Mintavétel és becslés október 27. és 29.

Az előadások a következő témára: "Mintavétel és becslés október 27. és 29."— Előadás másolata:

1 Mintavétel és becslés 2015. október 27. és 29.
Gazdaságstatisztika Mintavétel és becslés 2015. október 27. és 29.

2 Miről lesz ma szó? Mintavételi alapok Pontbecslés
Véletlen mintavétel jelentősége Pontbecslés Intervallumbecslési eljárások Várható érték becslése Sokasági arány becslése Sokasági szórás becslése Gazdaságstatisztika

3 Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége
Matematikai statisztika lényege Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Következtetés A minta elemei az alapsokaság eloszlásával megegyező eloszlású valószínűségi változók. Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye Mintavétel Mintavétel: a statisztikai sokaságból információszerzés céljából véletlenszerűen egyedi elemeket emelünk ki

4 Mintavétel – részleges megfigyelés
Cél: következtetéseket vonjunk le a teljes sokaságra vonatkozóan a sokaság részleges megismerése által A MINTA CSAK ESZKÖZ A SOKASÁG TELJES MEGISMERÉSÉHEZ! De milyen a jó minta? Mintavételi és nem mintavételi hiba

5 Mintavételi hiba A mintából számított bármely mutató értéke mintáról mintára változik. A mintából számított értékek a megfelelő sokasági jellemző körül szóródnak. Ez a szóródás kisebb minták esetében nagyobb, nagyobb minták esetében kisebb. A mintavételi hiba a vizsgált mutató lehetséges mintákból számított értékeinek átlagos eltérését mutatja a megfelelő sokasági értéktől.

6 Adatfelvételi módok Adatfelvétel
Teljes körű – csak véges sokaság esetén (pl. népszámlálás) Részleges Mintavételes megfigyelés Kísérleti eredmények gyűjtése Egyéb részleges megfigyelés Véletlen(szerű) kiválasztás Nemvéletlen(szerű) kiválasztás

7 Véletlen mintavétel Olyan kiválasztási eljárás, melynek során ismert vagy meghatározható a sokaság egyes elemeinek mintába kerülési esélye. Mintavételi hiba számszerűsítése Reprezentativitás biztosítása: a minta összetétele csak a véletlen hatások miatt tér el a sokaságétól Visszatevéses egyszerű véletlen mintavétel Visszatevés nélküli egyszerű véletlen mintavétel Rétegzett mintavétel Csoportos mintavétel Többlépcsős mintavétel Gazdaságstatisztika

8 Véletlen mintavétel Visszatevéses egyszerű véletlen mintavétel
A sokaságból egyenlő valószínűséggel, a visszatevéses technika miatt egymástól függetlenül veszünk mintát. Inkább elméleti, mint gyakorlati jelentőség. Visszatevés nélküli egyszerű véletlen mintavétel A sokaságból egyenlő valószínűséggel veszünk mintát, a mintaelemek egymástól nem függetlenek. Következtetés pontosságát meghatározó tényezők: Minta elemszáma Sokaság heterogenitása Gazdaságstatisztika

9 Véletlen mintavétel Rétegzett mintavétel: a sokaságot egy csoportképző ismérv szerint rétegekre bontjuk, majd minden rétegből egyszerű véletlen mintát veszünk. Teljes lista Következtetés megbízhatóságát meghatározó tényező: Rétegek heterogenitása Rétegképző ismérv „jósága” Gazdaságstatisztika

10 Véletlen mintavétel Csoportos mintavétel: olyan nyilvántartásból történik a kiválasztás, amely a sokaság egységeit nem elkülönítve, hanem természetes vagy mesterséges csoportokban tartalmazza. Csoportképző ismérv Csoportok közül egyszerű véletlen mintavétel Következtetés megbízhatóságát meghatározó tényező: Csoport heterogenitása Többlépcsős mintavétel: csoportos általánosítása Gazdaságstatisztika

11 A becslés elmélete (Majdnem) minden elméleti eloszlásnak van(nak) paramétere(i) Becslési eljárások: Pontbecslés: a becsülni kívánt elméleti paramétert egy értékkel becsüli Intervallumbecslés: előre meghatározott megbízhatósággal egy intervallumot ad a keresett sokasági paraméterre A becsülni kívánt sokasági paraméter jelölése: Θ A sokaság ismeretlen konstans értékei, értékük nem függ a véletlentől A becslés a sokaságból kivett véletlen minta alapján valósul meg: a mintaelemek függvénye, becslőfüggvény Véletlen minta esetén az aktuális minta függ a véletlentől, ezért minden mintaelem, és a függvényükben számított becslés is valószínűségi változó. A mintából számított pontbecslés: Gazdaságstatisztika

12 A becslés elmélete mintáról mintára változik maga is valósz. változó
Minta-1 mintáról mintára változik Minta-2 maga is valósz. változó Minta-3 adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető Gazdaságstatisztika

13 Becslés elmélete Mikor tekinthető a mintából számított mutató az ismeretlen elméleti paraméter jó becslésének? Mikor jobb egy becslés, mint a másik? Becslési kritériumok (Fisher kritériumok) Torzítatlanság Hatásosság Konzisztencia Elégségesség Gazdaságstatisztika

14 Becslési kritériumok - torzítatlanság
Torzítatlan a becslőfüggvény, ha annak várható értéke megegyezik a becsülni kívánt sokasági paraméterrel: Nincs szisztematikus, egyirányú eltérés a becslés és a becsült paraméter között Két torzított becslőfüggvény közül azt tekintjük jobbnak, amelyiknél kisebb a torzítás abszolút értéke. torzítatlan torzított f(x) f(x) Gazdaságstatisztika

15 Példa - Torzítatlan becslés
 F(x), f(x), M(), D() …. , S1 , S1* , S2* , S2 , S3* , S3  Gazdaságstatisztika

16 Becslések tulajdonságai – torzítatlan becslés
Kockadobás esetén a dobott számérték – mint valószínűségi változó – elméleti várható értéke 3,5, elméleti szórása 1,7078. 50 db háromelemű minta tapasztalati és korrigált tapasztalati szórásai, valamint ezek átlagértékei Gazdaságstatisztika

17 Becslési kritériumok - konzisztencia
Konzisztens a becslőfüggvény, ha ingadozása a becsült paraméter körül a minta elemszámának növelésével egyre csökken. A becslőfüggvény értékei nagy minta esetén jól közelítsék a megfelelő sokasági jellemzőt. f(x) Gazdaságstatisztika

18 Becslések tulajdonságai – konzisztens becslés
Kockadobás esetén a dobott érték tapasztalati és korrigált tapasztalati szórásának alakulása a minta nagyságának függvényében Gazdaságstatisztika

19 Becslési kritériumok - Hatásosság
A becslések ingadozását a becslések szórásával mérjük. Két becslés közül a kevésbé ingadozót tekintjük hatásosabbnak. f(x) Gazdaságstatisztika

20  (Normális el.) Hatásos becslés Me1 Me2 Me3
F(x), f(x), M()=, D()= Me1 Me torzítatlan konzisztens Me2 elégséges Me3 Gazdaságstatisztika

21 Becslések tulajdonságai – hatásos becslés
Az átlag kisebb szórással ingadozik, mint a medián, ezért a számtani átlag a hatásosabb becslés. Gazdaságstatisztika

22 Becslési kritériumok - elégségesség
A becslés elégséges, ha minden információt tartalmaz a paraméterre vonatkozóan. Nincs más olyan becslés, amely a paraméterről több információt szolgáltatna, mint az elégséges becslés. Gazdaságstatisztika

23 A pontbecslés módszerei
Maximum-likelihood módszer (a legnagyobb valószínűség elve) Ún. likelihood függvényt állít fel, amely a mintaelemek együttes sűrűségfüggvénye. Az ismeretlen paraméter becslésére azt a statisztikát használjuk, melyre ez a függvény maximális értéket vesz fel. Az eredeti eloszlás ismerete szükséges. A legkisebb négyzetek módszere Nem szükséges az eredeti eloszlás ismerete, de ismert a törvényszerűség, amely a megfigyeléseinket előállította. Cél ezen elméleti modell a paramétereit a meghatározása úgy, hogy a tényleges és a becsült paraméterekkel illesztett modellek négyzetes eltérése, azaz az eltérések négyzetösszege minimális legyen. Gazdaságstatisztika

24 A pontbecslés módszerei
Grafikus paraméterbecslés A gyakorlat számára könnyebben kezelhetőbb eljárás. Pontossága a grafikus ábrázolás adta lehetőségektől függ, viszont egyszerűsége miatt sokszor jól használható. Lényege, hogy valamilyen módon (többnyire logaritmizálással) linearizáljuk az eloszlásfüggvényt, s az adatokat grafikusan ábrázolva az egyenes meredekségéből és/vagy tengelymetszetéből következtetünk az eloszlás ismeretlen paraméteré(ei)re. Gazdaságstatisztika

25 Intervallumbecslés mintáról mintára változik maga is valósz. változó
Minta-1 mintáról mintára változik Minta-2 maga is valósz. változó Minta-3 adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető Gazdaságstatisztika

26 Intervallumbecslés Pontbecslés: az ismeretlen sokasági jellemző értékére egy mintából egyetlen pontot határoztunk meg, amely eleget tett valamilyen követelménynek. Intervallumbecslés: a minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza a becsülni kívánt jellemzőt. Gazdaságstatisztika

27 Intervallumbecslés A pontbecslés csak véletlenül egyezik meg a sokasági paraméterrel, általában annak környezetében helyezkedik el – mintavételi hiba! A pontbecslés intervallumbecsléssel egészíthető ki. A mintavételi hibát figyelembe véve adott (nagy) megbízhatóságú intervallumbecslést adunk a becsülni kívánt sokasági paraméterre. Milyen széles legyen, hogy lefedje a becsülni kívánt sokasági paramétert? A mintastatisztika szóródásának mértéke függ a minta elemszámától. A sokasági paramétert becslő függvényünk mintavételi eloszlása Ennek ismeretében meg tudunk adni egy olyan intervallumot, amely az ismeretlen paramétert nagy valószínűséggel tartalmazza – 100%-os biztonság nincs! Gazdaságstatisztika

28 Intervallumbecslés Az intervallumbecslés lényege, hogy ismerjük pontbecslésünk valószínűségi tulajdonságait, és ezek segítségével egy adott megbízhatósági intervallumot adunk meg a sokasági paraméterre. A konfidencia-intervallum is valószínűségi változó, vagyis a konfidencia-intervallumok is mintáról mintára változnak. A mintavétel végrehajtása után a konfidencia-intervallum vagy tartalmazza a becsülni kívánt sokasági paramétert vagy nem. Amennyiben a mintavételt újra és újra megismételnénk, és elkészítenénk a konfidencia-intervallumokat, az esetek (1-α)%-ában a sokasági jellemző a konfidencia-intervallumon belül lenne. Gazdaságstatisztika

29 Intervallum szélessége
Sokasági szórás intervallum szélessége Mintaszám Megbízhatósági szint Gazdaságstatisztika

30 Intervallum becslés – várható érték
 Normális el. M()=, D()=0 ismert n elemű FAE mintából számított számtani átlaggal becsüljük Normális eloszlás (Mintavételi eloszlás) Kvantitatív módszerek

31 Intervallumbecslés a normális eloszlás várható értékére
±2 szigmás szabály: Átrendezés után:  Gazdaságstatisztika

32 Várható érték becslése – ismert alapsokasági szórás
A  valószínűségi változó N(,0) eloszlású, ahol 0 szórás ismert A  sokasági paramétert statisztikai mintából a számtani átlaggal becsüljük. Az átlag eloszlása normális: A konfidencia- intervallum sugarát adott megbízhatósági szinthez tartozó maximális hibának nevezzük. Gazdaságstatisztika

33 Várható érték becslése – ismert alapsokasági szórás – egyoldali becslés
Gazdaságstatisztika

34 Példa Egy gép 1000 grammos kávékivonatot tölt. A töltősúly ellenőrzésére 9 elemű véletlen mintát vettek a termelésből, és az alábbi nettó töltési tömegeket mérték grammban: 990, 1004, 996, 1000, 999, 1005, 997, 1001, 1000 A gép által töltött tömeg normális eloszlású valószínűségi változó 4,5g szórással. Határozzuk meg 95%-os megbízhatósággal a termékek várható értékének konfidencia intervallumát! Megoldás: n=9 Gazdaságstatisztika

35 Példa =0,95  =0,05  kétoldali becslés: /2=0,025  z/2=1,96
Ez azt jelenti, hogy 95%-os megbízhatósági szinten a gép által töltött tömeg várható értéke 996,1711 gramm és 1002,051 gramm között van. Gazdaságstatisztika

36 Példa Tegyük fel, hogy a technológiát úgy kell beállítani, hogy a töltősúly hosszabb távon ne haladja meg az 1002 grammot. A minta alapján 95%-os megbízhatósággal teljesíti-e ezt a töltőgép? n=9 =0,95  =0,05  egyoldali becslés  z=1,645 Ez azt jelenti, hogy 95%-os megbízhatósági szinten a gép által töltött tömeg várható értéke 1001,58 gramm alatt van, 95%-os megbízhatósággal teljesíti az elvárást. Gazdaságstatisztika

37 Példa Egy elektronikai gyártósoron egy alkatrész nyomtatott áramkörre történő beültetési pozíciójának x-irányú koordinátáját vizsgálták. Korábbi elemzésekből ismert, hogy az x-irányú beültetési pozíció normális eloszlású valószínűségi változó 0,03mm szórással. 10 mérést elvégezve az x-irányú beültetési koordináta átlaga 10,34mm-re adódott. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére!

38 Példa Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! Az x-irányú beültetési koordináta normális eloszlású ismeretlen μ várható értékkel és ismert σ0=0,03 mm elméleti szórással. n=10 95%-os megbízhatósági szinten az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értéke 10,3214mm és 10,3586mm között van. 

39 Mintanagyság meghatározása
Adottak a megbízhatósági és pontossági követelmények, és ennek tükrében kell a minta elemszámát meghatározni Gazdaságstatisztika

40 Példa Kávékivonatos példa – ismert elméleti szórás
Mekkora mintára van szükségünk ahhoz, hogy a becslés hibáját a harmadára csökkentsük? Gazdaságstatisztika

41 Példa Felvillanyozzuk Kft. – ismeretlen elméleti szórás
Mekkora mintára van szükségünk ahhoz, hogy 99%-os megbízhatósággal kapjuk meg ugyanezt az intervallumot? Gazdaságstatisztika

42 Várható érték becslése – ismeretlen alapsokasági szórás
Feltétel: a sokaság normális eloszlású, de nem ismerjük sem a várható értéket (μ-t), sem a sokasági szórást (σ0-t). Az átlag továbbra is normális eloszlású Az ismeretlen alapsokasági szórás (σ) becslésére a korrigált tapasztalati szórást használjuk fel (torzítatlan becslés.) helyett Student eloszlású valószínűségi változó ν=n-1 szabadsági fokkal.

43 Példa Tegyük fel, hogy az előző töltőgépes példánál nem ismerjük az elméleti szórást, de továbbra is tudjuk, hogy a töltési tömeg normális eloszlással írható le. A grammokban mért töltési tömegek: 990, 1004, 996, 1000, 999, 1005, 997, 1001, 1000 Adjunk becslést 95%-os megbízhatósági szinten a töltőtömeg várható értékére! Megoldás: n=9 A σ0 nem ismert, becsülnünk kell a minta korrigált tapasztalati szórásával:

44 Példa ε= 0,95  =0,05  kétoldali becslés: /2=0,025
t/2=2,306 (DF=9-1=8) σ0 nem ismert, becsültük Szélesebb intervallum! σ0 ismert

45 Sokasági arány becslése
A sokaságon belül egyetlen (mennyiségi vagy minőségi) ismérv szerint 2 csoportba soroljuk a sokasági elemeket. A sokasági arány: P Torzítatlan becslőfüggvénye: p = k/n p = k/n Binomiális eloszlás M(p) = P D2(p) = P(1-P)/n Közelítjük normális eloszlással

46 Példa A Felvillanyozzuk Kft. napi termeléséből vett n = 200 elemű mintában a hibás égők száma 24 db. 95%-os és 99%-os megbízhatósági szint mellett adjunk intervallumbecslést a sokasági arányra! Megoldás: n = 200 p = 24/200 = 0,12  = 0,95   = 0,05  kétoldali becslés: /2 = 0,025  z/2 = 1,96 95%-os megbízhatósági szinten a sokasági arány, vagyis a hibás égők aránya 7,5% és 16,5% között van.

47 Példa  = 0,99   = 0,01  kétoldali becslés: /2 = 0,005  z/2 = 2,58 99%-os megbízhatósági szinten a sokasági arány, vagyis a hibás égők aránya 6,066% és 17,934% között van. α =1% Szélesebb intervallum! α =5%

48 Mintanagyság meghatározása
Adottak a megbízhatósági és pontossági követelmények, és ennek tükrében kell a minta elemszámát meghatározni Gazdaságstatisztika

49 Példa Felvillanyozzuk Kft. – 95%-os megbízhatóság mellett csökkentsük a becslés hibáját a felére! Gazdaságstatisztika

50 Sokasági variancia becslése
σ2 torzítatlan becslése: korrigált tapasztalati szórás Ekkor: változó n-1 szabadsági fokú χ2 eloszlású követ. A χ2 eloszlás: független standard normális eloszlású változók négyzetei összegének eloszlása. Egy paramétere van: ν=n-1, ahol n az összegezendő egymástól független valószínűségi változók számát jelenti. Csak pozitív értékeken értelmezzük, balra aszimmetrikus, a szabadságfok növelésével közelít a normális eloszláshoz. Következmény: a konfidencia intervallum nem lesz szimmetrikus a pontbecslésre!

51 Sokasági variancia becslése
 Normális el. !! M()=, D2()=2 - csak pozitív értékekre értelmezett - nem szimmetrikus !! mintából becsüljük, s2 vagy s*2 2-eloszlású (Mintavételi eloszlás)

52 Példa A Felvillanyozzuk Kft. karácsonyfaégőinek élettartamát n = 16 elemű mintából vizsgálva azt találták, hogy az élettartamok korrigált tapasztalati szórása 10 óra. Határozzuk meg az égők varianciájára, ill. szórására vonatkozó 95%-os konfidencia-határokat! Megoldás: n = 16 s* = 10 óra DF = n – 1 = 16 – 1 = 15  = 0,95   = 0,05  kétoldali becslés: /2 = 0,025  1 – /2 = 0,975 95%-os megbízhatósági szinten a sokasági szórás 7,38 és 15,5 óra között van. 54,5 < 2 < 239,6 7,38 < < 15,5

53 Gyakorló feladat Egy kávéautomata ellenőrzése során az automata által adagolt eszpresszó kávé térfogatát vizsgálták. Korábbi tapasztalatok alapján az adagolt kávé térfogata normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A vizsgálat során 10 mérést végeztek, a mérési eredmények értékei ml-ben a következők voltak: 101; 97; 103; 99; 102; 98; 104; 101; 97; 100. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az eszpresszó kávé várható adagolt térfogatára! Megoldás: várható érték becslése, ismeretlen elméleti szórással, a szórást a korrigált tapasztalati szórással becsüljük Gazdaságstatisztika

54 Gyakorló példa Számtani átlag: Korrigált tapasztalati szórás:
Az eszpresszó kávé várható adagolt térfogata 95%-os valószínűséggel a (98,4544; ) intervallumba esik. DF=n-1=9 Gazdaságstatisztika

55 Gyakorló példa Egy forgácsoló üzemben esztergált tengelyek átmérőjét vizsgálták. A vizsgálat során 30 darab tengely átmérőjét mérték meg. A tengelyek átmérőjének a mintából számított átlaga 55mm, korrigált tapasztalati szórása 0,2mm. A tengelyek átmérőjéről feltételezhető, hogy normális eloszlású valószínűségi változó. Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a.) a tengelyek várható átmérő méretére! b.) a tengelyek átmérőjének szórására! Megoldás: Konfidencia-intervallum a várható értékre Konfidencia-intervallum a sokasági szórásra Gazdaságstatisztika

56 Gyakorló példa Várható érték konfidencia intervalluma n=30
A tengelyek átmérőjének várható értéke 54,8994mm és 55,1006mm között van 99%-os megbízhatósággal. DF= n-1=30-1=29 Gazdaságstatisztika

57 Gyakorló példa Várható érték konfidencia intervalluma n=30
A tengelyek átmérőjének várható értéke 54,906mm és 55,0942mm között van 99%-os megbízhatósággal. Gazdaságstatisztika

58 Gyakorló példa Sokasági szórás konfidencia intervalluma: n=30
A tengelyek átmérőjének szórása 0,1489mm és 0,2973mm között van 99%-os megbízhatósággal. DF= n-1=30-1=29 Gazdaságstatisztika

59 Gyakorló példa Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5
Megbízhatósági elemzések során a 60W-os izzók élettartamát vizsgálták. Összesen 60 darab izzó élettartamát figyelték meg, a megfigyelések eredményeit az alábbi gyakorisági táblázatban rögzítették. Az izzók élettartamáról feltételezhető, hogy normális eloszlást követ. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a.) a legalább 18 hónap élettartamú izzók arányára! b.) a 12 hónapnál rövidebb Megoldás: sokasági arány becslése Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1 Gazdaságstatisztika

60 Gyakorló példa Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5
Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést a legalább 18 hónap élettartamú izzók arányára! Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1 A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a (0,3735; 0,6265) intervallumba esik. Gazdaságstatisztika

61 Gyakorló példa Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5
Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést a 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók arányára! Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1 A 12 hónap rövidebb élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a 9,88% - 30,12% intervallumba esik. Gazdaságstatisztika