszlású, ... Ha a feltételezett hipotézis fennáll, akkor keresnünk kell olyan statisztikai függvényt ( próbastatisztikát ), amelynek az eloszlását ismerjük. Így az ismert eloszlásfüggvény alapján meghatározható egy olyan intervallum ( elfogadási tartomány ), amelybe (a hipotézis fennállása esetén ) a próbastatisztika nagy valószínűséggel beleesik, s amelyen kívüli intervallumba ( kritikus tartomány ) a statisztika csak igen kis valószínűséggel esik.

8 Statisztikai próbák Ezek alapján a statisztikai próba:
- Ha a próbastatisztika mintából kapott értéke benne van az elfogadási tartományban, célszerű a hipotézis fennállását elfogadni, - ha a próbastatisztika mintából kapott értéke az elfogadási tartományon kívülre esik ( azaz a kritikus értékeken túl van ), célszerű a hipotézist elvetni. Kétféle módon tévedhetünk: - az igaz hipotézist elvetjük ( elsőfajú hiba ) - a hamis hipotézist elfogadjuk ( másodfajú hiba ) A döntési lehetőségek tehát:

9 Egymintás „t” próba Tétel. Ha egy normális eloszlású alapsokaságból vett n elemű minta átlagát és tapasztalati korrigált szórását ismerjük, ( de a teljes sokaság elméleti  szórását nem ) akkor a teljes sokaság várható értékére vonatkozó hipotézisről az egymintás t-próbával a következőképpen döntünk. Ha , akkor az hipotézist elfogadjuk; egyébként elvetjük. A t Student eloszlású valószínűségi változó, így a kritikus értékét a Student-eloszlás táblázatából határozhatjuk meg, mégpedig az f = n - 1 szabadsági foknak megfelelő sorból és az általunk választott 1 -  valószínűségi szintnek megfelelő oszlopból. Bizonyítás. Nincs.

10 Egymintás „t” próba Példa. Árammérőket úgy igazítanak be, hogy a mérőket együtt működtetik egy standard árammérővel. Beállítás után n = 10 árammérőt választottunk ki, és a szóban forgó árammérő egy jellemző paraméterét mértük. A standard árammérő paramétere 1. A mérési eredményeink: 0,895; 1,003; 0,996; 0,994; 1,002; 0,987; 0.993; 0,991; 1,004; 0,985. Kiszámítva a minta átlagát, 95% valószínűséggel véletlen az elméleti várható értéktől (m = 1) való eltérés, vagy szisztematikus? Megoldás: ; ; ; ; Mivel , ezért , azaz az eltérés nem szignifikáns!

11 Egymintás „u” próba Tétel. Tekintsünk egy normális eloszlású alapsokaságot, amelynek szórása . A sokaságból vett n elemű minta átlaga . Az hipotézist elfogadjuk, vagy elvetjük adott (1 -  ) valószínűséggel, aszerint, hogy az , vagy , ahol -tól függő állandó. A kritikus értéket a normális eloszlás táblázatából, vagy a Student-féle t-eloszlás táblázatából ( ) kaphatjuk meg. Bizonyítás. Nincs.

12 Egymintás „u” próba Példa.
Egy automata daraboló gép mm hosszú darabokat vág mm-es szórással. A hosszúság, mint valószínűségi változó normális eloszlású. Kiválasztunk véletlenszerűen n = 16 elemű mintát. A mintából kapott méretek: 1193, 1198, 1203, 1191, 1195, 1196, 1199, 1191, 1201, 1196, 1193, 1198, 1204, 1196, 1198, 1200. Elfogadható-e, hogy az eltérés nem jelentős ( nem szignifikáns ), vagyis az egész sokaságban a várható érték ? Megoldás ; ; ; ; Mivel , ezért , azaz az eltérés szignifikáns.

13 Kétmintás F- és t-próba
Ha két normális eloszlású alapsokaságból vett minta korrigált szórásait, valamint átlagait ismerjük, a következő kérdések merülhetnek fel: - Bár a minta korrigált szórásai nem egyeznek meg, , feltehető-e mégis, hogy a két teljes alapsokaságban a szórások megegyeznek, ? - Az ellenére feltételezhető-e mégis, hogy a teljes sokaságokban a várható érték megegyezik, ? Ezekre a kérdésekre ad választ a következő két tétel.

14 Kétmintás F- és t-próba
Tétel. F-próba Két normális eloszlású alapsokaságból vett minta korrigált szórásai , átlagai . Ha a nagyobb empirikus szórásnégyzetet osztjuk a kisebb empirikus szórásnégyzettel, akkor az így kapott esetén a hipotézist elfogadjuk, különben elvetjük. A kritikus értéket az F-eloszlás táblázatából olvashatjuk ki, az ott leírt módon. A várható értékek egyezésének vizsgálatára csak az elméleti szórások egyezése esetén használhatjuk a következő próbát.

15 Kétmintás F- és t-próba
Tétel. Kétmintás t-próba Az null hipotézis vizsgálatára tekintsük a következő próbastatisztikát: Ha , akkor az feltevést elfogadjuk, azaz eltérése nem szignifikáns, ellenkező esetben az feltevést elvetjük. Itt a kritikus értéket a Student-eloszlás táblázatában keressük, az szabadsági foknak megfelelő sorból, és az 1 -  valószínűégi szinthez tartozó oszlopból.

16 Kétmintás F- és t-próba
1. Példa: Víz keménységi fokának megállapításához 2 különböző vizsgálatot végeztek. Az egyikben 11, a másikban 15 mintát vettek. Az eredmény a kalcium karbonát tartalom megadása volt, melynek varianciája az első esetben 94,6, a második méréssorozatnál pedig 36,8 volt. Az eltérés vajon szignifikáns-e? Megoldás. variancia = szórásnégyzet ( ) Mivel az , ezért Mivel .

17 Kétmintás F- és t-próba
2. Példa. Két gépsoron töltik a tejet zacskókba. Az egy óra alatt csomagolt mennyiségből 7 – 7- elemű mintát vettünk véletlenszerűen. A tej mennyiségét mértük a zacskókban. A kapott eredményeket mutatja a következő táblázat (mennyiség literben): Döntsük el, hogy nagy valószínűséggel (95%) van-e különbség a két gépsoron csomagolt zacskós tej zacskónkénti mennyisége között? Megoldás. Mivel , ezért az egész sokaságban a két szórás egyezése elfogadható.

18 Illeszkedésvizsgálat –próbával
Azt, hogy az adott minta alapján az alapsokaság tekinthető-e ismert eloszlásúnak (normális, exponenciális stb. eloszlásúnak ), a tapasztalati és az elméleti sűrűségfüggvény összehasonlításával tudjuk eldönteni. A gyakorlati és az elméleti f sűrűségfüggvények illeszkedésére, vagyis annak eldöntésére, hogy tekinthető-e egy minta adott eloszlásúnak, szolgál az alábbi próba.

19 Illeszkedésvizsgálat –próbával diszkrét esetben
Tétel. Egy n elemű minta alapján feltehető-e, hogy az egy adott eloszlásfüggvénnyel rendelkező eloszlásból származik? Null hipotézis: : ismeretlen ? Tekintsük a következő statisztikai függvényt: , ahol - az n megfigyelésből az érték előfordulási gyakorisága, - az érték bekövetkezési valószínűsége a feltételezett eloszlás alapján, r - a megfigyelt valószínűségi változó értékeinek száma. Csak akkor alkalmazható, ha minden i esetén ! Amennyiben , akkor a null hipotézist ( az eloszlás típusára tett feltevést) elfogadjuk, egyébként elvetjük. értékét táblázatból határozhatjuk meg:

20 Illeszkedésvizsgálat –próbával diszkrét esetben
1. Példa: Szabályos-e az a dobókocka, amellyel 600 dobást végezve a következő eredményeket kaptuk? Döntsünk 95% valószínűséggel! 2. Példa: 95% valószínűséggel származhatnak-e az alábbi adatok binomiális eloszlásból, ahol ? ( x az esemény, f a gyakoriság )

21 Illeszkedésvizsgálat –próbával diszkrét esetben
Példa: 4 érmét 160-szor feldobva a „fej” dobások száma: fejek száma darabszám Döntsük el, hogy 95% valószínűséggel szabályosak-e az érmék?

22 Illeszkedésvizsgálat –próbával folytonos esetben
Tétel. Egy n elemű minta alapján feltehető-e, hogy az egy adott eloszlásfüggvénnyel rendelkező eloszlásból származik? Null hipotézis: : ismeretlen ? Tekintsük a következő statisztikai függvényt: , ahol - az i-edik intervallumba esés gyakorisága, - az i-edik intervallumba esés valószínűsége a feltételezett eloszlás alapján, r - a vizsgált intervallumok száma. Csak akkor alkalmazható, ha minden i esetén ! Amennyiben , akkor a null hipotézist ( az eloszlás típusára tett feltevést) elfogadjuk, egyébként elvetjük. értékét táblázatból határozhatjuk meg:

23 Illeszkedésvizsgálat –próbával folytonos esetben
Példa: Egy automata egy heti termelését kívánjuk ellenőrizni. A legyártott 1500 db alkatrészt vizsgálva, az egyik méretének az elméleti mérettől való "x" eltérését mikronban az alábbi táblázat tartalmazza. Az előzetes mérések alapján a szórás 5 mikron. Vizsgáljuk meg, hogy a hiba eloszlása normális eloszlást követ-e?