Ismeretalapú technológia

Az előadások a következő témára: "Ismeretalapú technológia"— Előadás másolata:

1 Ismeretalapú technológia
Előadó: Kovács Zita 2016/2017. II. félév Bizonytalanságkezelés

2 Bizonytalanságkezelés
Szakértő rendszerek készítésekor a tárgyköri szakértők ismerete nehezen reprezentálható, nehezen formalizálható. az ismeretek reprezentálása során használhatunk olyan adatokat, illetve tudást, amely csak bizonyos valószínűséggel biztos, az ilyen adatok kezelését nevezzük bizonytalanságkezelésnek

3 Bizonytalanságkezelés
Bizonytalan adatok kezelése egy szakértői rendszerben azokban az esetekben indokolt, amikor a rendelkezésre álló információ hiányos vagy nem teljesen megbízható vagy pontos lenne, de a reprezentáló nyelv nem elég precíz vagy ellentmondásos

4 A bizonytalanság megjelenésének változatos formái [1]
Megjelenési formák Példa, szituáció a. Hiányos adat Egy kérdőívnek nincs kitöltve minden pontja. b. Bizonytalan következtetés A megfigyelt tünetekből az adott betegség csak valószínűsíthető c. Bizonytalan fogalom, bizonytalan adat A beteg torka piros. (ezt mondta az orvos, de én egyáltalán nem látom pirosnak) d. Bizonytalan adat Egy mérőműszer nem elég megbízható. e. Ellentmondó adat, ellentmondó következtetés Az adatokból levonható következtetések egymásnak ellentmondanak.

5 A bizonytalanság megjelenésének változatos formái [1]
Megjelenési formák Példa, szituáció f. Ellentmondó következtetések Két szakértő egymásnak ellentmondó véleményen van. g. Hiányos adat – így nincs alkalmazható következtetés Van-e intelligens élet a Földön kívül? h. „Még nem következett be” adat Felel-e a gyerek holnap az iskolában? i. Bizonytalan adat, bizonytalan következtetés A probléma pontos megfogalmazása nagyon költséges lenne; megelégszünk ezért egy olcsóbb és kevésbé megbízható megoldással. j. Az adat biztos, csak nem tudjuk közvetlenül megfigyelni Van-e gyulladás a beteg gyomrában?

6 Módszerek, modellek osztályozása
numerikus modellek klasszikus valószínűségszámítás (Bayes tétele alapján) előnyei: szilárd elméleti alapok hátrányai: minden valószínűséget pontosan ki kell számítani, független események kérése, új esemény esetén minden eddigi adatot felül kell bírálni Dempster-Shafer-féle megbízhatóság elmélet a valószínűség fogalmának kiterjesztésével létrejött formalizmusok egyike Fuzzy modell a fuzzy-mértékeken alapuló formalizmusok, amelyek a bizonytalan elhatárolás mértékein alapuló fuzzy logikán alapulnak

7 Módszerek, modellek osztályozása
szimbolikus (nem-numerikus) modellek nem-monoton logikák (alkalmazási területei: diagnózis, konfigurálás, ütemezés)

8 Módszerek, modellek osztályozása
heurisztikus módszerek – bizonytalansági tényező MYCIN-modell vagy CF-modell (certainty factor) M.1 keretrendszer bizonyossági modellje PROSPECTOR-modell Megjegyzés: Az eredményesen alkalmazott megoldások általában HIBRID módszerek.

9 Bizonytalanság kezelésének megadásához megválaszolandó kérdések
Hogyan reprezentáljuk a bizonytalan információt? Hogyan kombináljunk egy vagy több bizonytalan információt (and, or, not)? Eredő bizonytalansági mérték kiszámítási módja Hogyan következtethetünk bizonytalan információból? Bizonytalan feltételekből, bizonytalan szabály alkalmazásával kihozott következmény bizonytalansága mi lesz?

10 Numerikus modellek, a Bayes-tételen alapuló módszer
alkalmazásának előnyei: szilárd elméleti alapok jól definiált szemantika

11 Numerikus modellek, a Bayes-tételen alapuló módszer
alkalmazásának hátrányai: nagyon sok valószínűséget kell megadni, nem hiányozhat egy sem Hogyan adjuk meg ezeket az értékeket? változás esetén minden értéket újra meg kell határozni az így adódó eredmények nehezen értelmezhetők szövegesen nehezen tudjuk biztosítani a teljes eseményrendszert

12 Kísérlet, esemény és ellentett esemény
Definíció: Eseménynek nevezünk mindent, amiről egy kísérlet elvégzése után eldönthető, hogy a kísérlet során bekövetkezett, vagy sem. Két eseményt azonosnak tekintünk, ha a kísérlet minden lehetséges kimenetelekor vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem. Az események jelölése: A, B, C, …

13 Kísérlet, esemény és ellentett esemény
Definíció: Egy kísérlettel kapcsolatos elemi események összessége eseményteret alkot. (jele: T) A lehetetlen esemény olyan esemény, mely sohasem következik be. (jele: O) A biztos esemény olyan esemény, amely a kísérlet során mindig bekövetkezik. (jele: I)

14 Kísérlet, esemény és ellentett esemény
Definíció: Azt az eseményt, amely akkor és csakis akkor következik be, ha az A esemény nem következik be, az A esemény ellentett eseményének nevezzük. (jele: Ā) Ā ellentett eseménye: A O ellentett eseménye: I I ellentett eseménye: O

15 Műveletek eseményekkel, teljes eseményrendszer
Definíció: Adott A1,A2,…,An események A1+A2+…+An összegén azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha az A1,A2,….,An események közül legalább az egyik bekövetkezik. A+B=B+A (kommutatív) A+(B+C)=(A+B)+C (asszociatív)

16 Műveletek eseményekkel, teljes eseményrendszer
Definíció: Adott A1,A2,…,An események A1*A2*…*An szorzatán azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha az A1,A2,….,An események mindegyike bekövetkezik. AB=BA (kommutatív) A(BC)=(AB)C (asszociatív)

17 Műveletek eseményekkel, teljes eseményrendszer
Definíció: Ha az A és B események szorzata a 0 esemény, azaz AB=0, akkor azt mondjuk, hogy A és B események kizárják egymást. Tetszőleges A, B, C-re disztributív: A(B+C)=AB+AC A+(BC)=(A+B)(A+C)

18 Műveletek eseményekkel, teljes eseményrendszer
Definíció: A B1,B2,…,Bn események teljes eseményrendszert alkotnak, ha B1+B2+…+Bn= I BiBk= 0, ha i≠k (i=1,2,…,n; k=1,2,…,n)

19 Műveletek eseményekkel, teljes eseményrendszer
összegük a biztos esemény bármely kettő kizárja egymást például: egy kísérlethez tartozó összes elemi esemény (ha véges számúak) kockadobásnál elemi események: 1-et, 2-t, 3-at, 4-et, 5-t, 6-ot dobunk, együtt teljes eseményrendszer

20 Valószínűségi mérték, feltételes valószínűség, Bayes tétele
Legyen P: Ω →[0,1] függvény, úgy hogy 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(I) = 1, P(O) = 0 Ha AB=0, akkor P(A+B)=P(A)+P(B) Az így definiált P függvényt, valószínűségi mértéknek nevezzük.

21 Valószínűségi mérték, feltételes valószínűség, Bayes tétele
Definíció: Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos esemény, ahol a B esemény valószínűsége nem 0, vagyis P(B)≠0. Az A eseménynek a B feltétel melletti P(A|B) feltételes valószínűsége személetesen az A esemény bekövetkezésének valószínűségét jelenti, feltéve, hogy a B esemény bekövetkezett. P(A|B) = P(AB) / P(B)

22 A teljes valószínűség tétele
Ha a B1,B2,…,Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi)≠0 (i=1,2,…,n), akkor tetszőleges A esemény valószínűségére érvényes a következő összefüggés: P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

23 Példa [2] Egy király úgy szeretné izgalmasabbá tenni az elítéltjeinek kivégzését, hogy három ládikába elhelyez 25 arany és 25 ezüst érmét. Ha a kivégzésre szánt célszemély aranyat húz, akkor a várakozással ellentétben mégsem végzik ki, de ha ezüstöt, akkor igen. A király a nagyobb izgalom kedvéért mindig máshogy osztja szét az érméket a ládákban. Egyik alkalommal így: 16 arany 4 ezüst 8 arany 12 ezüst 1 arany 9 ezüst

24 Példa Kérdés: mekkora esélye van az elítéltnek a menekülésre (A)? Az egyes ládikákból aranyat húzni 16/20 8/20 1/10 valószínűséggel lehet. Ahhoz, hogy az első ládából aranyat húzzon, két dolog kell: 1/3 esély kell, hogy az első ládát válassza további 16/20, hogy abból aranyat húzzon P(A)=P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) 1/3 1/3 1/3 B1 B2 B3 16 arany 4 ezüst 8 arany 12 ezüst 1 arany 9 ezüst

25 Példa P(A) = 16/20*1/3 + 8/20*1/3 + 1/10*1/3 = 26/60
Legyen B1, B2 és B3 teljes eseményrendszer, vagyis páronként kizáró események (B1: 1-es láda, B2: 2-es láda, B3: 3-as láda) P(A) = 16/20*1/3 + 8/20*1/3 + 1/10*1/3 = 26/60 16 arany 4 ezüst 8 arany 12 ezüst 1 arany 9 ezüst B1 B2 B3 1/3

26 Bayes tétele Tétel: Ha a B1,B2,…,Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi)≠0 (i=1,2,…,n), továbbá A tetszőleges esemény, amelyre P(A)≠0, akkor:

27 Bayes tétele

28 Példák Egy zöldséges három helyről szerez be almákat. Az első helyről a készlet 20%-át szerzi be, ezek mind jók. A második helyről a 30%-át és itt 5% romlott, de nem baj, mert ezt is el tudja adni néhány vak öregasszonynak. A harmadik helyről a maradék 50%-ot szerzi be, és itt 15% romlott. Hely Mennyiség Romlott 1. termelő 20% 0% 2. termelő 30% 5% 3. termelő 50% 15%

29 Példák Kérdés: Kiválasztunk egy almát, amiről kiderül, hogy romlott. Mekkora valószínűséggel származik a hármas termelőtől? Hely Mennyiség Romlott 1. termelő (B1) 20% 0% 2. termelő (B2) 30% 5% 3. termelő (B3) 50% 15%

30 Példa 3. termelő: a készlet 50%-a, minden alma 0,5 valséggel van tőle. (Ha egy alma rossz, akkor ez a valség megváltozik.) 1. termelő: a készlet 20%-a, minden alma 0,2 valséggel van tőle. (Ha kiderül, hogy rossz, akkor az semmiképp sem tőle van!)

31 Példák A 3. termelő esélyeit számoljuk (B3), feltéve, hogy az alma rossz (A=„az alma rossz”) P(B3|A) = (P(A|B3)*P(B3)) / (P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)) = = (0,15*0,5) / (0*0,2+0,05*0,3+0,15*0,5) = 0,83 Hely Mennyiség Romlott 1. termelő (B1) 20% 0% 2. termelő (B2) 30% 5% 3. termelő (B3) 50% 15%

32 Példák Egy 0,75 valószínűséggel rendelkező szabály:
Egy bizonytalanságot kezelő szabályalapú rendszerben egy szabály azt mondja ki, hogy „ha a feltételrész igaz, akkor a következményrész P valószínűséggel lesz igaz”. Egy 0,75 valószínűséggel rendelkező szabály: ha a beteg megfázott, akkor a beteg tüsszög (0,75) if megfazott=igen then tusszog=igen cf 75

33 Példák visszafele: a „beteg tüsszög” tünetből akarunk következtetni az okra: a „beteg megfázott” (abduktív következtetés) alkalmazzuk a két esetre kimondott Bayes tételt a beteg megfázott (A) betegség, vagy ok, feltevés Hipotézis a beteg tüsszög (E) tünet, vagy okozat, vagyis bizonyíték Okozat

34 Példák tegyük fel, hogy ismerjük az alábbiakat: P(A)=0,2
„a beteg megfázott” P(E|A)=0,75 „a beteg tüsszög”, feltéve, hogy „a beteg megfázott” P(E|Ā)=0,2 „a beteg tüsszög”, feltéve, hogy „a beteg nem fázott meg” P(Ā)=0,8 „a beteg nem fázott meg”

35 Példák Ha a beteg tüsszög, annak a valsége, hogy megfázott:
P(A|E)=0,75*0,2/(0,75*0,2+0,2*0,8)= =0,375/0,31=0,48387 Ha a beteg nem tüsszög, annak a valsége, hogy nem fázott meg: P(A|E ellentett)=(1-0,75)*0,2/(1-0,31)=0,07246

36 Feladat Egy alkatrészt három különböző helyről szerzünk be:
Az első helyről, ahol a selejtek aránya 3% 12 darab származik. A második helyről 5 darab, és itt 4% selejt. Aharmadik helyről 3 darab és itt 95% nem selejt. Kiválasztunk egy alkatrészt. Mi a valószínűsége, hogy selejtes?

37 A fuzzy tudomány rövid története
LUKASIEWICZ: többértékű logikák L.A. ZADEH: kontinuum végtelen értékkészletű fuzzy logika 1965: Fuzzy sets c. tanulmány, alapdefiníciók rendszerelmélet és irányításelmélet szemléletű vegyes reakciók (uaz, mint a valség, stb) 1973, Zadeh: CRI (kompozíciós következtetési szabály) 1974, E. H. MAMDANI (londoni prof.): átalakította a CRI-t

38 A fuzzy tudomány rövid története
MAMDANI-eljárás ipari alkalmazások, például: dán cementmű irányítása 1975, VÁMOS Tibor Budapesten szervezett egy magyar-amerikai Alakfelismerési szemináriumot: Zadeh: rámutatott a képfeldolgozási felhasználási lehetőségre K. S. FU: adaptív rendszerek A. ROSENFELD: fuzzy geometriai kérdések R. DE MORI: beszédfelismerés

39 A fuzzy tudomány rövid története
1984: Nemzetközi Fuzzy Rendszer Szövetsége (IFSA) IFSA, 1987, Tokio, második világkongresszus japán kutatóiskolák eredményes alkalmazási kísérleteket mutattak be (elsősorban irányítási területeken, illetve számítógépes látás témájában) a résztvevők megtekinthették a Sendai városában akkor már működő fuzzy irányítású (vezető nélküli) nyomvonalat is

40 A fuzzy tudomány rövid története
Japánban már fuzzy irányítással működtek pl. szennyvíztisztítórendszerek, alagútszellőzési rendszerek 1987 után: Japán Fuzzy Aranykor: Sony, Hitachi, Matsushita (Panasonic National), stb. háztartási gépeket és fogyasztói elektronikát gyártó cégek sorra hozták ki a piacra a fuzzy logikát felhasználó energiatakarékos, kezelőbarát, nagyintelligenciájú termékeiket

41 A fuzzy tudomány rövid története
legtipikusabbak (ma is igen elterjedtek): mosógép porszívó légkondícionáló fürdőszobai vízhőmérséklet szabályozó rizsfőző villanyborotva fényképezőgép videókamera

42 A fuzzy tudomány rövid története
ezek a termékek népszerűvé tették a fuzzy logikát, televízióban is szerepelt és az általános iskolások is megismerték az alapgondolatokat 1989-től Japán Nemzetközi Kereskedelmi Minisztérium (MIT, komoly kutatásokat finanszíroz) 50 japán magánvállalattal együtt létrehozta a Nemzetközi Fuzzy Technológiai Laboratórium Alapítványt, amely 6 éven át finanszírozta a Yokohamában működő Life kutatólaboratóriumot és a Tokiói Műszaki Egyetemen 1990-ben felállított Fuzzy Elméleti Tanszéket

43 A fuzzy tudomány rövid története
legérdekesebb eredményeik: a fuzzy szabályalapú pénzügyi előrejelző rendszerek, a vezető nélküli helikopter, az együttműködő és kommunikáló robotegyüttesek, statikus és dinamikus képfelismerési technikák a Life Laboratorium tudományos vezetője: TERANO T. a Tokiói Műszaki Egyetem professzora

44 A fuzzy tudomány rövid története
a japán sikerek mellett (részben ezek hatására) más távol-keleti országokban is megindult az ipari és háztartási elektronikai berendezésekben való alkalmazás (Korea, Tajvan) érdekes alkalmazási terület: gépjárműtechnika több japán autógyártó vállalat mellett a Life projektben résztvevő Volkswagen cég is megjelent például a fuzzy logikán alapuló automatikus adaptív sebességváltóval

45 A fuzzy tudomány rövid története
USA: innen indult az elmélet, de hosszú ideig csak az űrkutatás és a haditechnika mutatott komoly érdeklődést a Sivatagi Vihar háborúban a Patriot rakéták éjszakai célpontazonosító rendszere fuzzy eljáráson alapul, amelyet a Missouri Egyetem fejlesztett ki, J. KELLER professzor vezetésével

46 A fuzzy tudomány rövid története
miközben a gyakorlati alkalmazások súlypontja Európából és Észak-Amerikából Kelet-Ázsiába tevődött, a legkomolyabb fuzzy matematika eredmények döntő többsége Európában született, s itt vannak ma is a leghíresebb fuzzy iskolák Európában is vannak komoly alkalmazási eredmények Németországban 1992 óta évente megrendezik a Dortmundi Fuzzy Napokat, itt bemutatják az alkalmazási eredményeket

47 A fuzzy tudomány rövid története
a Life projekt mintájára kisebb tartományi méretekben elindították az Észak-Rajna-Westfáliai Fuzzy Iniciatíva-t ennek keretében létrejött a Dortmundi Fuzzy Demonstrációs Centrum (komoly nyereséggel működik) elsősorban műszaki és döntéstámogatási alkalmazásokra komoly iskolája van az aacheni Észak-Rajna Westfáliai Egyetemen

48 A fuzzy tudomány rövid története
sikeres alkalmazásoknak egy egészen más területe az orvosbiológia a gyakorlatban is léteznek fuzzy elven működő, például az altatás vagy a dialízis irányítását végző diagnosztikai döntéstámogató rendszerek

49 A fuzzy tudomány rövid története
fontos területet jelentenek a pénzügyi alkalmazások: biztonsági kockázatfelmérésben, portfólióválasztásban, pénzügyi előrejelző rendszerekben alkalmaznak fuzzy technikát stb…

50 A fuzzy tudomány rövid története
a fuzzy logikát követve megjelentek más szubszimbolikus mesterséges intelligencia módszerek mesterséges neurális hálózatok evolúciós programok genetikus algoritmusok kaotikus rendszerek stb gyakran kombinálódnak is és együttesen a lágy számítástudomány (Soft Computing) megnevezés alatt ismertek

51 A fuzzy tudomány rövid története
TERANO professzor az 1990-es évek elején négy fázisba osztotta a fuzzy elmélet alkalmazásait: az első három: az egyszerű fuzzy tudásbázisú rendszerek (pl. irányítási rendszerek) a bonyolult fuzzy tudásbázisú rendszerek (pl. nem műsuaki szakértő rendszerek) a fuzzy kommunikációt alkalmazó rendszerek (pl. intelligens kooperatív robotegyüttesek) melyek mindegyike ma számos területen megvalósult, alkalmazásra került, vagy az alkalmazás küszöbén áll

52 A fuzzy tudomány rövid története
TERANO professzor az 1990-es évek elején négy fázisba osztotta a fuzzy elmélet alkalmazásait: a negyedik fázis: a komplex integrált intelligencia amely ma még a „jövő története”, vagy ha úgy tetszik inkább a sci-fi témakörébe tartozik

53 homokkupac-1 homokszem=homokkupac
Fuzzy logika HENRI POINCARÉ( , fr. matematikus és filózófus) paradoxonja: Képzeljünk el egy kupac homokot. Vegyünk el egyetlen homokszemet, majd kérdezzük meg, mi az, ami megmaradt. homokkupac-1 homokszem=homokkupac tehát: homokkupac=0 egy idő után: az „ez egy homokkupac” állítás sem nem igaz, sem nem hamis…

54 Fuzzy logika bizonytalan állítások, sejtések, részleges igazságot kifejező ismeretek kezelésére: a bizonytalanságkezelés fuzzy modellje (a fuzzy halmazokon értelmezett fuzzy logikán alapul)

55 Fuzzy logika 60-as évek közepén Zadeh dolgozta ki a fuzzy halmazelméletet a nyelvi fogalmakban rejlő pontatlanság matematikai kezelésére Zadeh bevezette a parciális tagság fogalmát, annak kifejezésére, hogy bizonyos objektumok jobban beletartoznak egy halmazba, mások kevésbé

56 Fuzzy logika ezt a parciális tagságot egy [0,1] intervallumbeli számmal jellemezte, ahol az 1 azt jelenti, hogy az objektum benne van a halmazban, a 0 pedig hogy nincs benne, míg a kettő közötti érték azt a meggyőződésünket, hogy milyen mértékben tartozik az adott objektum a halmazhoz (nagyon, kissé, eléggé, meglehetősen)

57 Tagsági függvény Egy adott halmazhoz tartozás fokát fejezi ki egy [0,1] intervallumbeli számmal. A köznapi nyelvben kissé, eléggé, meglehetősen, nagyon, stb, módosítószavakkal fejezzük ki.

58 Klasszikus esetben egy objektum vagy eleme a halmaznak vagy sem, azaz
karakterisztikus függvénye (k(x)) csak 0 és 1 értékeket vehet fel például: legyen A={2,3,5,7} ekkor az A halmaz karakterisztikus függvénye: k(x)=1, ha x eleme A-nak: k(2)=k(3)=k(5)=k(7)=1 k(x)=0, egyébként

59 S = { x: Zoli kedveli az x színt}
Példa a színek U halmazán definiálhatjuk az S = { x: Zoli kedveli az x színt} halmazt a következő tagsági függvénnyel: 1, ha x eleme U kék 0,5, ha x eleme U fehér ds(x)= 0,2, ha x eleme U piros 0, egyébként szokásos megadás: S = {(kék, 1), (fehér, 0,5), (piros, 0,2)}

60 Fuzzy halmazműveletek
a halmazelméleti műveletek kiterjesztése alapján az ugyanazon alaphalmazon értelmezett fuzzy halmazok egyesítése, metszete és komplemense is fuzzy halmaz lesz az alábbi tagsági függvényekkel:

61 Fuzzy halmazműveletek
legyenek A és B fuzzy halmazok az U alaphalmazon, da(x) és db(x) tagsági függvénnyel, ekkor: A U B = {(x, max(da(x); db(x))) : x eleme U} A ∩ B = {(x, min(da(x); db(x))) : x eleme U} Ā = {(x; (1-da(x))) : x eleme U}

62 Fuzzy műveletek a szokásos halmazműveleteken túl a nyelvi módosítóknak megfelelő műveleteket is definiálhatunk (fuzzy műveletek): dilatáció (többé-kevésbé) növeli a tagsági függvény értékét koncentráció (nagyon) csökkenti a tagsági függvény értékét intenzitás (meglehetősen, eléggé) 0,5 alatti értékre csökkenti, 0,5 felettire növeli a tagsági függvény értékét

63 Fuzzy műveletek DIL(A) = {(x, da1/2(x)): x eleme U}
CON(A) = {(x, da2(x)): x eleme U} INT(A) = {(x, i(x)): x eleme U}, ahol i(x) = 2* da2(x), ha 0<= da(x)<= 0,5 i(x) = 1-2*(1-da(x))2, ha 0,5<= da(x)<= 1

64 Lukasiewicz fuzzy logikája
Tekintsünk egy nulladrendű logikai nyelvet, amelyben a propozicionális betűk értéküket a [0,1] intervallumból vehetik fel.

65 Lukasiewicz fuzzy logikája
A formulák logikai értékét a következőképpen értelmezzük: implikáció: |A ⊃ B| = 1, ha |A| ≤ |B| |A ⊃ B| = 1 - |A| + |B|, egyébként negáció: |¬A| = 1 - |A|

66 Lukasiewicz fuzzy logikája
konjunkció: |A ∧ B| = min{ |A|, |B|} diszjunkció: |A ∨ B| = max{ |A|, |B|}

67 Lukasiewicz fuzzy logikája
Lukasiewicz konjunkció: |A & B| = max{ |A|+|B|-1, 0} Lukasiewicz diszjunkció: |A ∨ B| = min{ |A|+|B|, 1}

68 Lukasiewicz fuzzy logikája
ekvivalencia: (a két különböző konjunkció nem eredményez két különböző ekvivalenciát) |A ≡ B| = |(A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)| = = 1 - max{ |A|,|B|} + min{|A|,|B|} |A ≡ B| = |(A ⊃ B) & (B ⊃ A)| = = 1 - max{ |A|,|B|} + min{|A|,|B|} tehát |A ≡ B| = |A ≡ B|

69 Lukasiewicz fuzzy logikája
a definíciók korrektek a klasszikus logikára nézve a logikai összekötőjelekhez tartozó fuzzy műveletek folytonosak a [0,1] intervallum felett

70 Lukasiewicz fuzzy logikája
például a |B|=0,5 esetén az |A ⊃ B|-t és a |¬A|-t tekintve

71 Lukasiewicz fuzzy logikája
teljesülnek: |A| ≤ |B| pontosan akkor, ha |A ⊃ B| = 1 |B| ≤ |A| pontosan akkor, ha |A ⊃ B| = = 1 - |A|+|B| |A| = |B| pontosan akkor, ha |A ≡ B| = 1 ha |A| = 1 és |A ⊃ B| = 1, akkor |B| = 1 |A| ≤ |B| pontosan akkor, ha |¬B| ≤ |¬A|

72 Lukasiewicz fuzzy logikája
logikai törvény: ha minden interpretációban a formula értéke 1 minden Lukasiewicz logikai törvény a klasszikus logikában is logikai törvény, ez fordítva nem igaz

73 Lukasiewicz fuzzy logikája
van a klasszikus logikában logikai törvény, amely a Lukasiewicz fuzzy logikában nem logikai törvény például: A ∨ ¬A vagy ¬(A ∧ ¬A)

74 Lukasiewicz fuzzy logikája
ugyanakkor a Lukasiewicz diszjunkciót és konjunkciót alkalmazva A ∨ ¬A vagy ¬(A & ¬A) logikai törvények a Lukasiewicz fuzzy logikában | A ∨ ¬A | = min{|A|+1-|A|,1} = 1 | ¬(A & ¬A) | = 1- max{|A|+1-|A|-1,0} = 1

75 Lukasiewicz fuzzy logikája
helyes és teljes kalkulust is sikerült készíteni a Lukasiewicz fuzzy logikához négy axiómát és levezetési szabályként a modus ponenst alkalmazva: A ⊃ (B ⊃ A) (A ⊃ B) ⊃((B ⊃ C) ⊃ (A ⊃ C)) (¬A ⊃ ¬B) ⊃ (B ⊃ A) ((A ⊃ B) ⊃ B) ⊃ ((B ⊃ A) ⊃ A) Modus ponens: (A, A ⊃ B) B A dedukció tétel nem igaz a Lukasiewicz fuzzy logikában.

76 Gödel fuzzy logikája a propozicionális betűk a [0,1] intervallumból vehetik fel értéküket a formulák értékének definiálása eltér a Lukasiewicz-féle meghatározástól

77 Gödel fuzzy logikája implikáció: negáció: |A ⊃ B| = 1, ha |A| ≤ |B|
|A ⊃ B| = |B|, egyébként negáció: |¬A| = 1, ha |A| = 0 |¬A| = 0, egyébként

78 Gödel fuzzy logikája konjunkció: diszjunkció: |A ∧ B| = min{ |A|, |B|}
|A ∨ B| = max{ |A|, |B|}

79 Gödel fuzzy logikája a definíciók korrektek a klasszikus logikára nézve az implikációhoz és a negációhoz tartozó fuzzy műveletek nem folytonosak a [0,1] intervallum felett

80 Gödel fuzzy logikája például a |B|=0,5 esetén az |A ⊃ B|-t és a |¬A|-t tekintve

81 Gödel fuzzy logikája logikai törvény: ha minden interpretációban a formula értéke 1 minden Gödel logikai törvény a klasszikus logikában is logikai törvény, ez fordítva nem igaz

82 Gödel fuzzy logikája van a klasszikus logikában logikai törvény, amely a Gödel fuzzy logikában nem logikai törvény például: A ∨ ¬A vagy ¬¬A ⊃ A |¬¬A ⊃ A| = 1 ha |A|=0 |¬¬A ⊃ A| = 1 ha |A|=1 |¬¬A ⊃ A| = |A| ha 0 < |A| < 1 |A ⊃ ¬¬A| = 1, hiszen |¬¬A|=1, ha |A|≠0 és |¬¬A|=0, ha |A|=0, tehát |A| ≤ |¬¬A|

83 Gödel fuzzy logikája itt is készíthetünk helyes és teljes kalkulust, sőt a Gödel-féle fuzzy logikában igaz a dedukció tétel is

84 A fuzzy rendszerek értékelése
a fuzzy modellekre alapozott alkalmazás kidolgozásakor a szabályok kidolgozása mellett meg kell adni a fuzzy halmazokra való leképezés módját, a fuzzifikálást olyan transzformáció, amely a valós adatokból fuzzy halmazokat és tagsági függvényeket generál

85 A fuzzy rendszerek értékelése
a fuzzy modellekre alapozott alkalmazás kidolgozásakor a szabályok kidolgozása mellett meg kell adni az eredményként kapott halmazok visszaalakításának módját, a defuzzifikálást a különböző forrásokból származó következményeket reprezentáló, egyesített fuzzy halmazokból meghatározza az eredményt

86 A fuzzy rendszerek értékelése
a fuzzy modell alkalmazásainak száma egyre nő kiterjedten alkalmazzák a bizonytalanság kezelésére az alábbi területeken: orvosi diagnózis információ visszakeresés folyamatvezérlés hibafelderítés

87 A fuzzy rendszerek értékelése
olyan rendszereknél is sikeresen alkalmazható, ahol folyamatos bemenettel és nemlineáris kimenettel kell számolni alapvető jelentősége van a térbeli következtetések és nemlineáris folyamatok modellezésében bizonyos társadalmi és közgazdasági problémák megoldására is alkalmazható

88 Fuzzy logika előnyei Szemlélete közel áll a napi valóságszemléletünkhöz. (nem kell számszerűsíteni bizonyos mértékeket, helyette használhatjuk a megszokott nyelvi kifejezéseket) A rendszerleírás egyszerűbb, mint más numerikus modell esetén.

89 Fuzzy logika előnyei Előnyösen alkalmazható hiányos adatokkal dolgozó, bonyolult feladatok esetén. A fuzzy bizonyosságokkal könnyű számolni.

90 Fuzzy logika hátrányai
Elmélete még nem teljesen megalapozott. (gyakran okoz nehézséget a tagsági függvény megadása, amely szubjektív) A kombinációs függvények nem mindig működnek a természetes elvárásaink szerint. (pl: egymást kizáró halmazok együttes bizonyossága a két halmaz bizonyosságának minimuma és nem nulla)

91 A Bayes módszer, a fuzzy modell és a heurisztikus modellek
A valószínűségi mérték jól definiált események előfordulásának bizonytalanságát fejezi ki. A heurisztikus modellek bizonyossági tényezője azt fejezi ki, hogy mi magunk mennyire vagyunk biztosak abban, hogy egy adott objektum teljesen beletartozik egy adott halmazba.

92 A Bayes módszer, a fuzzy modell és a heurisztikus modellek
A fuzzy logika rosszul definiált események előfordulásának mértékével foglalkozik. Azt fejezi ki, hogy egy adott objektum milyen mértékben tartozik bele egy halmazba.

93 Források [1]: Sántáné Tóth Edit: Tudásalapú Technológia Szakértő Rendszerek [2]: [3]: Kóczy, Tikk: Fuzzy rendszerek [4]: Bognár K.: Tudásalapú rendszerek és technológiák