Halmazok, számosságok, véges és végtelen összegek

Az előadások a következő témára: "Halmazok, számosságok, véges és végtelen összegek"— Előadás másolata:

1 Halmazok, számosságok, véges és végtelen összegek
Végtelen történet Halmazok, számosságok, véges és végtelen összegek

2 Mik a számok? A matematika a lehető legjobban el akar szakadni a valóság tárgyaitól Példa: a „négy” szót mikor használjuk? Ezt akarjuk pontosan lefordítani a matematika nyelvére

3 Halmazok Alapfogalom, felsorolás vagy közös tulajdonság alapján összetartozó dolgok összessége Egy szimbólummal „eleme” kapcsolatban állnak objektumok xA vagy Ax jelölés Házaspárok halmazának példája Az orr példája Részhalmaz, valódi részhalmaz fogalma

4 Rendezett pár Jele: (a ; b) Felírható halmazként is:
{ {a;b} ; {a} } = (a ; b) Példák: (Kovács Béla; Kovács Béláné) ( 1 ; 1) (virsli ; mustár) (kutya ; eb)

5 Direkt szorzat 1. Az összes rendezett párok halmaza
Jelölés: A X B („Á kereszt Bé”) Pl: A = {p ; q ; r} és B= {R ; S ; T ; U} A X B= { (p;R) ; (p;S) ; (p;T) ; (p;U) ; (q;R) ; (q;S) ; (q;T) ; (q;U) ; (r;R) ; (r;S) ; (r;T) ; (r;U) } Példák: Sapkák és kabátok Fiúk és lányok táncolnak Koordináta-rendszer

6 Direkt szorzat 2. B A leves paprikás sült csirke sertés pulyka bárány
(csirke;leves) (csirke;paprikás) (csirke;sült) sertés (sertés;leves) (sertés;paprikás) (sertés;sült) pulyka (pulyka;leves) (pulyka;paprikás) (pulyka;sült) bárány (bárány;leves) (bárány;paprikás) (bárány;sült)

7 Mi a függvény? szemléletes meghatározás
„Egyértelmű hozzárendelés”, pl: A= {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek} B={1;2;3;4;5;6;7;8;9} f(x)=az x nevében levő karakterek (betűk) száma Rf neve: Értékkészlet x hétfő kedd szerda csütörtök péntek f(x) 5 4 6 9 Az A halmaz minden eleme szerepel – pontosan egy hozzárendelésben

8 Mi a függvény? matematikai meghatározás
A direkt szorzat bizonyos részhalmaza. Pl.: A = {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek} B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} f = { (hétfő; 5) ; (kedd; 4) ; (szerda; 6) ; (csütörtök; 9) ; (péntek; 6) } Értékkészlet: {4; 5; 6; 9} Az A halmaz minden eleme szerepel – pontosan egy rendezett párban

9 Példa függvényre: Minden sorból pontosan egyet tartalmaz! B A leves
paprikás sült csirke (csirke;leves) (csirke;paprikás) (csirke;sült) sertés (sertés;leves) (sertés;paprikás) (sertés;sült) pulyka (pulyka;leves) (pulyka;paprikás) (pulyka;sült) bárány (bárány;leves) (bárány;paprikás) (bárány;sült) Minden sorból pontosan egyet tartalmaz!

10 B halmazon belüli tulajdonságok
Függvények típusai Injekció Szürjekció Bijekció (kölcsönösen egyértelmű leképezés) B halmazon belüli tulajdonságok Párokba állítás!

11 Számolás, üres halmaz Minden természetes szám rengeteg halmazt jelent, melyek elemei párba állíthatók (Pl. „ÖT” jelölés jelöli az össszes ötelemű halmazt, melyek párba állíthatók egymással) A nulla egyértelműen az „üres halmazok”, azaz az üres halmaz megfelelője: Ø Üres halmaz csak egy van! A matematika alapjaként az üres halmazt alapfogalomnak tekintjük (azonosíthatjuk a NULLA számmal)

12 A természetes számok egy lehetséges modellje
NULLA = 0 = Ø EGY = 1 = { 0 } = { Ø } KETTŐ = 2 = { 0 ; 1 } = {Ø ; {Ø} } HÁROM =3= { 0 ; 1 ; 2 }={ Ø; {Ø} ; {Ø;{Ø}}} NÉGY= 4 = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 } = ={ Ø; {Ø} ; {Ø;{Ø}} ; {Ø; {Ø} ; {Ø;{Ø}}} } ÖT = 5 = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } = stb. n= { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ; n-1} Minden számot neki megfelelő elemszámú halmaz jelöl N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … } a természetes számok halmaza

13 Számosság Két halmaz számossága egyenlő, ha létezik köztük kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (bijekció). Például: A= {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek} B= {1;3;5;7;9} Jelölés: |A| = |B| „Ugyanannyi” elemük van Ha létezik bijekció egy A halmaz és az „öt” halmaz között, akkor azt mondjuk, hogy A számossága öt. Jelölés: |A|=5 Mi az, ami mindig kéznél van? C= {hüvelykujj; mutatóujj; nagyujj; gyűrűsujj; kisujj}: természetesen adódó halmaz a számosság megállapításához

14 A számosság tulajdonságai
Két halmazra: ha |A|=|B|, akkor |B|=|A| Három halmazra: ha |A|=|B| és |B|=|C|, akkor |A|=|C| Véges halmaz: számossága azonos valamely természetes száméval Véges halmaz számossága megváltozik, ha egy elemet hozzáveszünk vagy elhagyunk belőle. Két nem egyenlő számosságú halmaz közül az a nagyobb számosságú, melynek van a másikkal azonos számosságú valódi részhalmaza. Például 5>3, mert Nincs bijekció Egyik valódi részhalmaz esetére van bijekció

15 Hatványhalmaz Egy halmaz összes részhalmazát tartalmazza. Jelölés: P(A) Példa: A={ x; y; z } P(A)= { Ø; {x} ; {y} ; {z} ; {x;y} ; {x;z} ; {y;z} ; {x;y;z} } |P(A)|= 2|A| Állítás: |P(A)|>|A|

16 Georg Cantor (1845. március 3. – 1918. január 6.)
A halmazelmélet megalkotója. Oroszországban született, de élete nagy részében Németországban élt. 1872-ben kezdődött barátsága Dedekinddel. Ekkoriban kezdett el halmazelmélettel foglalkozni. Cantor előtt a matematika azt az álláspontot követte, hogy a végtelenek között nem lehet értelmesen különbséget tenni ben Crelle Journal für die reine und angewandte Mathematik című folyóiratában publikált egy forradalmi cikket, melyet a modern halmazelmélet születésének tekinthetünk. Állítólag a cikkben szereplő állításon 4 évig gondolkodott ban ennek a cikknek a folytatását is beadta a folyóirathoz, de az abban lévő gondolatok miatt a szerkesztőbizottságban helyet foglaló Kronecker ellenezte a cikk közlését. A második cikkben vezette be azt, hogy két halmazt azonos számosságúnak nevez, ha van köztük bijekció. Értelmezte, hogy mikor nagyobb, illetve kisebb számosságú egy (akár végtelen) halmaz, mint egy másik. 1895-ben megjelent az első paradoxon a halmazemélettel kapcsolatban. Ezt Cesare Burali-Forti vetette fel, de erre Cantor maga is rájött. 1917-ben utoljára kényszerült szanatóriumba vonulni. A háború miatt az ellátás gyenge volt, Cantor utolsó fényképei sovány, megtört embert mutatnak január 6-án szívrohamban hunyt el. Életművét Hilbert az 1900-as nemzetközi matematikus kongresszuson a következő mondattal méltatta: „Senki sem űzhet ki minket abból a paradicsomból, melyet Cantor teremtett nekünk.”

17 Cantor ötlete Végtelen halmazok között is lehet bijekció, ez azonos számosságot jelent. Pl: A= {1; 2 ; 3; 4; 5; 6; … } és B= {-1; -2; -3; -4; -5; -6; … } Bijekció: f(x)= -x Így |A|=|B| Szokatlan, új gondolatok … x 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . f(x) -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

18 Grand Hotel – paradoxon

19 Azonos számosságú végtelen halmazok
Van-e bijekció N és a következő halmazok között? A= N\{0} = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …} B= {páros természetes számok} = {0; 2; 4; 6; …} C= {a 10 pozitív egész kitevőjű hatványai} = = {10; 100; 1000; 10000; …} N: x 1 2 3 4 5 . . . A: f1(x) 6 B: f2(x) 8 10 C: f3(x) 100 1000 10000 100000 N számosságának jele: (alef-null). Neve: megszámlálhtóan végtelen számosság

20 -számosság N: Z: |N|=|Z|= |N|=|Q|= |N|<|R|= |P(N)|=|R|= x 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . . Z: f(x) -1 -2 -3 -4 -5 -6

21 A Russel- féle paradoxon
H={Minden halmaz} HH A={Azon halmazok, melyek elemei önmaguknak} Például H A B={Azon halmazok, melyek nem elemei önmaguknak} B B ellentmondás és B B is ellentmondás Okozója: önmagának eleme egy halmaz

22 Zénon paradoxona A nyílvessző soha nem ér célba, mert:
A célig hátralevő távolságnak először meg kell tennie a felét Aztán a célig még hátralevő távolságnak is meg kell tennie a felét Aztán újra meg kell tennie a célig még hátralevő távolságnak a felét … Ezt a végtelenségig folytathatjuk, így soha nem ér célba!

23 A paradoxon feloldása: a végtelen sor
Megszámlálhatóan végtelen elem összege lehet egy valós szám! Végtelen tizedestörtek: 0, … Jelölés:

24 Mértani és harmonikus sor
Ha |q|<1, akkor Például: q= 1/3 esetén: Harmonikus sor: Nincs összege, bármilyen nagy lehet

25 Néhány további nevezetes sor
Euler-féle sor: Leibniz-sor: A felsőbb matematikában fontos sorok:

26 Köszönöm a figyelmet!

27 Ráadás: paradoxonok Homokkupac Légiriadó Epimenidész-paradoxon
A legkisebb egész szám, melyet magyar nyelven 100-nál kevesebb karakterrel nem lehet meghatározni. (Ez 98 karakter) Háromszög-paradoxon